浙江省紹興市會(huì)稽聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第一學(xué)期紹興會(huì)稽聯(lián)盟期末聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?學(xué)號(hào)和姓名；考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則（）A. B. C.16 D.19【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列是以，的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，又，所以數(shù)列是以，的等差數(shù)列，得到，故選：B.2.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率（）A.5 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】令，則，有，故曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.故選：C.3.如圖，在四面體中，.點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理進(jìn)行計(jì)算【詳解】因?yàn)?，為中點(diǎn)，故.故選：D4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了（）A.192

里 B.96

里 C.48

里 D.24

里【答案】B【解析】【分析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B．5.原點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用點(diǎn)到直線的距離公式表示出原點(diǎn)到直線的距離，然后化簡(jiǎn)求出函數(shù)最大值即可.【詳解】設(shè)原點(diǎn)到直線l的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，顯然當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以.故選：D.6.傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A位于第一象限，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達(dá)定理結(jié)合條件即可求解.【詳解】由，可得焦點(diǎn)，，設(shè)，，，，由題可知直線斜率存在，可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程：，化簡(jiǎn)整理可得，由韋達(dá)定理可得，故，解得，且點(diǎn)A位于第一象限，，∴的值為．故選：A．7.若雙曲線的漸近線與圓有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離大于半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求．【詳解】雙曲線漸近線為，且與圓有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．故選：B．8.如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為.已知禮物的質(zhì)量為，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大?。ㄖ亓铀俣热。┳罱咏ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)每根繩子上的拉力大小為T，根據(jù)平衡條件列式求解即可．【詳解】設(shè)每根繩子上的拉力大小為T，則根據(jù)平衡條件可得，,

解得．

所以降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小約為1.41N．故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，則直線的斜率可能的值為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)的值域，即可得出直線的斜率的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋瑒t，且曲線在點(diǎn)處的切線為，所以，直線的斜率的取值范圍是.故選：ABC.10.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.周長(zhǎng)為B.的最大值為C.橢圓的離心率為D.直線與的斜率的乘積為【答案】AB【解析】【分析】利用橢圓的定義可判斷A選項(xiàng)；利用橢圓的范圍可求出的最大值，可判斷B選項(xiàng)；以橢圓的離心率公式可判斷C選項(xiàng)；利用斜率公式結(jié)合橢圓方程可求出直線與的斜率的乘積，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于橢圓，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，的周長(zhǎng)為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，易知點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，則，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，橢圓的離心率為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，易知點(diǎn)、，則，D錯(cuò).故選：AB.11.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列（）A.有可能是常數(shù)數(shù)列B.有可能是等差數(shù)列C.有可能是等比數(shù)列D.有可能既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】將已知等式變形為，利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的定義可判斷C選項(xiàng)；舉特例可判斷D選項(xiàng).【詳解】由可得，即，若對(duì)任意的，有且，此時(shí)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若對(duì)任意的，有且，此時(shí)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，取數(shù)列各項(xiàng)為：、、、、、、，則數(shù)列滿足條件，此時(shí)，數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，BCD對(duì)，若數(shù)列為常數(shù)列，不妨設(shè)（為常數(shù)）對(duì)任意的恒成立，由可得，可得，與矛盾，故數(shù)列不可能是常數(shù)列，A錯(cuò).故選：BCD.12.已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)均等于，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.平面與平面的夾角是C.平面平面D.與平面所成的角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】取線段的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，在正三棱柱，平面，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面法向量為，，，則，取，則，，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，，所以，平面與平面的夾角為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，可得，則，所以，，故平面平面，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，所以，與平面所成的角的正弦值為，D對(duì).故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)可得.【詳解】故答案為：14.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和.【詳解】，所以，故答案為：.15.設(shè)為曲線上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為__________.【答案】10【解析】【分析】由橢圓定義可知，均在橢圓上，結(jié)合橢圓性質(zhì)即可得.【詳解】由，即點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為，由橢圓定義可知，在以與為焦點(diǎn)，與為上下頂點(diǎn)的橢圓上，故.故答案為：.16.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，其中、，若平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)與平面的法向量垂直可求出的值，然后利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由已知可得，且平面的一個(gè)法向量為，則，則，解得，因?yàn)?，故點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）分別求出和的導(dǎo)數(shù)；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算律及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可；（2）先分別求出切線斜率再根據(jù)平行線斜率相等求參.【小問(wèn)1詳解】由導(dǎo)數(shù)公式得，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得；【小問(wèn)2詳解】由可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，從而切線方程為，即.由，可得曲線在處的切線斜率為，由題意可得，從而，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線在處的切線方程為，即，故符合題意.18.已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn).（1）若，求的斜率；（2）已知存在軸上的點(diǎn)，使直線的斜率之和恒為0，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由圓的弦長(zhǎng)公式求出圓心到直線的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出答案；（2）設(shè)直線，聯(lián)立，韋達(dá)定理，將直線斜率用坐標(biāo)表示，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由圓，知圓心坐標(biāo)為，半徑為2，因?yàn)?，所以點(diǎn)到的距離為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且由題意易知斜率必存在且不為0，可設(shè)其方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，解得.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，AB：，聯(lián)立，得，所以，，由題意得，即，因?yàn)?，所以，即，解?當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)直線AB斜率為零時(shí)，，，顯然，綜上.19.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，作差變形得，求得公比為4，再利用求得，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；（2）根據(jù)（1）求得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以等比數(shù)列的公比是4，所以，即，得，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，從而.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，故.則，，兩式相減得，，故.20.如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）方法一：由線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，線線垂直；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積為0進(jìn)行證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證法1：因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又為正方形，所以.因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋谑?證法2：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.所以，因此.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故是平面的一個(gè)法向量.，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故是平面的一個(gè)法向量.所以所以平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）（2）1【解析】分析】（1）根據(jù)雙曲線定義求出軌跡方程；（2）分直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)求出，斜率存在時(shí)，，得到答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋呻p曲線定義可知：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所以，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，此時(shí)，所以；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，代入雙曲線方程可得：，可知其有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，解得：，所以.由得，，綜上所述，的最小值為1.22.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且滿足，求的面積最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出的值，根據(jù)可求出的值，進(jìn)而可得出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線、的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得，進(jìn)而可求得，利用基本不等式以及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)橢圓半焦距為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，易知點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，所以，因此，則，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：若、分