中考數(shù)學精創(chuàng)-勾股定理 期末壓軸題訓練 人教版數(shù)學八年級下冊

第17章勾股定理期末壓軸題訓練

1.如圖，在平面直角坐標系中，乙480=90。，NA=30。，B點坐標為(0,4),點C為

A8的中點，動點。從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿線段A。向終點。運動，運

動時間為f秒(>0),連接CD,作點A關(guān)于直線CD的對稱點P

(1)若點尸恰好落在AO上，求/的值；

(2)若CP1.OA,求f的值：

(3)當厚2時，NAP8的度數(shù)是否會發(fā)生變化？若保持不變，請求出NAPB的度數(shù)：若發(fā)

生變化，請說明理由

2.【證明體驗】

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在中，A￡>為BC邊上的中線，延長至E,使OE=A。，連接BE.求

證：/\ACD^/\EBD.

【遷移應用】

(2)如圖2,在一ABC中，AC=5,BC=13,。為A8的中點，DCA.AC.求ABC面

積.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在A5C中，ZABC=90°,。是BC延長線上一點，BC=CD,尸是AB上

一點，連接F。交AC于點E,若AF=EF=2,BD=6,求E￡)的長.

3.如圖，平面直角坐標系中，點A、B分別在x、y軸上，點B的坐標為(0,2),ZABO

=60°.

E

(2)分別以48、A。為一邊作等邊△ABE、/XAOD,求證：BD=EO；

⑶在(2)的條件下，連接交48于F,請你證明點尸為。E的中點，并求出此時

4尸的值.

4.在RtABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,點。是線段8c延長線上的動點,

點E是線段A3上的動點，連接DE.

⑴如圖1,若AACB冬_DEB,求線段DC的長；

(2)已知NBED=90。,如圖2.

①設線段。C=a,求線段OE的長(用含”的式子表示)；

②設Z84C與NB0E的平分線相交于點P,求NAPD的度數(shù).

5.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，A(a,0),8S,c),且(?-8)2+|&-3|+

=0,連接A8,AB2—(a-b)2+c2

試卷第2頁，共9頁

(1)求點4和點B的坐標和線段AB的長度；

(2)如圖2,點尸是射線A0上一動點，連接BP,將AABP沿著直線8P翻折至△Q8P,

當PQ〃A2時，求點尸和點。的坐標；

(3)在(2)的情況下，如圖3,點尸是線段4P延長線上一動點，連接8尸，將AABF沿

著直線B尸翻折至△MB凡連接MQ.當例尸〃BP時，試探究/QW凡NQBF與NMQB

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

6.已知：在RAA5C中，ZC=90°,Zfi=30°,BC=6,左右作平行移動的等邊三角

形。EF的兩個頂點E、F始終在邊2c上，DE、。下分別與A5相交于點G、H.

(1)如圖1,當點尸與點C重合時，點。恰好在斜邊AB上，求AOEF的周長；

(2)如圖2,在AQEF作平行移動的過程中，圖中是否存在與線段CF始終相等的線段？

如果存在，請指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請說明理由；

(3)假設C點與F點的距離為x,aOEF與△ABC的重疊部分的面積為y,求y與x的函

數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.

7.點P到NAOB的距離定義如下：點Q為/AOB的兩邊上的動點，當PQ最小時，我

們稱此時尸。的長度為點P到/AOB的距離，記為d(P,NAOB).特別的，當點P在NA08

的邊上時，d(P,/AOB)=0.在平面直角坐標系xOy中，四邊形OA8C是以點0(0,0),

4(4,0),8(4,4),C(0,4)為頂點的正方形，作射線08,則/AOB=45。.

(1)如圖1,點0),P2(0,&),尸3(1,-2)的位置如圖所示，請用度量的方式,

判斷點B,P2,Pj中到NAOB的距離等于1的點是二

(2)已知點尸在NAO8的內(nèi)部，且d(P,ZAOB)=\,

①若點P的橫縱坐標都是整數(shù)，請寫出一個滿足條件的點P的坐標」

②請在圖1中畫出所有滿足條件的點P；

(3)如圖2,已知點E(0,-8),F(-2,2),G(7,2),記射線￡尸與射線EG組成的圖形

為圖形V.若點尸在圖形V上，滿足d(P,/AOB)=2&的點尸有一個.

8.在4ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC.點。是直線AB上一點(點。與點A、點8不

重合)，以C。為直角邊作等腰直角三角形OCE,使/OCE=90。，連接AE.

(2)如圖②，點。在BA的延長線上，點E與點A在C。的兩側(cè)，直接寫出線段A8、A。、

AE三者之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖③，點。在4B的延長線上，點E與點A在8同側(cè).若AE=1,AB=4,則C￡)

的長是多少？

9.如圖1,在,ABC中，AC=BC=4,ZACB=90°,點Q,E分別是AC,BC的中點.

試卷第4頁，共9頁

圖1圖2圖3

(1)直接寫出CQE的形狀是；

(2)如圖2,若點M為直線OE上一動點，/MCN=90。,CM=CN,連接ND,請判斷

N。與ME的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；

⑶在(2)的條件下，連接AN,請求出AN的最小值.

10.如圖1,在AABC中，AB=AC,點。為直線BC上一動點(不與點B,C重合)，

在AO的左側(cè)作△&￡>￡：,使得AE=A￡),ZDAE=ZBAC,連接BE.

圖1圖2

(1)當點。在線段BC上時，求證：Z^ABE絲△ACD

(2)如圖2,若BE〃AC,BC=2.

①求△ABC的面積.

②在點。在運動過程中，若△A8E的最小角為25。，求/E4C的度數(shù).

11.(1)如圖1,△ABC為等邊三角形，點。為BC邊上的一動點(點。不與8、C重

合)，以AD為邊作等邊△4DE,連接CE.易求NDCE=_。；

(2)如圖2,在△ABC中，ZBAC=90°,AC=A8,點。為BC上的一動點(點。不

與B、C重合)，以4。為邊作等腰RSADE,/D4E=90。(頂點A、D、E按逆時針方

向排列)，連接CE,類比題(1),請你猜想：線段8。、CD、OE之間的關(guān)系，并說明

理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若。點在BC的延長線上運動，以AD為邊作等腰RtAADE,

ND4E=90。(頂點A、D、E按逆時針方向排列)，連接CE.CE=10,8C=6,求AE

的長.

E

圖I圖2圖3

12.材料閱讀：如圖1所示，已知直角梯形8CDE中，A是CD上一點，CB=a,AC=b,

AB=c,且ABL/AE,AB=AE,現(xiàn)需探究直角三角形ABC的三邊。、b、c之間的數(shù)

量關(guān)系：

(1)【初步探究】猜想三角形A8C是否與三角形4DE全等，若是，請說明理由；

(2)【問題解決】請用兩種含有“，h,，的代數(shù)式的方法表示直角梯形3C0E的面積：

皿=.SmBCDE=.由此，你能得到的“、b、c的數(shù)量關(guān)系是:.

(3)【拓展應用】如圖2,等腰三角形ABC中，。是底邊BC上的中點，8c=12,鉆=10,

E、尸分別是線段AO和AC上的兩個動點，求：CE+EF的最小值.

13.如圖，在AABC中，ZACB=90°,。為A8中點，點E,尸分別在直線BC,AC上

(點E不與點3,C重合)，DFA.DE,連接EF.

(2)如圖2,當點F不與點A重合時，求證：AF^+Be^EF2；

(3)若AC=8,BC=6,EC=2,求線段CF的長.

14.在平面直角坐標系xOy中，點8的坐標為(0,4g),以08為邊在y軸的右側(cè)作

試卷第6頁，共9頁

正三角形OAB.AC_Ly軸，垂足為C.

(1)如圖1,求點A的坐標.

(2)點。在線段4c上，點E是直線AB上一動點，連接OE、以。E為邊作正三角形/)￡尸

(點。，E,F按逆時針排列)

①如圖2,當點E與點A重合時，連接。。，BF.若BF=2",求點。的坐標.

②若C￡>=2,點尸是直線。F與直線0A的交點，當0P=6時，直接寫出點E的坐標.

15.如圖，RtAABC中，AB=AC,NBAC=90。，AAOE中，AD=AE,/ZME=90。.連

接肛CE.

圖1圖2

(1)如圖1,點B在邊EO的延長線上，求NAEC的度數(shù);

(2)如圖2,ZAEC=90°,射線E。交8c于點F.

①求證：BF=CF；

DE

②若3O=fc4。求=的值(用含k的式子表示).

DF

16.［問題發(fā)現(xiàn)］小明遇到這樣-一個問題：

如圖1,△48(7是等邊三角形，點。為8(：的中點，且滿足/4?！?6()。，DE交等邊三

角形外角平分線CE所在直線于點E.

圖1圖2備用圖

(1)小明發(fā)現(xiàn)，過點。作。尸〃4C,交AC于點F,通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理論證,

能夠使問題得到解決，請直接寫出AZ)與。E的數(shù)量關(guān)系：_

(2)［類比探究］如圖2,當點。是線段BC上(除B,C外)任意一點時(其它條件不變)，

試猜想AO與OE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)［拓展應用］當點。在線段BC的延長線上，且滿足CD=BC(其它條件不變)時，請直

接寫出△48。與^AOE的面積之比，

17.如圖，_A8C與，CDE是等邊三角形，連接A￡>,取的中點P,連接BP并延長

至點M,使PM=BP,連接AM、EM、AE,將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當點。在8c上，點E在AC上時，則△AEM的形狀為；

(2)將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，請判斷△AEM的形狀，并說明理由；

(3)若CD=g8C,將;CUE由圖1位置繞點順時針旋轉(zhuǎn)研0"夕<360。)，當A、C、。

三點在同一直線上時，請直接寫出M器E的值.

18.定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”.

試卷第8頁，共9頁

E

(1)特例感知：如圖1,四邊形ABCD是“垂美四邊形”，如果04=。。=(。8,08=2,

Z0BC=60°,貝IJAD-BC',AB2+CD2=.

(2)猜想論證：如圖1,如果四邊形ABCO是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB,CD

與BC,A。之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明.

(3)拓展應用：如圖2,分別以R3AC3的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG

和正方形A8ZJE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,ZBAC=60°,求GE長.

參考答案:

3

1.⑴仁

(2)f的值為1或3

(3)/APB=90°,理由見解析

【分析】(1)利用利用直角三角形30°的性質(zhì)求出8,再勾股定理求出AD即可；

(2)分兩種情形：分別畫出圖形，求出AO即可解決問題；

(3)結(jié)論：/APB=90°是定值.利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理證明即可.

【解析】(1)解：如圖1中，

圖1

?:B(0,4),

???。3=4,

VZABO=90Q,ZA=30°,

：.OA=2OB=S1

：?AB7o#—OB?=幅"=4日

：CA=CP,CD1PA,

：.AD=PD,

'：AC=CB=2y/3,

：.CD=^AC=43,

-'-AD=VAC2-CD2=QQ廚-電￥=3,

2

(2)解：如圖2-1中，當CPLOA設C尸交OA于點F.

答案第10頁，共36頁

圖2」

VZA=30°,ZCM=90°,

AZACF=90°-30°=60°,

???NOCA=NOCP=30°,

???NA=NOCA=30。,

：?CD=DA=2DF,

*.*AF=3,

：.AD=CD=29DF=1,

.2

..^=—=1;

2

如圖2-2中，當CPLOA,設PC的延長線交40于點立同法可證A/=。b=3,

圖2-2

：.AD=AF+DF=6,

綜上所述，滿足條件的f的值為1或3.

(3)結(jié)論：/AP8=90°是定值.

理由：如圖3中，

答案第11頁，共36頁

圖3

■:CA=CB=CP,

：.2CAP=^CPA,NCPB=NCBP，

,：ZCAP+ZAPB+ZABP=\SO°,

，2/CAP+2NC8P=180°,

：.ZCAP+ZCBP=90°,

AZAPB=90Q.

【點評】本題考查了翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，勾股定理

等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題.

2.(1)見解析

⑵S7ABe=30

9

(3)的長為5

【分析】(1)根據(jù)S4S證明三角形全等；

(2)如圖2中，延長C力到T,使得力7=8,連接3T.由(I)可知AAZX?=,推出

AC=BT=5,ZA8=NT=9O。，利用勾股定理求出CT,即可解決問題；

(3)如圖3中，延長AC到R，使得CR=CA,連接OR.證明￡>￡=他，設。E=/)R==x,

則8尸=x-2,DF=x+2,在RfAOBF中，根據(jù)8產(chǎn)+=。尸，構(gòu)建方程即可解決問題.

【解析】(1)證明：如圖1中，

圖1

在AACQ和A￡BD中,

DA=DE

-4ADC=ZEDB,

DC=DB

答案第12頁，共36頁

:./^\CD^AEBD(SAS)；

(2)解：如圖2中，延長CD到乙使得。7=8,連接87.

圖2

由(1)可知AADCnMZ",

..AC=BT=5fZACD=ZT=90°,

:.CT=\lBC2-BT2=V132-52=12，

..CD=DT=6,

'.SAACB=S^DC^SACDB=^ACDC+^BTCD=^X5X6^^X5X6=30；

(3)解：如圖3中，延長AC到H,使得CR=C4,連接OR.

由(1)可知，AACB^ARCD,

:.AB=DR,Z4=4,

FE=FAf

：.ZA=ZAEF,

ZAEF=ZDER,

:.ZDER=ZR,

DE=DR=AB9

設DE=DR=AB=x,貝!]3尸=工一2,DF=x+2,

在心OB/中，BF2+BD2=DF2，

(X-2)2+62=(X+2)2,

9

2

:.DE=-.

答案第13頁，共36頁

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題

的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

3.(1)4

(2)見解析

(3)證明見解析，點F為OE的中點，此時AF的值為1

【分析】(1)根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N84E=/OA￡>=60°,AB=AE,OA=AD,求得N04E

=NDAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)過E作于H,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BH=AH=gA8=2,根據(jù)勾股定理

得至I」EH=^BE2-BH2==2班，求得OA=y/AB2-OB2=26,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】(1)解：??,點8的坐標為(0,2),

；.OB=2；

VZABO=60Q,ZBOA=90Q,

/BAO=30°,

，AB=2OB=4；

(2)證明：，：MABE、△A。。是等邊三角形，

：.ZBAE=ZOAD=60°,AB=AE,OA=AD,

：.ZOAB+ZBAE=ZOAB+ZOAD,

即/OAE=ND4B,

在△BAD與△EA。中，

AB=AE

■NOAE=NDAB,

AD=AO

：./\BAD^/\EAO(SAS),

:.BD=EO；

(3)解：過E作于”，

ZSABE是等邊三角形，

：.BH=AH=-AB=2,

2

,；BE=AB=4,

二EH=y/BE2-BH2=^/47^27=2上,

答案第14頁，共36頁

在Rt^AOB中，OAVAB—OB。=2百,

：.EH=AD,

VZOAD=60°,8Ao=30°,

：.ZDAF^ZEHF^90Q,

,：ZEFH=NAFD,

：./\EHF^/\DAF(AAS),

：.EF=DF,AF=HF=-AH^\,

2

...點尸為力E的中點，此時AE的值為1.

圖3

【點評】本題考查了三角形的綜合題，全等三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（1）2

⑵①與三②90。

【分析】（1）利用勾股定理求出A8=5,再運用全等三角形性質(zhì)即可求得答案：

（2）①如圖2,連接4。，運用三角形面積公式可得：SAABD^|BD-AC^DE-AB,即可

求得答案；

②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出：ZBAC^ZBDE=90°-ZB,再運用角平分線定義可得:

（90°-ZB）=45。-義/8,再運用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案.

【解析】（1）解：VZACB=90°,BC=3,AC=4,

AB=7AC2+BC2=A/32+42=5-

：.ACB^_DEB,

BD=AB=5,

：.DC=BD—BC=2；

答案第15頁，共36頁

(2)解：①連接AD,

VABED=ZACB=90°,

ADEJ.AB,AC1BD,

sA.HIl1J=)-BDAC=,-DEAB,

VBD=BC+DC=3+a,AC=4,AB=5,

.八二4a+12

??DE=-------------；

DCB

圖3

ABED=ZACB=90°,

：.ZCAB+ZB=ZBDE+ZB=90°,

ABAC=NBDE=90°-ZB,

'：AP,OP分別是NB4C,的平分線,

NBAP=ZBDP=45°-—,

2

NBAP+NBDP=90°-ZB,

VADAP=ABAD-ABAP,ZADP=ZBDA-ZBDP,

：.NDAP+ZADP=(/BAD+ZBZM)-(ZBAP+ZBZ)P)=(180°-ZB)-(90°-ZB)=90°,

Z.ZAPD=180°-(ZDAP+ZADP)=90°.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形面積，勾股定理，全等三角形性質(zhì)，角平分

線定義等，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和面積法是解題關(guān)鍵.

答案第16頁，共36頁

5.(1)A(8,0),B(3,3),A8=南

⑵P(8-A，0)；Q(3-衣，3)

(3)NMQB=2NQBF-NQMF,見解析

【分析】(1)由(a-8)2+63|+g-c=0,可得a=8,b=3,c=3,故A(8,0),B(3,

3),又A￥=(a-b)2+c2,即得A82=(8-3)2+32=34,HPAB=734;

(2)由48〃P。，得NBPQ=NABP,根據(jù)△ABP沿著直線8P翻折至△QBP,即得NB以

=NQBP,BQ//AP,而AB=8Q=后，8(3,3),故。(3一9，3),又AB〃P。，BQ

//AP,即得P(8-734,0)；

(3)由BQ〃AP,得NAFB=NQBF,又MF〃BP,得NMFB=NPBF.由折疊可得：ZMFB

=NAFB,即得NQBF=/PBF,ZQBP=2ZQBF,過點。作直線CC〃MF,可得C￡>〃MF

//BP,可得NCQB=NQBP,NCQM=NQMF,即可得NMQB=2NQBF-NQMF.

【解析】(1)解：：(〃-8)2+|6-3|+61=0,

又?；(a-8)2>0,\b-3|>0,萬7NO,

-8=0,ft-3=0,c-3=0,

.,.a=8,b=3,c=3,

???A(8,0),B(3,3),

：.AB2=(8-3)2+32=34,BPAB=y/34;

(2)解:如圖所不：

：,/BPQ=/ABP,

???將△ABP沿著直線BP翻折至△Q8P,

工ZBPQ=ZBM,ZABP=ZQBP9

：.ZBPA=ZQBPf

:,BQ〃AP,

又AB=BQ=5,B(3,3),

答案第17頁，共36頁

：.Q(3-衣，3),

y.AB//PQ,BQ//AP,

；.BQ可看作將AP平移所得，

由平移的性質(zhì)得BQ=AP=V34,

又A(8,0),

：.P(8-取，0)；

(3)解：數(shù)量關(guān)系：/MQB=2NQBF-NQMF.理由如下:

'：BQ//AP,

：./AFB=NQBF；

'：MF//BP,

ZMFB=ZPBF,

由折疊可得：/MFB=NAFB,

：.ZQBF=ZPBF,

：.NQBP=2NQBF,

過點Q作直線CD〃MF,如圖所示：

：.CD//MF//BP,

：.ZCQB=ZQBP,ZCQM=ZQMF,

又/MQB=NCQB-ZCQM,

ZMQB=ZQBP-NQMF,

又NQBP=2NQBF,

：.NMQB=2NQBF-ZQMF.

【點評】本題考查三角形綜合知識，涉及非負式的和為0的條件、圖像的折疊、平行線的性

質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊前后圖形形狀、大小不變.

6.(1)9；

⑵存在，CF=DG,證明見解析；

答案第18頁，共36頁

⑶二苧一骨(0J43)?

【分析】(1)利用勾股定理求出4c=26，再證明。。=且4。=3,即可求出AOEF的周

2

長；

(2)由(1)可知：,進一步得至ljb+8石=8C—石尸=6—3=3,再證明EG=BE,

利用EG+DG=CF+BE=3,即可證明CF=DG；

(3)求出％吠=券，S%0cH岑x'利用產(chǎn)S△由-S^HC，即可求出

y=唯一與2(03分

48

【解析】(1)解：???在RAA5C中，ZC=90°,NB=30。，BC=6,

:?AC=26,ZA=60°,

;△。石尸是等邊三角形，

???ZDCE=60°,

NACO=30。，

Q

/.ZADC=90f

??.CD=—AC=3,

2

???△；)￡：廠的周長為9；

(2)解：結(jié)論：CF=DG.

理由：?.,8C=6,由(1)可知：EF=DF=DE=3,

：.CF+BE=BC-EF=6-3=3,

???△￡)石戶是等邊三角形，

???ZZ)EF=60°,

■:/DEF=NB+/EGB,

：.NB:/EGB二/DGE=30。,

：.EG=BE,

?：EG+DG=CF+BE=3,

：.CF=DG；

22

(3)解：:SDEF=x3=,S[X；H=—GH?DH=—x—x?-^-x=^-x?

'DEF4440GH22228

,_c$_96V3nn_9A/362、

??y=S-S^=-------x2，y=--------x2(0A<x<3).

AD￡FDHG4o4o

答案第19頁，共36頁

【點評】本題考查勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，30。所對的直角邊等于斜邊的一半，動點

問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，等邊三角形性質(zhì).

7.(1)B,P2

(2)①(3,1)；②見解析

(3)6

【分析】(1)利用測量法結(jié)合點尸到NAOB的距離判斷即可.

(2)①根據(jù)d(P,ZAOB)=1,寫出滿足條件的點尸坐標即可.

②根據(jù)ZAOB)=1,利用勾股定理求解，畫出圖形即可.

(3)利用圖象法，畫出圖形判斷即可.

通過測量法，可知點P2到直線08的距離為1,OPi=l,OP3>1,

.,.點P/,P2,內(nèi)中到NAOB的距離等于1的點是P/,P2,

故答案為：Pi,P2；

(2)①一個滿足條件的點P的坐標(3,1),(4,1),(5,1)等(答案不唯一).

故答案為：(3,1)(答案不唯一).

②如圖2中，所有滿足條件的點P在/M/N的邊上.

答案第20頁，共36頁

在x軸上設一點D（X.0）,使點D到0B的距離為1,

???四邊形A0C8為正方形，

ZBOA=45°,

.??△。0尸為等腰直角三角形，且。尸=1,

/.0D=^2,

過點。作。歷〃08,作直線y=l,

兩直線相交于點J,

所有滿足條件的點P在NM/N的邊上.

（3）如圖所示：連接AC,

???四邊形40CB為正方形，邊長為4,

:.AC=4g，且AC-L0B,

.".CGI=AGI=2Y/2,

過點C與點A分別作HC〃03〃4M,與圖形丫產(chǎn)生2個滿足條件的交點（圖中標出1個,

另一個由直線"C與EG直線相交產(chǎn)生）；

分別作直線產(chǎn)20與產(chǎn)-2正，與圖形V產(chǎn)生2個滿足條件的交點，

以點O為圓心，2夜為半徑長，畫弧與圖形丫產(chǎn)生2個滿足條件的交點，

答案第21頁，共36頁

故滿足條件的點P有6個，

故答案為：6.

【點評】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)，點P到/A08的距離的定義，兩點之間的距離的定

義等知識，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，學會利用圖象法解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型.

8.（1）證明見解析

（2）AE=AB+AD

（3）CD=713

【分析】（1）先根據(jù)角的和差可得/BCD=ZACE,再根據(jù)等腰三角形的定義可得。C=EC,

然后根據(jù)三角形全等的判定證出」BCDwACE,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；

（2）參照（1）的方法證出,BCDm.ACE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得比>=A￡,然后

根據(jù)線段和差、等量代換即可得出結(jié)論；

（3）參照（1）的方法證出,8CDW,ACE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

BD=AE=1,ZDBC=ZEAC,從而可得NE4E>=90。，然后在RtZXAE。中，利用勾股定理可

得ED2=26,最后在RtVZX石中，利用勾股定理即可得.

【解析】（1）證明：VZACB=ZDCE=90°,

：.ZACB-ZACD=ADCE-ZACD,即/BCD=ZACE,

3CE等腰直角三角形，

DC=EC,

BC=AC

在△BCD和AAC石中，/BCD=NACE,

DC=EC

答案第22頁，共36頁

:.^BCD^ACE(SAS),

:?BD=AE.

(2)解：AE=AB+AD,證明如下：

,:ZACB=ZDCE=90°,

ZACB+ZACD=/DCE+ZACD,BPZBCD=ZACE,

.一。CE等腰直角三角形，

：.DC=EC9

BC=AC

在△BCD和“。石中，/BCD=/ACE,

DC=EC

/..BCD=-ACE(SAS),

:?BD=AE,

AB+AD=BD，

AE=AB+AD.

(3)解：VZACB=ZDCE=90°,

AZACB-ZBCE=ZDCE-ZBCE,BPZACE=ZBCD9

,DCE等腰直角三角形，

DC=EC,

BC=AC

在△88和AACf中，\/.BCD=ZACE9

DC=EC

...BCD^.ACE(SAS),

??.BD=AE=1,ZDBC=AEAC,

ZACB=90°MC=BC,

:.ZABC=ZBAC=45°,

:.ZEAC=ZDBC=180°-45°=135°,

:.ZEAD=ZEAC-ZBAC=90°,

在RtAAEO中，AE=1,AO=A3+B9=4+1=5,

/.ED2=AE2+AD2=26,

在RtVDCE中，ED2=CD2+CE2=2CD2,BP2CD2=26,

解得C￡>=布或CQ=-g<0(不符題意，舍去)，

故CD的長為疝.

【點評】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，正

確找出全等三角形是解題關(guān)鍵.

答案第23頁，共36頁

9.(1)等腰直角三角形

(2)ND=ME,ND1ME,理由見解析

⑶/

【分析】(1)由中點的定義得CQ=CE,則△C￡>E是等腰直角三角形；

(2)利用SAS證明△OCN絲△ECM,得ZCEM=ZCDN,則ZNDM=ZCDE+ZDEC=

90°；

(3)連接8W,作2H_LOE于”，先證明△ACN絲ZXBCM(SAS),得AN=BM,求出

的最小值B”的長即可得出AN的最小值.

【解析】(1)解：：點。，E分別是AC,的中點，

：.CD^^AC,CE=^BC,

"：AC=BC,

：.CD=CE,

...△COE是等腰直角三角形.

故答案為：等腰直角三角形.

(2)解：ND=ME,ND1ME,理由如下：

NDCE=NMCN,

：.ZMCE=NNCD,

,:CD=CE,CM=CN,

：./XDCN^AECM(SAS),

：.ND=ME,NCEM=/CDN,

NNDM=NCDN+NCDE=NDEC+NCDE=9Q。,

J.DNLME.

(3)解：連接8M,過點B,作BHLDE于H,如圖所示：

4DCE=乙MCN,

：.NACN=NBCM,

?:CN=CM,AC=BC,

:.l\ACN沿ABCM(SAS),

:.AN=BM,

答案第24頁，共36頁

二當BM最小時，AN最小，

BM的最小值為BH,

'：NBEH=Z.CED=NCDE=■x90。=45°,

2

又,:ZBHE=9Q°,

：.NEBH=90°-45°=45°,

/.ZBEH=ZEBH,

：.BH=EH,

：BE=；BC=2,

BH2+EH2=BE2=4.

即2B"2=4,

:?BH=五或BH=-五(舍去)，

；.AN的最小值為應.

【點評】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判

定與性質(zhì)，垂線段最短等知識，證明△和△ACNg^BCM,是解題的關(guān)鍵.

10.(1)見解析

⑵①G,②/E4c的度數(shù)為85?；?55。或35?；?5。

【分析】(1)由/D4E=N8AC,得NEAB=NCA。，再利用SAS可證明△EAB之△D4C；

(2)①由(1)△ABEgZSAC。得，ZABE=ZACD,由BE/〃4C,得/4BE=NCA8,可知

△ABC是等邊三角形，從而得出答案；

②分點。在線段BC上或點。在CB延長線上或點。在3c延長線上三種情形，分別畫出圖

形，根據(jù)△EAB^ADAC,得乙4E8=NAOC,從而解決問題.

【解析】(1)證明：當點￡＞在線段BC上時，

?.*/DAE=NBAC,

：.NDAE-NBAD=ABAC-ABAD

即/8AE=/C4。，

在△ABE和△ACD中，

AB=AC

"NBAE=NCAD

AE=AD

.,.△ABE^AACD(SAS)；

(2)①若BE//AC,BC=2,設BC所在直線為CF,過點A作AMLBC于點M,如圖，

答案第25頁，共36頁

A

則/AMB=NAMC=90。，

■:BEHAC,

:./EBF=ZACB,

由(1)知：^ABE^^ACD,

：.NABE=NACB,

;AB=AC,

：.Z.ABC=ZACB,

：.ZEBF=ZABE=ZABC=ZACB

；NEBF+NABE+ZABC=180°

：.ZEBF=ZABE=ZABC=ZACB=f>0°

...△ABC是等邊三角形，

AB=BC=2,

在放△ABM中，由勾股定理，得AM=JW2_5M2=也_12=6

SMBC=^BC-AM=^X2X43=>/3

即小ABC的面積為6

②在點。在運動過程中，若△A8E的最小角為25。，

而NABE=60°,

/B4E=25°或/AEB=25°,

若NBA￡=25。，

而/B4C=N4BC=/AC8=60。，貝U

ZEAC=ZBAE+ZBAC=25°+60°=85°,

當點。在C8延長線上時，如圖

答案第26頁，共36頁

E

由題意知，NAEB=25°,

由Q)同理可得，AEAB絲△D4C,

ZAEB=ZADC=25°,

：.ZDAC=ISO0-ZADC-ZACB=180°-25°-60°=95°,

：.ZEAC=ZEAD+Z￡)AC=60°+95°=155°

當點。在BC延長線上時，如圖，當/BAE=25。時，ZEAC=ZBAC-ZBAE=60°-25°=35°

當NAEB=25。時，由（1）同理可得△EABgZ\D4C,

ZAEB=ZADC=25°,

：.ZDAC=ZACB-AADC=60°-25°=35°

ZEAC=ZEAD-ADAC=60°-35°=25°

綜上所述：/EAC的度數(shù)為85?；?55?；?5。或25。.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，熟悉基本幾何模型是解題的關(guān)鍵.

11.（1）120°；（2）CD2+BD1=DE2,理由見解析；（3）屈

【分析】（1）利用等式的性質(zhì)判斷出/B4O=/C4E,進而得出△ABDgZ\4CE,即可得出

答案；

（2）同（1）的方法判斷出△48。絲進而得出B￡>=CE,N8CE=90。，即可得出結(jié)

答案第27頁，共36頁

論；

(3)同(2)的方法，即可得出結(jié)論.

【解析】(1);△Me和△AOE都是等邊三角形，

：.AB=ACfAD=AE,NB=NACB=NBAC=NDAE=60。,

???ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,

:?/BAD=/CAE,

：./\ABD^/\ACE(SAS),

AZB=ZACE=60°,

???ZDCE=ZACB+ZACE=120°,

故答案為：120；

(2)DE2=CD2+BD2；理由如下：

在放△ABC中，AB=ACf

：.ZB=ZACB=45°,

?：NBAC=NDAE=90。,

：.ZBAD=ZCAEf

'：AD=AEf

：./\ABD^/\ACE(SAS),

:?BD=CE,ZACE=ZB=45°,

：.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

根據(jù)勾股定理得，DE2=CD^CE2=CD2+BD2：

(3)VZBAC=ZDAE=90°,

???ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDACf

即N8AO=NCAE,

在^ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

AZABC=ZACE=45°,BD=CE,

：.NABC+NACB=NACE+NACB=90。，

：.ZBCE=ZECD=90°

'：BC=6fCE=10,

???BD=CE=10,

：.CD=BD-BC=\0-6=4f

答案第28頁，共36頁

RsDCE中，DE=^CE2+CEr=>/102+42=2回

???△ACE是等腰直角三角形，

:.AE=^!^~=底

【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出△A8Q會ZV1CE是解本題的關(guān)鍵.

12.(1)是，理由見解析

101

(2)5(〃+b),ab+—c~,a2+b2=c2

【分析】(1)由乙45。+/84。=/后4。+/347=90。可得乙鉆。=/石40,利用AAS即可

證明ABC^EAD；

⑵根據(jù)梯形的面積公式以及S梯形=S小+S饞+S,,可得兩種含有*b,的代

數(shù)式的S梯形SCDE的表示方法，進而得出。、b、。的數(shù)量關(guān)系；

(3)過點5作8/_LAC于點尸，交AD于？，此時C￡+E'F=B「，即CE+M的最小

值，利用勾股定理求出A3=8,利用面積法可求出5尸的值，即CE+EF的最小值.

(1)

解：(D./WC之一E4D理由如下：

四邊形8COE是直角梯形，

.\ZC=ZD=90°,

:.ZABC+ZBAC=90°,

AB1.AE,

：.ZBAE=90°1

ZE4D+ZfiAC=90o,

:.ZABC=ZEADf

在.ABC和.皿)中，

ZC=ZD

<ZABC=ZEADf

AB=EA

...ABCg二E4ZXAAS).

(2)

解：ABC^^EAD,

/.AC=ED,BC=AD,

答案第29頁，共36頁

,BC=a,AC=b,AB=c,

AD=BC=afDE=AC=b,AE=AB=c,

:,CD=AC+AD=a^-h,

2

1?p/r?oC￡zZJ=2-(BC+DE)CD=-2(a+h}(tz+W=-2(a+/>),

222

=ab+—c2

2

:.—(a+b)2=ab+—c2

22f

a?+2ab+。一=2ab+c~>

/.a2+b2=c2，

故答案為：—Qa+b)2；ab+—c2；cr-vb1=(r-

22

(3)

過點8作B/UAC于點/，交AD于E,此時CE+Er'=3U,即。石+￡F的最小值,

AC=AB=10,點。為底邊3c的中點，BC=12,

..BD=CD=-BC=6,ADJ.BC,

2

.-.ZADB=90°,

AD=dAB?-BD。=>/102-62=8，

?1'BF'±AC,

:.S.=-BCAD=-ACBF',

ABRCr22

.BF，=12X8=48

105

48

.?.CE+所的最小值為

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，直角

答案第30頁，共36頁

三角形的性質(zhì)以及面積的計算，勾股定理等知識；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形

全等是解題的關(guān)鍵.

13.(1)5

(2)見解析

e19-31

⑶-y或丁

44

【分析】(1)根據(jù)OE垂直平分AB,得BE=EF,80=^48=4,在即ABDE中，利用勾

股定理即可得出答案；

(2)作AG_LAC,交的延長線于G,連接FG,利用AAS1證明△AG。之△BE。，得BE

=AG,DG=DE,得出。尸是GE的垂直平分線，則GF=EF,再利用勾股定理即可證明結(jié)

論；

(3)點E在線段3c上或點E在BC延長線上，分別畫出圖形，利用(2)中的方法解決問

題即可.

【解析】(1)解：為A8中點，DFLDE,

垂直平分AB,

:.BE=EF,BO=；AB=4,

在放ABOE中，由勾股定理得，BE=732+42=5,

：.EF=BE=5；

(2)證明：作4GLAC,交E￡＞的延長線于G,連接FG,

：.AD=BD,

'：AG1AC,

；.NG4C=NACB=90。,

：.AG//BC,

答案第31頁，共36頁

???NAGD=NBED,

在△46。和43”中,

ZAGD=ZBED

<ZADG=ZBDE,

AD=BD

：.AAGD^ABED(A4S),

；?BE=AG,DG=DE,

9

：DF±DE9

???OF是GE的垂直平分線，

JGF=EF,

VZGAF=90°,

222

：.AG+AF=FGf

：.BE2+AF2=EF2；

(3)解：當點石在線段BC上時，作BH〃AC交尸。的延長線于“，連接

由(2)同理可得，HADF?XBDH(A4S),

:.BH=AF,DH=DF,

???QE是”尸的垂直平分線，

:?EF=HE,

2222

：.CF+CE=AF+BEt

設CF=JG則AF=8-右

：.x2+22=(8-x)2+42,

19

解得

4

，CF=日；

4

當點E在BC延長線上時，如圖，作BG〃AC,交FD的延長線于G,連接EF,EG,

答案第32頁，共36頁

同理可得C產(chǎn)+CE2=4尸+8序，

設CF=x,則AF=8-x,

.??N+22=(8-x)2+82,

解得*=一31，

4

”―衛(wèi)

4

…Li19-31

綜上：。r=丁或7.

44

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等

知識.解題的關(guān)鍵在于利用重點作平行線構(gòu)造全等三角形.

14.(1)A(6,273).

⑵①O(4.20)；②((唯)或(：，—).

222