安徽省安慶、池州、銅陵三市2023-2024學(xué)年下學(xué)期高三開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年安徽省安慶、池州、銅陵三市高三開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則集合(

)A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則(

)A. B.i C. D.3.已知，則(

)A. B. C. D.4.在封閉的等邊圓錐軸截面為等邊三角形內(nèi)放入一個球，若球的最大半徑為1，則該圓錐的體積為(

)A. B. C. D.5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則(

)A. B. C. D.6.分形幾何是一門新興學(xué)科，圖1是長度為1的線段，將其三等分，以中間線段為邊作無底邊正三角形得到圖2，稱為一次分形;同樣把圖2的每一條線段重復(fù)上述操作得到圖3，稱為二次分形，則第5次分形后圖形長度為(

)

A. B. C. D.7.已知橢圓C的左、右焦點分別為，，P，Q為C上兩點，，若，則C的離心率為(

)A. B. C. D.8.已知正方體的棱長為1，P，Q分別為棱，上的動點，則四面體PQAD的體積最大值為(

)

A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.甲乙兩名射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲78795491074乙9578768677則(

)A.甲乙兩人射擊成績的平均數(shù)相同 B.甲乙兩人射擊成績的中位數(shù)相同

C.甲命中環(huán)數(shù)的極差大于乙命中環(huán)數(shù)的極差 D.甲比乙射擊成績更穩(wěn)定10.已知，，，則(

)A.的最大值為2

B.的最大值為2

C.若，則最大值為

D.若，則最大值為411.已知為函數(shù)的極值點，則參考數(shù)據(jù)：(

)A.在上單調(diào)遞減 B.的極小值為

C. D.12.已知平行四邊形ABCD中，，，，P，Q分別為與的外接圓，上一點，則(

)A.P，Q兩點之間的距離的最大值為6

B.若直線PQ與，都相切，則直線PQ的斜率為1

C.若直線PQ過原點與相切，則直線PQ被截得的弦長為4

D.的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.二項式的展開式中的常數(shù)項為__________.14.寫出函數(shù)，的一個單調(diào)遞增區(qū)間為__________.15.過拋物線的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，且，O為坐標原點，則的面積為__________.16.已知函數(shù)既有極小值又有極大值，則實數(shù)a的取值范圍是__________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題10分如圖，在中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，，滿足求點D在BC上，，，求18.本小題12分已知數(shù)列滿足，記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列;若，求19.本小題12分

為發(fā)展體育運動，增強學(xué)生體質(zhì)，甲乙兩班各5名同學(xué)進行羽毛球友誼賽，每人至多參加一場比賽，各場比賽互不影響，比賽勝者本班獲得相應(yīng)積分，負者班級積分為0，其中甲班5名參賽學(xué)生的情況如下表：學(xué)生ABCDE獲勝概率獲勝積分87654若進行5場比賽，求甲班至多獲勝4場的概率;若進行3場比賽，依據(jù)班級積分期望超過10為參賽資格，請問甲班BCD三人組合是否具有參賽資格?請說明理由.20.本小題12分

在矩形ABCD中，，將沿AC折起至的位置，且

求證：平面平面求二面角的正弦值.21.本小題12分已知雙曲線的離心率為2，在C上.求雙曲線C的方程;不經(jīng)過點P的直線l與C相交于M，N兩點，且，求證：直線l過定點.22.本小題12分已知函數(shù)，，若曲線與相切.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;若曲線上存在兩個不同點，關(guān)于y軸的對稱點均在圖象上，①求實數(shù)m的取值范圍;

②證明：答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查交集及其運算，是基礎(chǔ)題.

先化簡集合B，再由交集的定義即可求解.【解答】

解：由于，或，

所以，

故選2.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算，以及復(fù)數(shù)的除法運算，即可求解．【解答】

解：，

故選：3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由，可得，又由，解得的值，從而得到的值，由可得結(jié)果.【解答】

解：因為，

所以，

又由，

所以，

解得或不符合題意舍去，

所以，

所以，

故選4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查圓錐的體積，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)底面半徑為r，由已知得，高為，再利用圓錐的體積公式即可求解.【解答】

解：設(shè)圓錐底面半徑為r，則高為，

則在圓錐及內(nèi)切球的過圓錐軸截面中，，

故軸截面是邊長為的正三角形，高為

故圓錐體積為

故選5.【答案】D

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

由奇函數(shù)的性質(zhì)求出a的值，從而可得函數(shù)的解析式，然后代入求解即可.【解答】

解：由已知，

因為，故，

所以，

故，

故選6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求解.【解答】

解：一次分形長度為，二次分形長度為，5次分形長度為，故選7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查橢圓的離心率，是中檔題.

設(shè)，則，利用橢圓的定義，結(jié)合勾股定理求出離心率.【解答】

解：設(shè)，

由于，

則，，

設(shè)橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，

根據(jù)橢圓的定義可得，

則，

在中得：，

即，

整理得，

則，

在中得，，

即，整理得，

所以橢圓的離心率為

故選8.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了棱錐的體積，屬于拔高題．

作輔助線，利用棱錐的體積公式可求．【解答】

解：過點Q作BC的平行線分別交BB1，CC1于H，G，連接DG，AH，過P作DG的垂線，分別交DG，DC于O，M，于N，設(shè)，，

則t，，，，

，，

故四面體PQAD的體積為，

當時，其最大值為，即Q與C重合，P為C1D1上任意一點時，四面體PQAD的體積最大為，

或當P與D1重合，Q為B1C上任意一點時，四面體PQAD的體積最大為，

故A正確.

9.【答案】ABC

【解析】【分析】本題考查樣本的數(shù)據(jù)特征，屬于基礎(chǔ)題.

由已知數(shù)據(jù)，利用極差、平均數(shù)、方差和眾數(shù)對選項逐個判斷即可.【解答】

解：甲射擊成績的平均數(shù)為，

乙射擊成績的平均數(shù)為，

故A正確；

甲射擊成績從小到大排列為4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，則中位數(shù)是，

乙射擊成績從小到大排列為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，則中位數(shù)是，

故B正確;

甲的極差為6，乙的極差為4，故C正確;

甲射擊成績的方差為：，

乙射擊成績的方差為：，故D錯誤.

故選10.【答案】AD

【解析】【分析】本題考查平面向量的加減法和向量的模，屬于一般題.

由已知A，B為單位圓上任意兩點，，然后利用向量的加減法和向量模的幾何意義逐個判斷即可.【解答】

解：由已知可得A，B為單位圓上任意兩點，，

，

由圖可知，最長時為單位圓的直徑2，所以，故A正確;

設(shè)D為線段AB的中點，如圖，

，

當A，B都位于點時，取到最大值3，則，故B錯誤;

因為，

所以P，A，B三點共線，

，當線段AB為單位圓的直徑時取等號，故C錯誤;

因為，

所以P，A，B三點共線，且A，B不重合，

取AB的中點D，，

當A，B兩點分別為，或，時，，即；

若非上述情況時，，則，則，

綜上可得，，即的最大值為4，故D正確.

故選11.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題.

由題意得，得出，再利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，逐一判定即可.【解答】

解：，

由，故，所以，

則，定義域為

此時，

當或時，

當時，，

所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以的極小值為，

又

故選12.【答案】BD

【解析】【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓有關(guān)的最值問題，是中檔題.

根據(jù)已知求得點D的坐標，推出，，得到、的方程，再由直線與圓的位置關(guān)系逐一判定即可.【解答】

解：設(shè)，

因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以，

即，可得，，

則，

由題可得，，

，

則222，222，

可得，，

則的外接圓是以線段BC為直徑的圓，半徑為2，

的外接圓是以線段AD為直徑的圓，半徑為2，

線段BC的中點坐標為，線段AD的中點坐標為，

的方程為：，

的方程為：，

，

P，Q兩點之間的距離的最大值為，故A錯誤；

由，可知與相交，

若直線PQ與，都相切，則，

故直線PQ的斜率，所以B正確；

當PQ斜率為0時，直線PQ被截得的弦長為4，

當PQ斜率不為0時，直線PQ被截得的弦長不為4，故C錯誤；

可知直線AD與相切，

當DP與相切時，最大，此時，

故，故D正確.

13.【答案】15

【解析】【分析】本題考查利用二項展開式求特定項，屬于基礎(chǔ)題.

寫出二項展開式的通項公式，令x的冪指數(shù)為0，求出r的值，即可求出結(jié)果.【解答】

解：二項式展開式的通項公式為，

由，得，

故常數(shù)項為

故答案為14.【答案】答案不唯一

【解析】【分析】本題考查判斷或證明函數(shù)的奇偶性、判斷正弦型函數(shù)的單調(diào)性或求解單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題.

判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，即可求出結(jié)果.【解答】

解：因為，且函數(shù)的定義域為，

所以為偶函數(shù)，

當時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

由偶函數(shù)的對稱性可知在上單調(diào)遞增.

故答案為答案不唯一15.【答案】

【解析】【分析】本題考查拋物線中的面積問題，向量與拋物線的綜合問題，屬于中檔題.

設(shè)出直線l方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和向量的坐標運算，求得，求出弦長和點O到直線AB距離，即可求出結(jié)果.【解答】

解：由已知得，

可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，

代入，整理得，

設(shè)，，

故①，②，

又，且，

故③，

由①②③聯(lián)立，解得，

此時，

點O到直線AB的距離為，

故的面積為

故答案為16.【答案】

【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題.

求出，問題轉(zhuǎn)化為在上至少有兩個不等的正實數(shù)根，設(shè)，對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，當時，求出，由，即可求出結(jié)果.【解答】

解：因為，可知且，

所以，

因為函數(shù)既有極小值又有極大值，

所以在上至少有兩個不等的正實數(shù)根，

設(shè)，

則，

當時，，則在上恒成立，

則即單調(diào)遞增，不符合題意；

當時，由，得，

由，得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

因為，又時，；時，；

所以若使在上至少有兩個不等的正實數(shù)根，

則，即，解得

故答案為17.【答案】解：由已知可得：，即，

則，

又，所以

故，

所以

由知，又，所以，

又因為，可得，

，

在中，由正弦定理得：，

所以

【解析】本題考查正弦定理、余弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于中檔題.

由已知及正弦定理得，再結(jié)合余弦定理可得，從而可得A的值，然后再由，利用兩角差的正弦公式進行計算即可；

由，利用兩角和的正弦公式計算出結(jié)果，再中，由正弦定理即可求解.18.【答案】解：由已知，

當時，，

故，

又，

所以數(shù)列是首項為5，公比為2的等比數(shù)列；

由知：，

由，可得，

，

設(shè)，

故

【解析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查等比數(shù)列的定義，分組求和法的運用，考查推理能力與運算求解能力，是中檔題．

由數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；

由知：，然后利用分組求和法即可求解.19.【答案】解：記學(xué)生A，B，C，D，E參賽獲勝事件分別用M1，M2，M3，M4，M5表示，

5場全勝的概率為：1M2M3M4M5，

甲班至多獲勝4場與5場全勝為對立事件，

故甲班至多獲勝4場的概率為1M2M3M4M5，

甲班至多獲勝4場的概率為

記BCD三人組合班級得分為Y，

Y的取值分別為0，7，6，5，11，12，13，18，

由已知得

，，

，，

，，

，，

，

因為，

所以BCD三人組合具有參賽資格.

【解析】本題考查相互獨立事件的概率公式、以及離散型隨機變量的期望，屬于中檔題.

記學(xué)生A，B，C，D，E參賽獲勝事件分別用M1，M2，M3，M4，M5表示，由相互獨立事件的概率乘法公式求出5場全勝的概率為：1M2M3M4M5，又甲班至多獲勝4場與5場全勝為對立事件，即可求解；

記BCD三人組合班級得分為Y，Y的取值分別為0，7，6，5，11，12，13，18，求出對應(yīng)的概率，即可求出期望.20.【答案】解：由已知可得：，，，

在中，，故，

又，且，PB、平面PAB，

所以平面PAB，

因為平面PBC，所以平面平面

取AB、CD的中點O、E，連接OP，

可知，則，

因為，所以，

由知：平面PAB，又平面ABC，

所以平面平面ABC，又平面平面，平面PAB，

所以平面

以O(shè)B，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

設(shè)平面APC的一個法向量為，

，，

，，故，

取，，，則，

又平面ABC的一個法向量為，

，，

，

所以二面角的正弦值為

【解析】本題考查了面面垂直的判定和平面與平面所成角的向量求法，是中檔題.

先證明平面PAB，由面面垂直的判定即可得證；

建立空間直角坐標系，得出平面APC的法向量和平面ABC的法向量，利用空間向量求解即可.21.【答案】解：由已知得：，，所以，

又，解得，，

故雙曲線C的方程為

當直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，

代入整理得：，

由已知得且，

可得且，

設(shè)，，

則，，①

由，得，

即，

即，

即，②

由①②聯(lián)立得：，

即，

由已知l不經(jīng)過點，故，

所以，故，

，過定點，

當軸即直線l斜率不存在時，設(shè)，則，

由，可得，

即，

又，即，

可得，解得或舍，

此時直線l方程為，過點

綜上可得，直線l過定點

【解析