專轉(zhuǎn)本模擬試題與解析(四)

第第頁(yè)專轉(zhuǎn)本模擬試題與解析(四)江蘇省2022年一般高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試模擬試卷〔四〕解析

高等數(shù)學(xué)

考前須知：

1.考生務(wù)必將密封線內(nèi)的各項(xiàng)填寫(xiě)清晰。

2.考生需要要鋼筆或圓珠筆將答案徑直寫(xiě)在試卷上，寫(xiě)在草稿紙上無(wú)效。3.本試卷五大題24小題，總分值150分，考試時(shí)間120分鐘。

一、選擇題〔本大題共6小題，每題4分，共24分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合要求的，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)〕。1、以下極限存在的是〔〕

*311

limln*D、limsin4B、lim3A、limC、**1*3*1*0*1

*

2、函數(shù)y*在那么*1處〔〕

A、連續(xù)B、不連續(xù)C、可導(dǎo)D、可微3、函數(shù)f(*)*sin*在閉區(qū)間0,1上的最大值為〔〕

A、0B、1C、1sin1D、4

、不定積分

2

f〔〕

A

、fB

、fCC、f(*)D、f(*)C5、方程y2yyesin*的特解形式為〔〕A、Aesin*B、A*e

*

2*

*

sin*

C、e*(Asin*Bcos*)D、A*2(sin*cos*)6、直線

*1yz1

與平面的*yz1的位置關(guān)系是〔〕211

A、垂直B、平行C、夾角為

D、夾角為43

二、填空題〔本大題共6小題，每題6分，共24分，請(qǐng)把正確答案的結(jié)果添在劃線上〕。

a*2b*2

3,那么a_____,b_______。7、已知a,b為常數(shù)，lim

*2*1

8、d_____________

3

2

1

d*。1*

9、y*3*5的拐點(diǎn)是。10

、定積分

2

*3)d*___________。

n

*n

的收斂域是__________________。11、冪級(jí)數(shù)(1)nn1

z

ze*y，那么12、設(shè)

z

_______________________。y

三、計(jì)算題〔本大題共8小題，每題8分，共64分〕。13、求極限lim

1cos*

。

*0*sin*

*a(tsint)d2y

14、已知擺線的參數(shù)方程，求2。

d*ya(1cost)

15、求不定積分

16

、計(jì)算定積分17、計(jì)算

1

1e*。

2。

(*y)d*dy，其中D由y*,y*在第一象限所圍的區(qū)域。

D

2

z2z,18、已知函數(shù)zf(*y,*y)，其中f(u,v)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。**y

2

2

19、求一曲線方程，使得此曲線在任一點(diǎn)處的切線斜率等于2*y，并且曲線通過(guò)原點(diǎn)。

20、求過(guò)點(diǎn)2,1,1，平行于直線平面方程。

*2y1z2

且垂直于平面*2y3z50的321

21、證明：當(dāng)*0時(shí)，ln(1*)*。

22、設(shè)f(*)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)0，

ba

f2(*)d*1，證明：

1

*f(*)f(*)d*a

2

b

23、計(jì)算ye*與直線y0之間位于第一象限內(nèi)的平面圖形繞*軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)

體體積。

24、在半徑為R的半圓內(nèi)作內(nèi)接梯形，何時(shí)面積最大？

江蘇省2022年一般高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試模擬試卷解析〔四〕

高等數(shù)學(xué)

一、選擇題〔本大題共6小題，每題4分，共24分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合要求的，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)〕。1、以下極限存在的是〔〕

*311

limln*lim4limsinlimA、*B、*3C、*0D、*1

*13*1

*

解析：求極限時(shí)，先判斷極限類型，假設(shè)是以轉(zhuǎn)化為

0

或型可以徑直運(yùn)用羅比達(dá)法那么，其余類型可0

0

或型。不過(guò)，在求極限時(shí)應(yīng)敏捷運(yùn)用多種方法，特別是無(wú)窮小量或是無(wú)窮大0

量階的比較，無(wú)窮小量與有界變量的乘積還是無(wú)窮小量等性質(zhì)。極限存在是指它的極限為一個(gè)有限的數(shù)值，無(wú)窮或振蕩均屬極限不存在狀況。

*311lim3〔最高次系數(shù)比值〕,故此題答案選B*3*13

2、函數(shù)y*在那么*1處〔〕

A、連續(xù)B、不連續(xù)C、可導(dǎo)D、可微

解析：此題考查可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系。也可從幾何直觀上加以說(shuō)明。連續(xù)是指曲線在該點(diǎn)沒(méi)有斷開(kāi)，可導(dǎo)是在連續(xù)的基礎(chǔ)上考查曲線在該點(diǎn)的光滑性〔“尖”點(diǎn)處沒(méi)有導(dǎo)數(shù)〕。連續(xù)是可導(dǎo)的須要而非充分條件。故此題答案選A

3、函數(shù)f(*)*sin*在閉區(qū)間0,1上的最大值為〔〕

A、0B、1C、1sin1D、

2

解析：此題考查閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值求法。先求區(qū)間內(nèi)部的可能極值點(diǎn)〔駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)〕，再將它們所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可。

又f(*)1cos*0，f(*)在閉區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，故f(*)在*1處取得最大值，

最大值f(1)1sin1，故此題答案選C4

、不定積分

f〔〕

A

、fB

、fCC、f(*)D、f(*)C

解析：該題考察不定積分的基本概念以及湊微分法。

求f(*)的不定積分就是找那些導(dǎo)數(shù)為f(*)的全部函數(shù)全體，不定積分求解正確與否，只要反過(guò)來(lái)求導(dǎo)是否為被積函數(shù)即可。

ffC,故此題答案選B

5、方程y2yye*sin*的特解形式為〔〕A、Aesin*B、A*e

*

2*

sin*

C、e*(Asin*Bcos*)D、A*2(sin*cos*)解析：解微分方程首先要判別類型，該方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程。〔1〕齊次方程ypyqy0，其中p,q為常數(shù)。

求解步驟：1〕特征方程

2pq0，求根1,2。

1*

2〕1,2互異實(shí)根，yc1e

1

c2e2*，

12，yc1e*c2*e*；

2

1,2i(0)，ye*(c1cos*c2sin*)。

〔2〕非齊次方程ypyqyf(*)，通解為其所對(duì)應(yīng)的齊次方程通解加上本身特解y。第一種：f(*)ePm*，其中Pm*表示m次多項(xiàng)式。

*

解結(jié)構(gòu)：y齊次方程通解特解y形式設(shè)定如下：〔1〕識(shí)別,m；

特解y。

〔2〕考查作為特征根的重?cái)?shù)個(gè)數(shù)k；〔3〕特解可設(shè)為y**eQm*，

k*

0,不是特征根；

是單根；其中Qm*表示m次多項(xiàng)式。k1,

2,是二重根；

第二種：f(*)e

*

P*cos*P*sin*，

m

n

其中Pm*，Pn*表示m,n次多項(xiàng)式。解結(jié)構(gòu)：y齊次方程通解特解y形式設(shè)定如下：〔1〕識(shí)別,,m,n；

特解y。

〔2〕計(jì)算i，k和特征根1,2相等個(gè)數(shù)，lma*m,n。〔3〕特解可設(shè)為y**e

k*

*sin*，

Q*cos*Q

l

l

其中Ql*,Ql*為l次多項(xiàng)式。

0，i不是特征根；

其中k故此題答案為C:e*(Asin*Bcos*)，其中A,B

1，i是特征根；

待定系數(shù)。6、直線

*1yz1

與平面的*yz1的位置關(guān)系是〔〕211

A、垂直B、平行C、夾角為

D、夾角為43

解析：考查直線與平面之間的位置關(guān)系，主要是平面的法向量與直線的方向向量之間的關(guān)系。直線的方向向量為s2,1,1，平面的法向量為n1,1,1；

顯著，sn0，即sn，故直線平行于平面或在平面內(nèi)。又直線上點(diǎn)1,0,1不滿意平面方程，所以，該直線平行于已知平面。故此題答案選B

二、填空題〔本大題共6小題，每題6分，共24分，請(qǐng)把正確答案的結(jié)果添在劃線上〕。

a*2b*2

3,那么a_____,b_______。7、已知a,b為常數(shù)，lim

*2*1

解析：該題為極限反問(wèn)題，考查有理分式極限lim

Pm*

，只需比較分子與分母的次數(shù)即可，

*P*n

先判斷極限類型，假設(shè)是

00

或型可以徑直運(yùn)用羅比達(dá)法那么，其余類型可以轉(zhuǎn)化為或型。00

0,mn

Pm*lim,mn；故a0,b6,故此題答案選B*P*n分子與分母最高次系數(shù)之比值，mn

8、d_____________

1d*1*。

1

d*。1*

解析：該題考查微分的形式不變性，常規(guī)湊微分方法。dln(1*)

32

y*3*5的拐點(diǎn)是。9、

解析：曲線上凹凸性發(fā)生轉(zhuǎn)變的界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)。它可能涌現(xiàn)在f(*)0的點(diǎn)或f(*)不存在的點(diǎn)。由于多項(xiàng)式函數(shù)到處二階可導(dǎo)，故拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)肯定為零。然后再看該點(diǎn)左右二階導(dǎo)數(shù)是否變號(hào)求出拐點(diǎn)。令y6*60，得*1，此時(shí)y3。又*1時(shí)，y6*60；*1時(shí)，y6*60。故拐點(diǎn)為1,3。

10

、定積分

解析：該題考察奇偶函數(shù)的定積分在對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì)以及定積分的幾何意義。

2

*3)d*___________。

a

a

0,f(*)為奇函數(shù)

；

f(*)d*a

2f(*)d*,f(*)為偶函數(shù)0*3)d*

22

*3

2

2

202

這里由于函數(shù)f(*)*3故積分為零，

積分的上半圓的面積。

2

表示半徑為2

*n

11、冪級(jí)數(shù)(1)的收斂域是__________________。

nn1

n

解析：對(duì)于冪級(jí)數(shù)

an*n，假如lim

n0

n

an1

，那么〔或〕

nan

收斂半徑R

1

，收斂區(qū)間為R,R。再將*R代入級(jí)數(shù)詳細(xì)考查。假設(shè)冪級(jí)數(shù)

a*

nn0

n

缺少的奇次項(xiàng)〔偶次項(xiàng)〕或上述極限不存在〔不是無(wú)窮〕，那么此時(shí)將*當(dāng)作常量轉(zhuǎn)化為常數(shù)

項(xiàng)級(jí)數(shù)處理。此題lim

n

an11n

lim1，所以R1，nn1an

1(1)n

*1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，*1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)閇1,1)。

nn1nn1

對(duì)于冪級(jí)數(shù)

a(**)

n

n1

n

只需作變量代換**0t即可。

12、設(shè)zez*y，那么

z

_______________________。y

解析：由方程F(*,y,z)0決斷隱函數(shù)zz(*,y)。求偏導(dǎo)公式為：

FyF*zz

，〔也可方程或等式兩邊徑直對(duì)某個(gè)變量求偏導(dǎo)，將z看作該變量的*FzyFz

一元函數(shù)，另外一個(gè)變量當(dāng)作常量〕

Fyz**

。Fze*y，zz

yFz1e1e

z

三、計(jì)算題〔本大題共8小題，每題8分，共64分〕。13、求極限lim

1cos*

。

*0*sin*

解析：lim

1cos*1cos*1

lim

*0*sin**0*22

12

*為等價(jià)無(wú)窮小量〕2

〔當(dāng)*0時(shí)，sin*與*為等價(jià)無(wú)窮小量，1cos*與

*a(tsint)d2y

14、已知擺線的參數(shù)方程，求2。

d*ya(1cost)

解析：由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是?？嫉囊粋€(gè)內(nèi)容，首先需要熟記求導(dǎo)公式

a(1cost)dysintt

y

d*a(tsint)1costt

dy

sint

dy22

dydy111costtcost(1cost)sint

d*2d*(1cost)2a(1cost)a(1cost)2

15、求不定積分

1

1e*。

解析：該題運(yùn)用湊微分法，

f(e*)e*d*

f(e

1

*

)de*是常常遇見(jiàn)的固定類型

11e*1e*de**

1e*=1e*d*=(11e*)d**1e*=*ln(1e)C

16

、計(jì)算定積分

2。

解析：該題運(yùn)用第二類換元法，作三角代換令*sect，d*

tantsectdt，且*

t；*2時(shí)，t；所以

43

2

4

3

tantsect

3dt

tantsect34124

17、計(jì)算

(*y)d*dy，其中D由y*,y*在第一象限所圍的區(qū)域。

D

2

解析：二重積分問(wèn)題是許多“專轉(zhuǎn)本”同學(xué)的難點(diǎn)。首先要理解二重積分的幾何意義，特別

是對(duì)稱型簡(jiǎn)化積分計(jì)算。首先要畫(huà)出積分區(qū)域〔如圖〕，然后依據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)與區(qū)域的外形選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)以及適當(dāng)?shù)姆e分順次。一般當(dāng)被積函數(shù)形如f(*2y2)，區(qū)域外形為圓形、圓環(huán)、扇形〔環(huán)〕等，往往運(yùn)用極坐標(biāo)計(jì)算；否那么，往往用直角坐標(biāo)計(jì)算。

1

*

(*y)d*dyd*(*y)dy

D

*2

12

(*yy)d*

2*20

1

*

11

(*2*2*3*4)d*

220

111331

。(*2*3*4)d*

241020220

1

1

17、解析：積分限為無(wú)窮的廣義積分，當(dāng)收斂時(shí)其收斂值的計(jì)算和正常的定積分一樣，也有類似的牛頓--萊布尼茲公式：

a

f(*)d*F(*)

a

F()F(a)，所以

tetdttdettet

0

etdt(et)

etdt

0

1

z2z,18、已知函數(shù)zf(*y,*y)，其中f(u,v)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。**y

2

2

解析：該題型是幾乎每年必考，需要仔細(xì)掌控。

第一步：變量*,y,z的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖

1z2

*y*y

其中1，2分別表示*2y2,*y

第二步：查找與*對(duì)應(yīng)的路徑，計(jì)算的過(guò)程可以總結(jié)為“路中用乘，路間用加”

z

f12*f2y*

2z

2*f112yf12*f2yf212yf22**y

22

4*yf112*f12f22yf21*yf22

19、求一曲線方程，使得此曲線在任一點(diǎn)處的切線斜率等于2*y，并且曲線通過(guò)原點(diǎn)。解析：導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示曲線在該點(diǎn)切線的斜率，由此先建立微分方程。一階線性非齊次方程yP(*)yQ(*)的通解為

P(*)d*P(*)d*

yeQ(*)ed*C

此題y2*y且y(0)0，即yy2*,通解ye

1d*

1d*

2*ed*C

P(*)1,Q(*)2*，

e*2*e*2e*C2*2Ce*

由于y(0)0得02C,

*

C2

所以，曲線方程為y2e2*2

20、求過(guò)點(diǎn)2,1,1，平行于直線平面方程。

*2y1z2

且垂直于平面*2y3z50的321

解析：求平面方程，基本方法是運(yùn)用點(diǎn)法式。求出平面上的一個(gè)定點(diǎn)和法向量n。

*2y1z2

平面上的定點(diǎn)(2,1,1)已知，直線的方向向量s3,2,1，平面321

*2y3z50的法向量n11,2,3；由條件簡(jiǎn)單得到ns，nn1，故可取

ijk

nsn13214,8,441,2,1

123

平面點(diǎn)法式方程為：1(*2)2(y1)1(z1)0，即*2yz10。

四、證明題〔每題9分，共18分〕21、證明：當(dāng)*0時(shí)，ln(1*)*。

解析：函數(shù)不等式的證明方法許多，其中利用單調(diào)性證明不等式是常常運(yùn)用的一種方法?？蛇\(yùn)用單調(diào)性證明的問(wèn)題通常形式為*a或*a時(shí)，證明f(*)g(*)；通常設(shè)幫助函數(shù)F(*)f(*)g(*)，證明F(*)f(*)g(*)是單調(diào)的。

設(shè)F(*)ln(1*)*，F(xiàn)(*)

1*11*1*，

當(dāng)*0時(shí)，F(xiàn)(*)0，F(xiàn)(*)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，

F(*)F(0)0，即ln(1*)*。

22、設(shè)f(*)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)0，

ba

f2(*)d*1，證明：

1

*f(*)f(*)d*。a

2

b

解析：定積分是一個(gè)值，計(jì)算的基本方法是牛頓萊布尼茲公式。此題被積函數(shù)為抽象函數(shù)，一般運(yùn)用定積分的分部積分法。

ba

*f(*)f(*)d**f(*)df(*)

ab

b

1b2

*d[f(*)]2a

1

[*[f(*)]2

21b1b22

[f(*)]d*][f(*)]d*aa

2a2

五、綜合題〔每題10分，共20分〕

*

23、計(jì)算ye與直線y0之間位于第一象限內(nèi)的平面圖形繞*軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)

體體積。

解析：該類題型是定積分應(yīng)用中?？嫉念}型，但是近兩年在該知識(shí)點(diǎn)常出綜合題。結(jié)合微分方程，極限等知識(shí)點(diǎn)出題。

首先畫(huà)出圖形，依據(jù)圖形，寫(xiě)處體積微元

dV(e*)2d*e2*d*

那么由題意，可得

Ve

2*

d*

20

e2*d(2*)

2

24、在半徑為R的半圓內(nèi)作內(nèi)接梯形，何時(shí)面積最大？

解析：將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題的最大、最小或更廣泛的最優(yōu)化問(wèn)題的求解中是特別重要的考點(diǎn)。是考查考生實(shí)際應(yīng)用技能的一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，它可能涉及到幾何、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的內(nèi)容。分析問(wèn)題的流程為：

〔1〕適當(dāng)假設(shè)求解變量*；〔2〕函數(shù)關(guān)系yy(*)確定；

〔3〕y0求解，交待y最大、最小的理由；〔4〕合理分析。

注：第二步是整個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵步驟，(3)中的理由部分可能是簡(jiǎn)單疏忽之處。設(shè)上底長(zhǎng)度為2*，即OF

*，如下圖，OE

S(*)(2*2R)R2*2/2(*R)R2*2S'(*)R2*2(*R)

*(*R)R*

2

2

2*2R*

2

2

AE

R2*2

由S(*)0解得*R/2〔*R舍