弧長及扇形面積（原卷版）

2.7弧長及扇形的面積一、弧長公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)

要點(diǎn)：

(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個(gè)量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

二、扇形面積公式

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對的扇形面積公式：

要點(diǎn)：

(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.題型1：求弧長1．一個(gè)扇形的圓心角是，面積為，那么這個(gè)扇形的弧長為（

）．A．3 B．2 C． D．2．如圖所示，內(nèi)接于，且，，則的長度為（

）A． B． C． D．3．如圖，在扇形中，，將扇形沿著過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧上的點(diǎn)D處，折痕交于點(diǎn)C，則弧的長為（結(jié)果保留）（

）A． B． C． D．題型2：求扇形面積4．如圖，扇形紙片的半徑為6，沿折疊扇形紙片，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．5．已知半徑為的扇形的圓心角為，則該扇形的面積為（

）A．4 B．6 C．4π D．6π6．如圖，正六邊形內(nèi)接于，若的半徑等于2，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．題型3：求圓心角7．一個(gè)扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2，則這個(gè)扇形的圓心角是（

）A．120° B．150° C．60° D．100°8．一扇形的半徑等于已知圓的半徑的2倍，且它的面積等于該圓的面積，則這一扇形的圓心角為（）A．20° B．120° C．100° D．90°9．如圖，將等邊△ABC的邊AC逐漸變成以B為圓心、BA為半徑的，長度不變，AB、BC的長度也不變，則∠ABC的度數(shù)大小由60°變?yōu)椋ǎ〢．（）° B．（）° C．（）° D．（）°題型4：求弓形面積10．如圖，已知內(nèi)接于，為直徑，的平分線交于點(diǎn)D，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．11．如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．12．如圖，正方形ABCD的邊長為2，O為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，以C為圓心，2為半徑作弧BD，再分別以E、F為圓心，1為半徑作弧BO、弧OD，則圖中陰影部分的面積為（

）A．π1 B．π2 C．π3 D．4題型5：求其他不規(guī)則圖形的面積13．如圖，將直徑為4的半圓形分別沿，折疊使得直徑兩端點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)都與圓心重合，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．14．如圖，等邊三角形的邊長為4，分別以其三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．15．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是()A． B． C． D．題型6：求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)軌跡長度16．如圖，一塊含有角的直角三角板，在水平桌面上繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置．若的長為，那么頂點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（）A． B． C． D．17．如圖，一個(gè)邊長為的等邊三角形木板在平面直角坐標(biāo)系上繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，則頂點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路程及的橫坐標(biāo)分別為()A． B．， C．， D．，18．如圖，點(diǎn)為半上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是弧上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，若直徑，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為（

）A． B． C． D．題型7：求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積19．如圖，中，，，，O，H分別為邊，的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，則整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中線段所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（）A． B． C．π D．20．如圖，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，邊在x軸上，，，把繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)到，使得點(diǎn)的坐標(biāo)是，則在這次旋轉(zhuǎn)過程中線段掃過部分（陰影部分）的面積為（

）A． B． C． D．21．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接A′C，．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)到直線距離的最大值是；點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，線段掃過的面積為．一、單選題1．半徑為、圓心角為的弧長為（

）A． B． C． D．2．若扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．3．將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點(diǎn)與量角器的中心O重合，且兩條直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于A，B兩點(diǎn)．若厘米，則的長度為（

）A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米4．如圖，在邊長為2的等邊中，是邊上的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓與，分別交于，兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．5．如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓．若⊙O的半徑為5，則半徑OA，OB與圍成的扇形的面積是（

）A．B．C．D．6．如圖，圓上有四點(diǎn)，其中，若得長度分別為，則的長為（

）A． B． C． D．7．如圖，，C為弧的中點(diǎn)，則陰影部分甲的面積與乙的面積的大小關(guān)系是（）AIA．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．無法確定8．如圖，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)、、為圓心，的長為半徑畫弧，交線段、于點(diǎn)、、、，若點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心、2為半徑的與相切于點(diǎn)D，交于E，交于F，點(diǎn)P是上的一點(diǎn)，且，則圖中陰影部分的面積是（

）.A． B． C． D．10．如圖，點(diǎn)為半上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是弧上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，若直徑，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為（

）A． B． C． D．二、填空題11．扇形的半徑為，面積為，則該扇形的圓心角為．12．如圖，已知正五邊形的邊長為，則陰影部分的面積為．13．如圖，正方形的邊長是，將對角線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為，則弧的長是（結(jié)果保留π）．14．在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且，點(diǎn)M為上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑作圓與邊相切于點(diǎn)N，已知為該圓的一部分．則圖中由線段，及所圍成的陰影部分的面積為.15．如圖．在邊長為2的正方形中，對角線、交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)A、B、C、D為圓心，為半徑畫弧，弧分別與邊、、、交于點(diǎn)E、F、G、H，則陰影部分的面積為．16．窗格是漢族傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)建筑中的框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，是漢族傳統(tǒng)建筑中最重要的構(gòu)成元素和審美文化如圖，窗格的整體外形結(jié)構(gòu)是扇形的一部分，其上段兩個(gè)端點(diǎn)，之間的距離為，下段兩個(gè)端點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離為，邊，若要在該窗格上鑲嵌一塊玻璃，則所鑲嵌的玻璃的面積為．17．如圖，在中，半徑，C是上一點(diǎn)，連接，，，若，，則的長度為．?18．如圖，、是中關(guān)于直徑對稱的兩條弦，以弦、為折線將弧，弧折疊后過圓心O，若的半徑，則圓中陰影部分的面積為．三、解答題19．(1)求半圓形的面積（結(jié)果保留）(2)求圖形的周長（結(jié)果保留）20．如圖，已知長方形的寬，以為圓心，長為半徑畫弧與邊交于點(diǎn)，連接，若計(jì)算結(jié)果保留)(1)用含的代數(shù)式表示圖中陰影部分的面積；(2)當(dāng)時(shí)，求圖中陰影部分的面積．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)請畫出關(guān)于原點(diǎn)對稱的；(2)請畫出繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的，求點(diǎn)A到所經(jīng)過的路徑長．22．如圖，在中，弦，相交于點(diǎn)E，連結(jié)，已知．(1)求證：；(2)連結(jié)、，若，的半徑為2，求的長．23．如圖，是的直徑，是的弦，且．(1)求證：直線為的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．24．如圖，四邊形內(nèi)接于，且的半徑為r，．(1)若，求的長．(2)若，求證：．25．如圖，內(nèi)接于是的直徑，的切線交的延長線于點(diǎn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)判斷直線與的