兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)

關(guān)于兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)復(fù)習(xí)回顧：（１）利用定義［作出二面角的平面角，證明平面角是直角］（２）利用判定定理［線面垂直面面垂直］

AB線面垂直面面垂直線線垂直面面垂直的判定第2頁(yè),共11頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理如圖2，α⊥β，AB?α，AB⊥CD，α∩β=CD，求證：AB⊥β。[分析]

在β內(nèi)作BE⊥CD。要證AB⊥β，只需證AB垂直于β內(nèi)的兩條相交直線就行。而我們已經(jīng)有AB⊥CD，只需尋求另一條就夠了。而我們還有α⊥β這個(gè)條件沒(méi)使用，由α⊥β定義，則∠ABE為直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，問(wèn)題也就得到解決．第3頁(yè),共11頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直第4頁(yè),共11頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、兩個(gè)平面垂直應(yīng)用舉例例題1

如圖4，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于⊙O所在平面，D、E分別是VA、VC的中點(diǎn)，直線DE與平面VBC有什么關(guān)系？試說(shuō)明理由．解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角．由∠ACB是直徑上的圓周角，知∠ACB=90°。

因此，平面VAC⊥平面VBC．由DE是△VAC兩邊中點(diǎn)連線，知DE∥AC，故DE⊥VC．由兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，知直線DE與平面VBC垂直。注意：本題也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，推出上面的結(jié)論。第5頁(yè),共11頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2．S為三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求證：AB⊥BC。SCBAD證明：過(guò)A點(diǎn)作AD⊥SB于D點(diǎn).∵平面SAB⊥平面SBC,∴AD⊥平面SBC，∴AD⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.AD∩SA=A∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.第6頁(yè),共11頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．給出下列四個(gè)命題：

①垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；

②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；

③垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；

④垂直于同一條直線的兩條直線平行．

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4B

課堂練習(xí)：第7頁(yè),共11頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．在二面角α-l-β的一個(gè)面α內(nèi)有一條直線AB，若AB與棱l的夾角為45°，AB與平面β所成的角為30°，則此二面角的大小是（

）

A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°。AαBβOC如圖，過(guò)A點(diǎn)作AO⊥β于O，在α內(nèi)作AC垂直棱于C，連OB、OC，則∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。設(shè)AB=a,則AC=，AO=則sin∠ACO=∴∠ACO=45°或135°D第8頁(yè),共11頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．線段AB長(zhǎng)為2a，兩端點(diǎn)A，B分別在一個(gè)直二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且AB與兩個(gè)面所成的角分別為30°和45°，設(shè)A，B兩點(diǎn)在棱上的射影分別為A′，B′，則A′B′長(zhǎng)等于（

）．

αβAA′BB′C提示：利用直線與平面所成角的定義和垂直關(guān)系得：∠BAB′=30°，∠ABA′=45°∴在Rt△BAB′中，BB′=AB/2=a，在Rt△BB′A′中，在Rt△BA′A中第9頁(yè),共11頁(yè)，2024年2月25日，星期天［總結(jié)提煉］☆已知面面垂直易找面的垂線，且在某一個(gè)平面內(nèi)☆解題過(guò)程中應(yīng)注意充分領(lǐng)悟、應(yīng)用☆證明面面垂直要從尋找面的垂線入手☆理解面面垂直的判定與性質(zhì)都要依賴面面垂直的定義☆

定義面面垂直是在建立在二面角的定義的基礎(chǔ)上