吉林省長春市市第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

吉林省長春市市第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意列出所有可能的結(jié)果，然后結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得概率值.【詳解】能組成兩位數(shù)有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，總共有9種情況.其中偶數(shù)有5種情況，故組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型計(jì)算公式，屬于中等題.2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則（）A.4 B.7 C.8 D.14參考答案：A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解【詳解】,故故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和及基本性質(zhì)，熟記求和公式及性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題3.函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)

(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.

4個(gè)參考答案：A4.設(shè)p：，q：x2+x﹣6＞0，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：考點(diǎn)：充要條件；一元二次不等式的解法；絕對值不等式的解法．專題：計(jì)算題．分析：先將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式組，解二次不等式及絕對值不等式組成的不等式組，化簡命題p；解二次不等式化簡命題q；判斷出p，q對應(yīng)的集合的包含關(guān)系，判斷出p是q的什么條件．解答：解：∵∴解得﹣1＜x＜1或x＞2或x＜﹣2即命題p：﹣1＜x＜1或x＞2或x＜﹣2∵x2+x﹣6＞0，∴x＞2或x＜﹣3．即命題q：x＞2或x＜﹣3．∵{x|x＞2或x＜﹣3}?{x|﹣1＜x＜1或x＞2或x＜﹣2}，所以p是q的必要不充分條件．故選B點(diǎn)評：解分式不等式關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為整式不等式、考查判斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件，應(yīng)該先化簡兩個(gè)命題．5.命題“”的否定是

()A． B．C． D．參考答案：C6.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是上一點(diǎn),若且的最小內(nèi)角為,則的離心率為(

)

A、

B、

C、

D、參考答案：C7.已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，及等差數(shù)列前n項(xiàng)和，根據(jù)a2+a4=4，a3+a5=10我們構(gòu)造關(guān)于基本量（首項(xiàng)及公差）的方程組，解方程組求出基本量（首項(xiàng)及公差），進(jìn)而代入前n項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故選C8.為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系為（

）

A．相切

B．相交

C．相離

D．相切或相交參考答案：C9.已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，則（?RP）∩Q等于（）A． B．（﹣∞，﹣1]∪ D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）參考答案：C考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；集合．分析： 由一元二次不等式的解法求出集合P，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合Q，再由補(bǔ)集、交集的運(yùn)算分別求出?RP和（?RP）∩Q．解答： 解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，則集合P={x|﹣1≤x≤2}，由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，則Q={x|1＜x≤3}所以?RP={x|x＜﹣1或x＞2}，且（?RP）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，故選：C．點(diǎn)評： 本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，以及對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．10.已知2sin2α=1+cos2α，則tan（α+）的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3參考答案：D【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】由倍角公式求得sinα與cosα的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合正弦、余弦以及正切函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，即2sinαcosα=cos2α，①當(dāng)cosα=0時(shí)，，此時(shí)，②當(dāng)cosα≠0時(shí)，，此時(shí)，綜上所述，tan（α+）的值為﹣1或3．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.向量、、在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若（），則

。參考答案：412.已知等比數(shù)列中，，。若，則=

。參考答案：913.設(shè)全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，則A∩B=

，A∪B=

，A∩（?UB）=

．參考答案：{﹣1}，{﹣1，1，5}，{5}?？键c(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；并集及其運(yùn)算；交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：確定出A與B，找出A與B交集、并集及A與B的補(bǔ)集即可．解答： 解：∵集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1，5}，B={x|x2=1}={﹣1，1}，∴?UB=B={x|x≠±1}，∴A∩B={﹣1}，A∪B={﹣1，1，5}，A∩（?UB）={5}．故答案為：{﹣1}，{﹣1，1，5}，{5}．點(diǎn)評：此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．14.設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M+m=

.參考答案：15.對于定義域在R上的函數(shù)f(x)，若實(shí)數(shù)x0滿足f(x0)＝x0，則稱x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋1沒有不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：(－1,3)由題意，得方程x2＋ax＋1＝x，即x2＋(a－1)x＋1＝0無實(shí)根，∴Δ＝(a－1)2－4＝a2－2a－3＜0，∴－1＜a＜3.16.下列命題中所有真命題的序號是________________.①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要條件；③“”是“”的充要條件.

參考答案：略17.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A.

B.

C.

D.2參考答案：A略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)在圓上，且在第一象限，過作的切線交橢圓于兩點(diǎn)，問：的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是。說明理由.參考答案：（1）；（2）定值為6．試題分析：（1）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，就是要確定的值，題中焦點(diǎn)說明，點(diǎn)在橢圓上，把坐標(biāo)試題解析：（1）由題意得所以橢圓方程為（2）由題意，設(shè)的方程為與圓相切，，即由設(shè)，則考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交綜合．【名師點(diǎn)睛】若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組消元后，應(yīng)用韋達(dá)定理可得（或），這實(shí)質(zhì)上解析幾何中的是“設(shè)而不求”法．19.(本題滿分14分)已知橢圓的焦點(diǎn)是,其上的動(dòng)點(diǎn)滿足.點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的下頂點(diǎn)為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓的交于，兩點(diǎn)，求過三點(diǎn)的圓的方程；（Ⅲ）設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試證明：無論取何值時(shí)，恒為定值.參考答案：解：（Ⅰ）∵

，

……1分,

∴

…………3分∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

…4分(Ⅱ)聯(lián)立方程得

消得，解得

……………6分設(shè)所求圓的方程為：

依題有

………………8分解得所以所求圓的方程為：.

………9分（Ⅲ）證明：設(shè)，聯(lián)立方程組消得

---------------10分在橢圓內(nèi)，恒成立。設(shè)，則，

-----------11分，

---------12分

-------------13分為定值。

---------14分20.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，且經(jīng)過點(diǎn)（1，），拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F與橢圓C1的一個(gè)焦點(diǎn)重合．（Ⅰ）過F的直線與拋物線C2交于M，N兩點(diǎn)，過M，N分別作拋物線C2的切線l1，l2，求直線l1，l2的交點(diǎn)Q的軌跡方程；（Ⅱ）從圓O：x2+y2=5上任意一點(diǎn)P作橢圓C1的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，證明：∠APB為定值，并求出這個(gè)定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，以及，設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得c，然后求解橢圓方程，求出拋物線方程，設(shè)直線MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入拋物線方程得x2﹣4kx﹣4=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解直線的斜率，直線方程，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，然后求解點(diǎn)Q的軌跡方程．（Ⅱ）①當(dāng)兩切線的之一的斜率不存在時(shí)，根據(jù)對稱性，設(shè)點(diǎn)P在第一象限，求解∠APB的大小為定值．②當(dāng)兩條切線的斜率都存在時(shí)，即時(shí)，設(shè)P（x0，y0），切線的斜率為k，則切線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用△=0，切線PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，通過，求解∠APB的大小為定值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，則，即，則，橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得c2=1，故所求的橢圓方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±1），故拋物線方程為x2=4y…設(shè)直線MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入拋物線方程得x2﹣4kx﹣4=0，則x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由于，所以，故直線l1的斜率為，l1的方程為，即，同理l2的方程為，令，即，顯然x1≠x2，故，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是，即點(diǎn)Q（2k，﹣1），故點(diǎn)Q的軌跡方程是y=﹣1…（Ⅱ）證明：①當(dāng)兩切線的之一的斜率不存在時(shí)，根據(jù)對稱性，設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入圓的方程得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，此時(shí)兩條切線方程分別為，此時(shí)，若∠APB的大小為定值，則這個(gè)定值只能是…②當(dāng)兩條切線的斜率都存在時(shí)，即時(shí)，設(shè)P（x0，y0），切線的斜率為k，則切線方程為y﹣y0=k（x﹣x0），與橢圓方程聯(lián)立消元得…由于直線y﹣y0=k（x﹣x0）是橢圓的切線，故，整理得…切線PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，故，…點(diǎn)P在圓x2+y2=5上，故，所以k1k2=﹣1，所以．綜上可知：∠APB的大小為定值，得證…【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓以及拋物線的方程的求法，考查轉(zhuǎn)化是以及計(jì)算能力．21.在長方體