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文檔簡介
第17章勾股定理期末壓軸題訓練
1.如圖,在平面直角坐標系中,乙480=90。,NA=30。,B點坐標為(0,4),點C為
A8的中點,動點。從點A出發(fā),以每秒2個單位的速度沿線段A。向終點。運動,運
動時間為f秒(>0),連接CD,作點A關(guān)于直線CD的對稱點P
(1)若點尸恰好落在AO上,求/的值;
(2)若CP1.OA,求f的值:
(3)當厚2時,NAP8的度數(shù)是否會發(fā)生變化?若保持不變,請求出NAPB的度數(shù):若發(fā)
生變化,請說明理由
2.【證明體驗】
圖1圖2圖3
(1)如圖1,在中,A£>為BC邊上的中線,延長至E,使OE=A。,連接BE.求
證:/\ACD^/\EBD.
【遷移應用】
(2)如圖2,在一ABC中,AC=5,BC=13,。為A8的中點,DCA.AC.求ABC面
積.
【拓展延伸】
(3)如圖3,在A5C中,ZABC=90°,。是BC延長線上一點,BC=CD,尸是AB上
一點,連接F。交AC于點E,若AF=EF=2,BD=6,求E£)的長.
3.如圖,平面直角坐標系中,點A、B分別在x、y軸上,點B的坐標為(0,2),ZABO
=60°.
E
(2)分別以48、A。為一邊作等邊△ABE、/XAOD,求證:BD=EO;
⑶在(2)的條件下,連接交48于F,請你證明點尸為。E的中點,并求出此時
4尸的值.
4.在RtABC中,ZACB=90°,BC=3,AC=4,點。是線段8c延長線上的動點,
點E是線段A3上的動點,連接DE.
⑴如圖1,若AACB冬_DEB,求線段DC的長;
(2)已知NBED=90。,如圖2.
①設線段。C=a,求線段OE的長(用含”的式子表示);
②設Z84C與NB0E的平分線相交于點P,求NAPD的度數(shù).
5.如圖1,在平面直角坐標系xOy中,A(a,0),8S,c),且(?-8)2+|&-3|+
=0,連接A8,AB2—(a-b)2+c2
試卷第2頁,共9頁
(1)求點4和點B的坐標和線段AB的長度;
(2)如圖2,點尸是射線A0上一動點,連接BP,將AABP沿著直線8P翻折至△Q8P,
當PQ〃A2時,求點尸和點。的坐標;
(3)在(2)的情況下,如圖3,點尸是線段4P延長線上一動點,連接8尸,將AABF沿
著直線B尸翻折至△MB凡連接MQ.當例尸〃BP時,試探究/QW凡NQBF與NMQB
之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
6.已知:在RAA5C中,ZC=90°,Zfi=30°,BC=6,左右作平行移動的等邊三角
形。EF的兩個頂點E、F始終在邊2c上,DE、。下分別與A5相交于點G、H.
(1)如圖1,當點尸與點C重合時,點。恰好在斜邊AB上,求AOEF的周長;
(2)如圖2,在AQEF作平行移動的過程中,圖中是否存在與線段CF始終相等的線段?
如果存在,請指出這條線段,并加以證明;如果不存在,請說明理由;
(3)假設C點與F點的距離為x,aOEF與△ABC的重疊部分的面積為y,求y與x的函
數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域.
7.點P到NAOB的距離定義如下:點Q為/AOB的兩邊上的動點,當PQ最小時,我
們稱此時尸。的長度為點P到/AOB的距離,記為d(P,NAOB).特別的,當點P在NA08
的邊上時,d(P,/AOB)=0.在平面直角坐標系xOy中,四邊形OA8C是以點0(0,0),
4(4,0),8(4,4),C(0,4)為頂點的正方形,作射線08,則/AOB=45。.
(1)如圖1,點0),P2(0,&),尸3(1,-2)的位置如圖所示,請用度量的方式,
判斷點B,P2,Pj中到NAOB的距離等于1的點是二
(2)已知點尸在NAO8的內(nèi)部,且d(P,ZAOB)=\,
①若點P的橫縱坐標都是整數(shù),請寫出一個滿足條件的點P的坐標」
②請在圖1中畫出所有滿足條件的點P;
(3)如圖2,已知點E(0,-8),F(-2,2),G(7,2),記射線£尸與射線EG組成的圖形
為圖形V.若點尸在圖形V上,滿足d(P,/AOB)=2&的點尸有一個.
8.在4ABC中,ZACB=9Q°,AC=BC.點。是直線AB上一點(點。與點A、點8不
重合),以C。為直角邊作等腰直角三角形OCE,使/OCE=90。,連接AE.
(2)如圖②,點。在BA的延長線上,點E與點A在C。的兩側(cè),直接寫出線段A8、A。、
AE三者之間的數(shù)量關(guān)系.
(3)如圖③,點。在4B的延長線上,點E與點A在8同側(cè).若AE=1,AB=4,則C£)
的長是多少?
9.如圖1,在,ABC中,AC=BC=4,ZACB=90°,點Q,E分別是AC,BC的中點.
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圖1圖2圖3
(1)直接寫出CQE的形狀是;
(2)如圖2,若點M為直線OE上一動點,/MCN=90。,CM=CN,連接ND,請判斷
N。與ME的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并說明理由;
⑶在(2)的條件下,連接AN,請求出AN的最小值.
10.如圖1,在AABC中,AB=AC,點。為直線BC上一動點(不與點B,C重合),
在AO的左側(cè)作△&£>£:,使得AE=A£),ZDAE=ZBAC,連接BE.
圖1圖2
(1)當點。在線段BC上時,求證:Z^ABE絲△ACD
(2)如圖2,若BE〃AC,BC=2.
①求△ABC的面積.
②在點。在運動過程中,若△A8E的最小角為25。,求/E4C的度數(shù).
11.(1)如圖1,△ABC為等邊三角形,點。為BC邊上的一動點(點。不與8、C重
合),以AD為邊作等邊△4DE,連接CE.易求NDCE=_。;
(2)如圖2,在△ABC中,ZBAC=90°,AC=A8,點。為BC上的一動點(點。不
與B、C重合),以4。為邊作等腰RSADE,/D4E=90。(頂點A、D、E按逆時針方
向排列),連接CE,類比題(1),請你猜想:線段8。、CD、OE之間的關(guān)系,并說明
理由;
(3)如圖3,在(2)的條件下,若。點在BC的延長線上運動,以AD為邊作等腰RtAADE,
ND4E=90。(頂點A、D、E按逆時針方向排列),連接CE.CE=10,8C=6,求AE
的長.
E
圖I圖2圖3
12.材料閱讀:如圖1所示,已知直角梯形8CDE中,A是CD上一點,CB=a,AC=b,
AB=c,且ABL/AE,AB=AE,現(xiàn)需探究直角三角形ABC的三邊。、b、c之間的數(shù)
量關(guān)系:
(1)【初步探究】猜想三角形A8C是否與三角形4DE全等,若是,請說明理由;
(2)【問題解決】請用兩種含有“,h,,的代數(shù)式的方法表示直角梯形3C0E的面積:
皿=.SmBCDE=.由此,你能得到的“、b、c的數(shù)量關(guān)系是:.
(3)【拓展應用】如圖2,等腰三角形ABC中,。是底邊BC上的中點,8c=12,鉆=10,
E、尸分別是線段AO和AC上的兩個動點,求:CE+EF的最小值.
13.如圖,在AABC中,ZACB=90°,。為A8中點,點E,尸分別在直線BC,AC上
(點E不與點3,C重合),DFA.DE,連接EF.
(2)如圖2,當點F不與點A重合時,求證:AF^+Be^EF2;
(3)若AC=8,BC=6,EC=2,求線段CF的長.
14.在平面直角坐標系xOy中,點8的坐標為(0,4g),以08為邊在y軸的右側(cè)作
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正三角形OAB.AC_Ly軸,垂足為C.
(1)如圖1,求點A的坐標.
(2)點。在線段4c上,點E是直線AB上一動點,連接OE、以。E為邊作正三角形/)£尸
(點。,E,F按逆時針排列)
①如圖2,當點E與點A重合時,連接。。,BF.若BF=2",求點。的坐標.
②若C£>=2,點尸是直線。F與直線0A的交點,當0P=6時,直接寫出點E的坐標.
15.如圖,RtAABC中,AB=AC,NBAC=90。,AAOE中,AD=AE,/ZME=90。.連
接肛CE.
圖1圖2
(1)如圖1,點B在邊EO的延長線上,求NAEC的度數(shù);
(2)如圖2,ZAEC=90°,射線E。交8c于點F.
①求證:BF=CF;
DE
②若3O=fc4。求=的值(用含k的式子表示).
DF
16.[問題發(fā)現(xiàn)]小明遇到這樣-一個問題:
如圖1,△48(7是等邊三角形,點。為8(:的中點,且滿足/4?!?6()。,DE交等邊三
角形外角平分線CE所在直線于點E.
圖1圖2備用圖
(1)小明發(fā)現(xiàn),過點。作。尸〃4C,交AC于點F,通過構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過推理論證,
能夠使問題得到解決,請直接寫出AZ)與。E的數(shù)量關(guān)系:_
(2)[類比探究]如圖2,當點。是線段BC上(除B,C外)任意一點時(其它條件不變),
試猜想AO與OE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(3)[拓展應用]當點。在線段BC的延長線上,且滿足CD=BC(其它條件不變)時,請直
接寫出△48。與^AOE的面積之比,
17.如圖,_A8C與,CDE是等邊三角形,連接A£>,取的中點P,連接BP并延長
至點M,使PM=BP,連接AM、EM、AE,將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn).
(1)如圖1,當點。在8c上,點E在AC上時,則△AEM的形狀為;
(2)將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,請判斷△AEM的形狀,并說明理由;
(3)若CD=g8C,將;CUE由圖1位置繞點順時針旋轉(zhuǎn)研0"夕<360。),當A、C、。
三點在同一直線上時,請直接寫出M器E的值.
18.定義:我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”.
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E
(1)特例感知:如圖1,四邊形ABCD是“垂美四邊形”,如果04=。。=(。8,08=2,
Z0BC=60°,貝IJAD-BC',AB2+CD2=.
(2)猜想論證:如圖1,如果四邊形ABCO是“垂美四邊形”,猜想它的兩組對邊AB,CD
與BC,A。之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明.
(3)拓展應用:如圖2,分別以R3AC3的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG
和正方形A8ZJE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,ZBAC=60°,求GE長.
參考答案:
3
1.⑴仁
(2)f的值為1或3
(3)/APB=90°,理由見解析
【分析】(1)利用利用直角三角形30°的性質(zhì)求出8,再勾股定理求出AD即可;
(2)分兩種情形:分別畫出圖形,求出AO即可解決問題;
(3)結(jié)論:/APB=90°是定值.利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理證明即可.
【解析】(1)解:如圖1中,
圖1
?:B(0,4),
???。3=4,
VZABO=90Q,ZA=30°,
:.OA=2OB=S1
:?AB7o#—OB?=幅"=4日
:CA=CP,CD1PA,
:.AD=PD,
':AC=CB=2y/3,
:.CD=^AC=43,
-'-AD=VAC2-CD2=QQ廚-電¥=3,
2
(2)解:如圖2-1中,當CPLOA設C尸交OA于點F.
答案第10頁,共36頁
圖2」
VZA=30°,ZCM=90°,
AZACF=90°-30°=60°,
???NOCA=NOCP=30°,
???NA=NOCA=30。,
:?CD=DA=2DF,
*.*AF=3,
:.AD=CD=29DF=1,
.2
..^=—=1;
2
如圖2-2中,當CPLOA,設PC的延長線交40于點立同法可證A/=。b=3,
圖2-2
:.AD=AF+DF=6,
綜上所述,滿足條件的f的值為1或3.
(3)結(jié)論:/AP8=90°是定值.
理由:如圖3中,
答案第11頁,共36頁
圖3
■:CA=CB=CP,
:.2CAP=^CPA,NCPB=NCBP,
,:ZCAP+ZAPB+ZABP=\SO°,
,2/CAP+2NC8P=180°,
:.ZCAP+ZCBP=90°,
AZAPB=90Q.
【點評】本題考查了翻折變換,等腰三角形的性質(zhì),直角三角形30度角的性質(zhì),勾股定理
等知識,解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題.
2.(1)見解析
⑵S7ABe=30
9
(3)的長為5
【分析】(1)根據(jù)S4S證明三角形全等;
(2)如圖2中,延長C力到T,使得力7=8,連接3T.由(I)可知AAZX?=,推出
AC=BT=5,ZA8=NT=9O。,利用勾股定理求出CT,即可解決問題;
(3)如圖3中,延長AC到R,使得CR=CA,連接OR.證明£>£=他,設。E=/)R==x,
則8尸=x-2,DF=x+2,在RfAOBF中,根據(jù)8產(chǎn)+=。尸,構(gòu)建方程即可解決問題.
【解析】(1)證明:如圖1中,
圖1
在AACQ和A£BD中,
DA=DE
-4ADC=ZEDB,
DC=DB
答案第12頁,共36頁
:./^\CD^AEBD(SAS);
(2)解:如圖2中,延長CD到乙使得。7=8,連接87.
圖2
由(1)可知AADCnMZ",
..AC=BT=5fZACD=ZT=90°,
:.CT=\lBC2-BT2=V132-52=12,
..CD=DT=6,
'.SAACB=S^DC^SACDB=^ACDC+^BTCD=^X5X6^^X5X6=30;
(3)解:如圖3中,延長AC到H,使得CR=C4,連接OR.
由(1)可知,AACB^ARCD,
:.AB=DR,Z4=4,
FE=FAf
:.ZA=ZAEF,
ZAEF=ZDER,
:.ZDER=ZR,
DE=DR=AB9
設DE=DR=AB=x,貝!]3尸=工一2,DF=x+2,
在心OB/中,BF2+BD2=DF2,
(X-2)2+62=(X+2)2,
9
2
:.DE=-.
答案第13頁,共36頁
【點評】本題屬于三角形綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識,解題
的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.
3.(1)4
(2)見解析
(3)證明見解析,點F為OE的中點,此時AF的值為1
【分析】(1)根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N84E=/OA£>=60°,AB=AE,OA=AD,求得N04E
=NDAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(3)過E作于H,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BH=AH=gA8=2,根據(jù)勾股定理
得至I」EH=^BE2-BH2==2班,求得OA=y/AB2-OB2=26,根據(jù)全等三角形的
性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解析】(1)解:??,點8的坐標為(0,2),
;.OB=2;
VZABO=60Q,ZBOA=90Q,
/BAO=30°,
,AB=2OB=4;
(2)證明:,:MABE、△A。。是等邊三角形,
:.ZBAE=ZOAD=60°,AB=AE,OA=AD,
:.ZOAB+ZBAE=ZOAB+ZOAD,
即/OAE=ND4B,
在△BAD與△EA。中,
AB=AE
■NOAE=NDAB,
AD=AO
:./\BAD^/\EAO(SAS),
:.BD=EO;
(3)解:過E作于”,
ZSABE是等邊三角形,
:.BH=AH=-AB=2,
2
,;BE=AB=4,
二EH=y/BE2-BH2=^/47^27=2上,
答案第14頁,共36頁
在Rt^AOB中,OAVAB—OB。=2百,
:.EH=AD,
VZOAD=60°,8Ao=30°,
:.ZDAF^ZEHF^90Q,
,:ZEFH=NAFD,
:./\EHF^/\DAF(AAS),
:.EF=DF,AF=HF=-AH^\,
2
...點尸為力E的中點,此時AE的值為1.
圖3
【點評】本題考查了三角形的綜合題,全等三角形的性質(zhì),含30°角的直角三角形的性質(zhì),
勾股定理,等邊三角形的性質(zhì),正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.
4.(1)2
⑵①與三②90。
【分析】(1)利用勾股定理求出A8=5,再運用全等三角形性質(zhì)即可求得答案:
(2)①如圖2,連接4。,運用三角形面積公式可得:SAABD^|BD-AC^DE-AB,即可
求得答案;
②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出:ZBAC^ZBDE=90°-ZB,再運用角平分線定義可得:
(90°-ZB)=45。-義/8,再運用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案.
【解析】(1)解:VZACB=90°,BC=3,AC=4,
AB=7AC2+BC2=A/32+42=5-
:.ACB^_DEB,
BD=AB=5,
:.DC=BD—BC=2;
答案第15頁,共36頁
(2)解:①連接AD,
VABED=ZACB=90°,
ADEJ.AB,AC1BD,
sA.HIl1J=)-BDAC=,-DEAB,
VBD=BC+DC=3+a,AC=4,AB=5,
.八二4a+12
??DE=-------------;
DCB
圖3
ABED=ZACB=90°,
:.ZCAB+ZB=ZBDE+ZB=90°,
ABAC=NBDE=90°-ZB,
':AP,OP分別是NB4C,的平分線,
NBAP=ZBDP=45°-—,
2
NBAP+NBDP=90°-ZB,
VADAP=ABAD-ABAP,ZADP=ZBDA-ZBDP,
:.NDAP+ZADP=(/BAD+ZBZM)-(ZBAP+ZBZ)P)=(180°-ZB)-(90°-ZB)=90°,
Z.ZAPD=180°-(ZDAP+ZADP)=90°.
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,三角形面積,勾股定理,全等三角形性質(zhì),角平分
線定義等,熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和面積法是解題關(guān)鍵.
答案第16頁,共36頁
5.(1)A(8,0),B(3,3),A8=南
⑵P(8-A,0);Q(3-衣,3)
(3)NMQB=2NQBF-NQMF,見解析
【分析】(1)由(a-8)2+63|+g-c=0,可得a=8,b=3,c=3,故A(8,0),B(3,
3),又A¥=(a-b)2+c2,即得A82=(8-3)2+32=34,HPAB=734;
(2)由48〃P。,得NBPQ=NABP,根據(jù)△ABP沿著直線8P翻折至△QBP,即得NB以
=NQBP,BQ//AP,而AB=8Q=后,8(3,3),故。(3一9,3),又AB〃P。,BQ
//AP,即得P(8-734,0);
(3)由BQ〃AP,得NAFB=NQBF,又MF〃BP,得NMFB=NPBF.由折疊可得:ZMFB
=NAFB,即得NQBF=/PBF,ZQBP=2ZQBF,過點。作直線CC〃MF,可得C£>〃MF
//BP,可得NCQB=NQBP,NCQM=NQMF,即可得NMQB=2NQBF-NQMF.
【解析】(1)解::(〃-8)2+|6-3|+61=0,
又?;(a-8)2>0,\b-3|>0,萬7NO,
-8=0,ft-3=0,c-3=0,
.,.a=8,b=3,c=3,
???A(8,0),B(3,3),
:.AB2=(8-3)2+32=34,BPAB=y/34;
(2)解:如圖所不:
:,/BPQ=/ABP,
???將△ABP沿著直線BP翻折至△Q8P,
工ZBPQ=ZBM,ZABP=ZQBP9
:.ZBPA=ZQBPf
:,BQ〃AP,
又AB=BQ=5,B(3,3),
答案第17頁,共36頁
:.Q(3-衣,3),
y.AB//PQ,BQ//AP,
;.BQ可看作將AP平移所得,
由平移的性質(zhì)得BQ=AP=V34,
又A(8,0),
:.P(8-取,0);
(3)解:數(shù)量關(guān)系:/MQB=2NQBF-NQMF.理由如下:
':BQ//AP,
:./AFB=NQBF;
':MF//BP,
ZMFB=ZPBF,
由折疊可得:/MFB=NAFB,
:.ZQBF=ZPBF,
:.NQBP=2NQBF,
過點Q作直線CD〃MF,如圖所示:
:.CD//MF//BP,
:.ZCQB=ZQBP,ZCQM=ZQMF,
又/MQB=NCQB-ZCQM,
ZMQB=ZQBP-NQMF,
又NQBP=2NQBF,
:.NMQB=2NQBF-ZQMF.
【點評】本題考查三角形綜合知識,涉及非負式的和為0的條件、圖像的折疊、平行線的性
質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì):折疊前后圖形形狀、大小不變.
6.(1)9;
⑵存在,CF=DG,證明見解析;
答案第18頁,共36頁
⑶二苧一骨(0J43)?
【分析】(1)利用勾股定理求出4c=26,再證明。。=且4。=3,即可求出AOEF的周
2
長;
(2)由(1)可知:,進一步得至ljb+8石=8C—石尸=6—3=3,再證明EG=BE,
利用EG+DG=CF+BE=3,即可證明CF=DG;
(3)求出%吠=券,S%0cH岑x'利用產(chǎn)S△由-S^HC,即可求出
y=唯一與2(03分
48
【解析】(1)解:???在RAA5C中,ZC=90°,NB=30。,BC=6,
:?AC=26,ZA=60°,
;△。石尸是等邊三角形,
???ZDCE=60°,
NACO=30。,
Q
/.ZADC=90f
??.CD=—AC=3,
2
???△;)£:廠的周長為9;
(2)解:結(jié)論:CF=DG.
理由:?.,8C=6,由(1)可知:EF=DF=DE=3,
:.CF+BE=BC-EF=6-3=3,
???△£)石戶是等邊三角形,
???ZZ)EF=60°,
■:/DEF=NB+/EGB,
:.NB:/EGB二/DGE=30。,
:.EG=BE,
?:EG+DG=CF+BE=3,
:.CF=DG;
22
(3)解::SDEF=x3=,S[X;H=—GH?DH=—x—x?-^-x=^-x?
'DEF4440GH22228
,_c$_96V3nn_9A/362、
??y=S-S^=-------x2,y=--------x2(0A<x<3).
AD£FDHG4o4o
答案第19頁,共36頁
【點評】本題考查勾股定理,等邊三角形的性質(zhì),30。所對的直角邊等于斜邊的一半,動點
問題,解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理,等邊三角形性質(zhì).
7.(1)B,P2
(2)①(3,1);②見解析
(3)6
【分析】(1)利用測量法結(jié)合點尸到NAOB的距離判斷即可.
(2)①根據(jù)d(P,ZAOB)=1,寫出滿足條件的點尸坐標即可.
②根據(jù)ZAOB)=1,利用勾股定理求解,畫出圖形即可.
(3)利用圖象法,畫出圖形判斷即可.
通過測量法,可知點P2到直線08的距離為1,OPi=l,OP3>1,
.,.點P/,P2,內(nèi)中到NAOB的距離等于1的點是P/,P2,
故答案為:Pi,P2;
(2)①一個滿足條件的點P的坐標(3,1),(4,1),(5,1)等(答案不唯一).
故答案為:(3,1)(答案不唯一).
②如圖2中,所有滿足條件的點P在/M/N的邊上.
答案第20頁,共36頁
在x軸上設一點D(X.0),使點D到0B的距離為1,
???四邊形A0C8為正方形,
ZBOA=45°,
.??△。0尸為等腰直角三角形,且。尸=1,
/.0D=^2,
過點。作。歷〃08,作直線y=l,
兩直線相交于點J,
所有滿足條件的點P在NM/N的邊上.
(3)如圖所示:連接AC,
???四邊形40CB為正方形,邊長為4,
:.AC=4g,且AC-L0B,
.".CGI=AGI=2Y/2,
過點C與點A分別作HC〃03〃4M,與圖形丫產(chǎn)生2個滿足條件的交點(圖中標出1個,
另一個由直線"C與EG直線相交產(chǎn)生);
分別作直線產(chǎn)20與產(chǎn)-2正,與圖形V產(chǎn)生2個滿足條件的交點,
以點O為圓心,2夜為半徑長,畫弧與圖形丫產(chǎn)生2個滿足條件的交點,
答案第21頁,共36頁
故滿足條件的點P有6個,
故答案為:6.
【點評】本題考查坐標與圖形的性質(zhì),點P到/A08的距離的定義,兩點之間的距離的定
義等知識,解題的關(guān)鍵是理解新的定義,學會利用圖象法解決問題,屬于中考創(chuàng)新題型.
8.(1)證明見解析
(2)AE=AB+AD
(3)CD=713
【分析】(1)先根據(jù)角的和差可得/BCD=ZACE,再根據(jù)等腰三角形的定義可得。C=EC,
然后根據(jù)三角形全等的判定證出」BCDwACE,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證;
(2)參照(1)的方法證出,BCDm.ACE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得比>=A£,然后
根據(jù)線段和差、等量代換即可得出結(jié)論;
(3)參照(1)的方法證出,8CDW,ACE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得
BD=AE=1,ZDBC=ZEAC,從而可得NE4E>=90。,然后在RtZXAE。中,利用勾股定理可
得ED2=26,最后在RtVZX石中,利用勾股定理即可得.
【解析】(1)證明:VZACB=ZDCE=90°,
:.ZACB-ZACD=ADCE-ZACD,即/BCD=ZACE,
3CE等腰直角三角形,
DC=EC,
BC=AC
在△BCD和AAC石中,/BCD=NACE,
DC=EC
答案第22頁,共36頁
:.^BCD^ACE(SAS),
:?BD=AE.
(2)解:AE=AB+AD,證明如下:
,:ZACB=ZDCE=90°,
ZACB+ZACD=/DCE+ZACD,BPZBCD=ZACE,
.一。CE等腰直角三角形,
:.DC=EC9
BC=AC
在△BCD和“。石中,/BCD=/ACE,
DC=EC
/..BCD=-ACE(SAS),
:?BD=AE,
AB+AD=BD,
AE=AB+AD.
(3)解:VZACB=ZDCE=90°,
AZACB-ZBCE=ZDCE-ZBCE,BPZACE=ZBCD9
,DCE等腰直角三角形,
DC=EC,
BC=AC
在△88和AACf中,\/.BCD=ZACE9
DC=EC
...BCD^.ACE(SAS),
??.BD=AE=1,ZDBC=AEAC,
ZACB=90°MC=BC,
:.ZABC=ZBAC=45°,
:.ZEAC=ZDBC=180°-45°=135°,
:.ZEAD=ZEAC-ZBAC=90°,
在RtAAEO中,AE=1,AO=A3+B9=4+1=5,
/.ED2=AE2+AD2=26,
在RtVDCE中,ED2=CD2+CE2=2CD2,BP2CD2=26,
解得C£>=布或CQ=-g<0(不符題意,舍去),
故CD的長為疝.
【點評】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點,正
確找出全等三角形是解題關(guān)鍵.
答案第23頁,共36頁
9.(1)等腰直角三角形
(2)ND=ME,ND1ME,理由見解析
⑶/
【分析】(1)由中點的定義得CQ=CE,則△C£>E是等腰直角三角形;
(2)利用SAS證明△OCN絲△ECM,得ZCEM=ZCDN,則ZNDM=ZCDE+ZDEC=
90°;
(3)連接8W,作2H_LOE于”,先證明△ACN絲ZXBCM(SAS),得AN=BM,求出
的最小值B”的長即可得出AN的最小值.
【解析】(1)解::點。,E分別是AC,的中點,
:.CD^^AC,CE=^BC,
":AC=BC,
:.CD=CE,
...△COE是等腰直角三角形.
故答案為:等腰直角三角形.
(2)解:ND=ME,ND1ME,理由如下:
NDCE=NMCN,
:.ZMCE=NNCD,
,:CD=CE,CM=CN,
:./XDCN^AECM(SAS),
:.ND=ME,NCEM=/CDN,
NNDM=NCDN+NCDE=NDEC+NCDE=9Q。,
J.DNLME.
(3)解:連接8M,過點B,作BHLDE于H,如圖所示:
4DCE=乙MCN,
:.NACN=NBCM,
?:CN=CM,AC=BC,
:.l\ACN沿ABCM(SAS),
:.AN=BM,
答案第24頁,共36頁
二當BM最小時,AN最小,
BM的最小值為BH,
':NBEH=Z.CED=NCDE=■x90。=45°,
2
又,:ZBHE=9Q°,
:.NEBH=90°-45°=45°,
/.ZBEH=ZEBH,
:.BH=EH,
:BE=;BC=2,
BH2+EH2=BE2=4.
即2B"2=4,
:?BH=五或BH=-五(舍去),
;.AN的最小值為應.
【點評】本題是三角形綜合題,主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判
定與性質(zhì),垂線段最短等知識,證明△和△ACNg^BCM,是解題的關(guān)鍵.
10.(1)見解析
⑵①G,②/E4c的度數(shù)為85?;?55。或35?;?5。
【分析】(1)由/D4E=N8AC,得NEAB=NCA。,再利用SAS可證明△EAB之△D4C;
(2)①由(1)△ABEgZSAC。得,ZABE=ZACD,由BE/〃4C,得/4BE=NCA8,可知
△ABC是等邊三角形,從而得出答案;
②分點。在線段BC上或點。在CB延長線上或點。在3c延長線上三種情形,分別畫出圖
形,根據(jù)△EAB^ADAC,得乙4E8=NAOC,從而解決問題.
【解析】(1)證明:當點£>在線段BC上時,
?.*/DAE=NBAC,
:.NDAE-NBAD=ABAC-ABAD
即/8AE=/C4。,
在△ABE和△ACD中,
AB=AC
"NBAE=NCAD
AE=AD
.,.△ABE^AACD(SAS);
(2)①若BE//AC,BC=2,設BC所在直線為CF,過點A作AMLBC于點M,如圖,
答案第25頁,共36頁
A
則/AMB=NAMC=90。,
■:BEHAC,
:./EBF=ZACB,
由(1)知:^ABE^^ACD,
:.NABE=NACB,
;AB=AC,
:.Z.ABC=ZACB,
:.ZEBF=ZABE=ZABC=ZACB
;NEBF+NABE+ZABC=180°
:.ZEBF=ZABE=ZABC=ZACB=f>0°
...△ABC是等邊三角形,
AB=BC=2,
在放△ABM中,由勾股定理,得AM=JW2_5M2=也_12=6
SMBC=^BC-AM=^X2X43=>/3
即小ABC的面積為6
②在點。在運動過程中,若△A8E的最小角為25。,
而NABE=60°,
/B4E=25°或/AEB=25°,
若NBA£=25。,
而/B4C=N4BC=/AC8=60。,貝U
ZEAC=ZBAE+ZBAC=25°+60°=85°,
當點。在C8延長線上時,如圖
答案第26頁,共36頁
E
由題意知,NAEB=25°,
由Q)同理可得,AEAB絲△D4C,
ZAEB=ZADC=25°,
:.ZDAC=ISO0-ZADC-ZACB=180°-25°-60°=95°,
:.ZEAC=ZEAD+Z£)AC=60°+95°=155°
當點。在BC延長線上時,如圖,當/BAE=25。時,ZEAC=ZBAC-ZBAE=60°-25°=35°
當NAEB=25。時,由(1)同理可得△EABgZ\D4C,
ZAEB=ZADC=25°,
:.ZDAC=ZACB-AADC=60°-25°=35°
ZEAC=ZEAD-ADAC=60°-35°=25°
綜上所述:/EAC的度數(shù)為85?;?55?;?5。或25。.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性
質(zhì),熟悉基本幾何模型是解題的關(guān)鍵.
11.(1)120°;(2)CD2+BD1=DE2,理由見解析;(3)屈
【分析】(1)利用等式的性質(zhì)判斷出/B4O=/C4E,進而得出△ABDgZ\4CE,即可得出
答案;
(2)同(1)的方法判斷出△48。絲進而得出B£>=CE,N8CE=90。,即可得出結(jié)
答案第27頁,共36頁
論;
(3)同(2)的方法,即可得出結(jié)論.
【解析】(1);△Me和△AOE都是等邊三角形,
:.AB=ACfAD=AE,NB=NACB=NBAC=NDAE=60。,
???ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,
:?/BAD=/CAE,
:./\ABD^/\ACE(SAS),
AZB=ZACE=60°,
???ZDCE=ZACB+ZACE=120°,
故答案為:120;
(2)DE2=CD2+BD2;理由如下:
在放△ABC中,AB=ACf
:.ZB=ZACB=45°,
?:NBAC=NDAE=90。,
:.ZBAD=ZCAEf
':AD=AEf
:./\ABD^/\ACE(SAS),
:?BD=CE,ZACE=ZB=45°,
:.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,
根據(jù)勾股定理得,DE2=CD^CE2=CD2+BD2:
(3)VZBAC=ZDAE=90°,
???ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDACf
即N8AO=NCAE,
在^ACE中,
AB=AC
<ZBAD=ZCAE
AD=AE
:.AABD^AACE(SAS),
AZABC=ZACE=45°,BD=CE,
:.NABC+NACB=NACE+NACB=90。,
:.ZBCE=ZECD=90°
':BC=6fCE=10,
???BD=CE=10,
:.CD=BD-BC=\0-6=4f
答案第28頁,共36頁
RsDCE中,DE=^CE2+CEr=>/102+42=2回
???△ACE是等腰直角三角形,
:.AE=^!^~=底
【點評】此題是三角形綜合題,主要考查了等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全
等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,判斷出△A8Q會ZV1CE是解本題的關(guān)鍵.
12.(1)是,理由見解析
101
(2)5(〃+b),ab+—c~,a2+b2=c2
【分析】(1)由乙45。+/84。=/后4。+/347=90。可得乙鉆。=/石40,利用AAS即可
證明ABC^EAD;
⑵根據(jù)梯形的面積公式以及S梯形=S小+S饞+S,,可得兩種含有*b,的代
數(shù)式的S梯形SCDE的表示方法,進而得出。、b、。的數(shù)量關(guān)系;
(3)過點5作8/_LAC于點尸,交AD于?,此時C£+E'F=B「,即CE+M的最小
值,利用勾股定理求出A3=8,利用面積法可求出5尸的值,即CE+EF的最小值.
(1)
解:(D./WC之一E4D理由如下:
四邊形8COE是直角梯形,
.\ZC=ZD=90°,
:.ZABC+ZBAC=90°,
AB1.AE,
:.ZBAE=90°1
ZE4D+ZfiAC=90o,
:.ZABC=ZEADf
在.ABC和.皿)中,
ZC=ZD
<ZABC=ZEADf
AB=EA
...ABCg二E4ZXAAS).
(2)
解:ABC^^EAD,
/.AC=ED,BC=AD,
答案第29頁,共36頁
,BC=a,AC=b,AB=c,
AD=BC=afDE=AC=b,AE=AB=c,
:,CD=AC+AD=a^-h,
2
1?p/r?oC£zZJ=2-(BC+DE)CD=-2(a+h}(tz+W=-2(a+/>),
222
=ab+—c2
2
:.—(a+b)2=ab+—c2
22f
a?+2ab+。一=2ab+c~>
/.a2+b2=c2,
故答案為:—Qa+b)2;ab+—c2;cr-vb1=(r-
22
(3)
過點8作B/UAC于點/,交AD于E,此時CE+Er'=3U,即。石+£F的最小值,
AC=AB=10,點。為底邊3c的中點,BC=12,
..BD=CD=-BC=6,ADJ.BC,
2
.-.ZADB=90°,
AD=dAB?-BD。=>/102-62=8,
?1'BF'±AC,
:.S.=-BCAD=-ACBF',
ABRCr22
.BF,=12X8=48
105
48
.?.CE+所的最小值為
【點評】本題是四邊形綜合題,考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),直角
答案第30頁,共36頁
三角形的性質(zhì)以及面積的計算,勾股定理等知識;熟練掌握直角三角形的性質(zhì),證明三角形
全等是解題的關(guān)鍵.
13.(1)5
(2)見解析
e19-31
⑶-y或丁
44
【分析】(1)根據(jù)OE垂直平分AB,得BE=EF,80=^48=4,在即ABDE中,利用勾
股定理即可得出答案;
(2)作AG_LAC,交的延長線于G,連接FG,利用AAS1證明△AG。之△BE。,得BE
=AG,DG=DE,得出。尸是GE的垂直平分線,則GF=EF,再利用勾股定理即可證明結(jié)
論;
(3)點E在線段3c上或點E在BC延長線上,分別畫出圖形,利用(2)中的方法解決問
題即可.
【解析】(1)解:為A8中點,DFLDE,
垂直平分AB,
:.BE=EF,BO=;AB=4,
在放ABOE中,由勾股定理得,BE=732+42=5,
:.EF=BE=5;
(2)證明:作4GLAC,交E£>的延長線于G,連接FG,
:.AD=BD,
':AG1AC,
;.NG4C=NACB=90。,
:.AG//BC,
答案第31頁,共36頁
???NAGD=NBED,
在△46。和43”中,
ZAGD=ZBED
<ZADG=ZBDE,
AD=BD
:.AAGD^ABED(A4S),
;?BE=AG,DG=DE,
9
:DF±DE9
???OF是GE的垂直平分線,
JGF=EF,
VZGAF=90°,
222
:.AG+AF=FGf
:.BE2+AF2=EF2;
(3)解:當點石在線段BC上時,作BH〃AC交尸。的延長線于“,連接
由(2)同理可得,HADF?XBDH(A4S),
:.BH=AF,DH=DF,
???QE是”尸的垂直平分線,
:?EF=HE,
2222
:.CF+CE=AF+BEt
設CF=JG則AF=8-右
:.x2+22=(8-x)2+42,
19
解得
4
,CF=日;
4
當點E在BC延長線上時,如圖,作BG〃AC,交FD的延長線于G,連接EF,EG,
答案第32頁,共36頁
同理可得C產(chǎn)+CE2=4尸+8序,
設CF=x,則AF=8-x,
.??N+22=(8-x)2+82,
解得*=一31,
4
”―衛(wèi)
4
…Li19-31
綜上:。r=丁或7.
44
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等
知識.解題的關(guān)鍵在于利用重點作平行線構(gòu)造全等三角形.
14.(1)A(6,273).
⑵①O(4.20);②((唯)或(:,—).
222
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