2024年廈門市同安區(qū)高二數(shù)學(xué)4月第一次月考試卷附答案解析

2024年廈門市同安區(qū)高二數(shù)學(xué)4月第一次月考試卷（試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）2024.04一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．設(shè)函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C．1 D．2．在等差數(shù)列中，若，，則等于（

）A．20 B．18 C．16 D．3．若，則（

）A．4 B．6 C．7 D．84．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．1 B．10 C．40 D．805．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征.函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C．D．7．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種10．如圖所示，棱長為3的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．與所成的角可能是C．是定值 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為211．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)無極值，則B．若，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，則C．存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知曲線在處的切線的斜率為，則.13．2024年伊始，隨著“廣西沙糖桔”“馬鈴薯公主”等熱梗的不斷爆出，哈爾濱火爆出圈，成為旅游城市中的“頂流”.某班級(jí)五位同學(xué)也準(zhǔn)備共赴一場冰雪之約，制定了“南方小土豆，勇闖哈爾濱”的出游計(jì)劃，這五位同學(xué)準(zhǔn)備在行程第一天在圣索菲亞教堂，冰雪大世界，中央大街三個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)去游玩，已知每個(gè)景點(diǎn)至少有一位同學(xué)會(huì)選，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且只能選擇其中一個(gè)景點(diǎn)，若學(xué)生甲和學(xué)生乙準(zhǔn)備選同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的選法種數(shù)是.

14．已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的極小值點(diǎn)為；若，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的最值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．16．如圖所示，等邊所在平面與菱形所在平面相垂直，，，，

(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.17．某公園有一塊如圖所示的區(qū)域，該場地由線段、、及曲線段圍成．經(jīng)測量，，米，曲線是以為對(duì)稱軸的拋物線的一部分，點(diǎn)到、的距離都是50米．現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂場，其中點(diǎn)在曲線段上，點(diǎn)、分別在線段、上，且該游樂場最短邊長不低于30米．設(shè)米，游樂場的面積為平方米．(1)試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段的方程；(2)求面積關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)試確定點(diǎn)的位置，使得游樂場的面積最大．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，）18．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與相交于、兩點(diǎn)．(1)求直線l被圓所截的弦長；(2)當(dāng)時(shí)，．（i）求的方程；（ii）證明：對(duì)任意的，的周長為定值．19．已知函數(shù)．(1)若時(shí)，函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在上有極小值0，對(duì)于某點(diǎn)，在點(diǎn)的切線方程為，若對(duì)于，都有，則稱為好點(diǎn)．①求的值；②求所有的好點(diǎn)．1．A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式求解.【詳解】函數(shù)，，，,故選：A2．B【分析】設(shè)等差數(shù)列為，公差為d，由，，可得，即可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列為，公差為d，因，，則，故.故選：B3．D【解析】直接根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查排列數(shù)與組合數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．4．D【分析】利用通項(xiàng)求解可得.【詳解】通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，所以項(xiàng)的系數(shù)為80.故選：D5．C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，參變分離求出m的范圍即可.【詳解】已知函數(shù)在上為增函數(shù)，則在恒成立，即在恒成立，則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．C【解析】利用的奇偶性和在上的符號(hào)可選出答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域是所以是奇函數(shù)，排除A、B因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，排除D故選：C7．B【分析】首先根據(jù)題意設(shè)，得到.根據(jù)，得到，根據(jù)勾股定理得到，再求離心率即可.【詳解】如圖所示：

設(shè)，因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?在中，，解得，即，所以，即.所以，.故選：B8．C【分析】先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性半徑a，b的大小，再構(gòu)造函數(shù)比較a和c，c和b的大小即可.【詳解】，令，則，所以在上遞減，則，即，則，，所以，故選：C9．ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，利用捆綁法求解判斷；對(duì)于B，分最左端排甲，和最左端排乙兩類求解判斷；對(duì)于C，根據(jù)甲乙不相鄰，利用插空法求解判斷；對(duì)于D，根據(jù)甲乙丙從左到右的順序排列，通過除序法求解判斷.【詳解】對(duì)于A，如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有種，A正確；對(duì)于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有種排法；若最左端排乙，有種排法，合計(jì)不同的排法共有42種，B正確；對(duì)于C，甲乙不相鄰的排法種數(shù)有種，C不正確；對(duì)于D，甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有種，D正確.故選：ABD10．AC【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助數(shù)量積公式與點(diǎn)平面距離公式逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、、、、則，，，，，設(shè)，，則，，故，即，故A正確；若與所成的角可能為，則存在，使得成立，即，化簡得，即，由，故舍去，即與所成的角故可能是，故B錯(cuò)誤；，故，故C正確；當(dāng)時(shí)，有，故，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則有，則點(diǎn)到平面的距離，故D錯(cuò)誤.故選：AC.

11．BCD【分析】函數(shù)無極值，則或，求解即可判斷A；若，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)可得，即，代入可求出的值，可判斷B；要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象即可判斷C；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立即證明在上恒成立即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若函數(shù)無極值，，，則或恒成立，則或，當(dāng)，則，解得：或，故A不正確；對(duì)于B，若，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，，所以，因?yàn)?，則，∴，故B正確；對(duì)于C，存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，在處的切線平行于軸，過原點(diǎn)的切線在的左側(cè)稍微旋轉(zhuǎn)后可得兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，，，，令，對(duì)任意恒成立，在上單減，，對(duì)任意恒成立，所以，在上單減，對(duì)任意恒成立，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)和方程根的問題往往利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，導(dǎo)數(shù)恒成立、極值問題通常構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論.12．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以，解得，故答案為：13．36【分析】先根據(jù)甲乙選的景點(diǎn)其他人是否選分成兩類情況，①無人再選，按照分組計(jì)算方法數(shù)；②還有人選，按照部分平均分組計(jì)算方法數(shù).最后用分類加法原理計(jì)算總的方法數(shù)即可.【詳解】若甲乙選的景點(diǎn)沒有其他人選，則分組方式為：的選法總數(shù)為：，若甲乙選的景點(diǎn)還有其他人選擇，則分組方式為：的選法總數(shù)為：，所以不同的選法總數(shù)為:.故答案為：36.14．【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得該函數(shù)的極小值點(diǎn)；分析得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在上為增函數(shù)，則在上恒成立，結(jié)合參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取得極小值，即函數(shù)的極小值點(diǎn)為，且，即，因?yàn)?，即，其中，，?gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，對(duì)任意的恒成立，所以，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及參變量分離法求解.15．(1)最大值為，最小值為(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求得，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其最值；（2）根據(jù)題意，求得，分類和，兩種情況討論，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其中且，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，又由，因?yàn)椋院瘮?shù)的最小值為.（2）解：由函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，（其中，舍去），令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上可得：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系，證明平面平面，即可證明線面平行；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，且平面，平面，所以平?又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，且，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面；?）取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，則，所以是等邊三角形，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，可得，由，可得.又由，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，可得，取，則，所以，又由平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.17．(1)(2)(3)當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)到距離為米時(shí)，游樂場面積最大.【分析】（1）先以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意求解析式即可；（2）根據(jù)（1）求出，求出矩形面積；（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最大值.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)曲線所在的拋物線方程為，，點(diǎn)在拋物線上，則，解得，，所以曲線段所在的拋物線方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線段上，，，所以，，.（3），，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，是極大值也是最大值，由，米，即當(dāng)點(diǎn)在曲線段上且到的距離為米時(shí)，游樂場的面積最大.18．(1)(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離得圓到直線的距離，再利用幾何法求出直線與圓的相交弦長，從而可求解.（2）（i）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，將該直線方程代入橢圓方程，求出，根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出橢圓的方程；（ii）求出原點(diǎn)到直線的距離，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理分析額可知點(diǎn)、的橫坐標(biāo)均為正數(shù)，利用勾股定理、橢圓方程可求出的周長.【詳解】（1）由題意得圓的圓心為，到直線的距離，則直線被圓所截弦長為.故直線被圓所截得的弦長為.（2）解：當(dāng)時(shí)，直線的方程為，（i）聯(lián)立，得，所以，又因?yàn)椋?，，所以，橢圓的方程為；（ii）設(shè)點(diǎn)、，則，且，所以，，同理可得，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，過原點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：

所以，，聯(lián)立可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，合乎題意，因?yàn)?，則，由韋達(dá)定理可得，，故，，所以，，因此，的周長為（定值）.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19．(1)(2)①;②【分析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，分離常數(shù)可得有兩個(gè)正根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)考查單調(diào)性，即可求解；（2）由已知對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的幾何意義可求得切線方程，構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及極值的存在條件及函數(shù)的性質(zhì)分別求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)正根，即有兩個(gè)正根，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，故的取值范圍的取值范圍為.（2）①因?yàn)椋瑒t設(shè)則，時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則，解得.②設(shè)為好點(diǎn)，對(duì)于，都有，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)樵邳c(diǎn)的切線方程為，所以，設(shè)，即，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭呛命c(diǎn)，則恒成立，若，則在上單調(diào)遞增，則，恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，滿足條件，故成立；若時(shí)，則在