高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案第九章

習(xí)題九1.求函數(shù)u=xy2+z3-xyz在點（1，1,2）處沿方向角為的方向?qū)?shù)。解：2.求函數(shù)u=xyz在點（5,1,2）處沿從點A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向?qū)?shù)。解：的方向余弦為故3.求函數(shù)在點處沿曲線在這點的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。解：設(shè)x軸正向到橢圓內(nèi)法線方向l的轉(zhuǎn)角為φ，它是第三象限的角，因為所以在點處切線斜率為法線斜率為.于是∵∴4.研究下列函數(shù)的極值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2);(5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程組得駐點為（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在點（0，0）處，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函數(shù)有極大值z(0,0)=0.在點（0，2）處，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)點不是極值點.在點（2，0）處，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)點不是極值點.在點（2，2）處，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函數(shù)有極小值z(2,2)=-8.(2)解方程組得駐點為.在點處,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函數(shù)有極小值.(3)解方程組得駐點為（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Zxx=－2(4y-y2), Zxy=4(3－x)(2－y) Zyy=－2(6x－x2)在點（3，2）處，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函數(shù)有極大值z(3,2)=36.在點（0，0）處，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)點不是極值點.在點（0，4）處，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是極值點.在點（6，0）處，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是極值點.在點（6，4）處，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是極值點.(4)解方程組得駐點P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在點P0處有z=0，而當(dāng)（x,y）≠(0,0)時，恒有z>0，故函數(shù)z在點P0處取得極小值z=0.再討論函數(shù)z=ue-u由，令得u=1,當(dāng)u>1時，；當(dāng)u<1時，,由此可知，在滿足x02+y02=1的點（x0,y0）的鄰域內(nèi)，不論是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函數(shù)z在點（x0,y0）取得極大值z=e-1(5)解方程組得駐點為zxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x.故z的黑塞矩陣為于是易知H（P1）不定，故P1不是z的極值點，H（P2）當(dāng)a<0時正定，故此時P2是z的極小值點，且,H（P2）當(dāng)a>0時負(fù)定，故此時P2是z的極大值點，且.5.設(shè)2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，確定函數(shù)z=z(x,y)，研究其極值。解：由已知方程分別對x,y求導(dǎo)，解得令解得,將它們代入原方程，解得.從而得駐點.在點（-2，0）處，B2-AC<0，因此函數(shù)有極小值z=1.在點處，B2-AC<0，函數(shù)有極大值.6.在平面xOy上求一點，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線距離的平方之和為最小。解：設(shè)所求點為P(x,y)，P點到x=0的距離為|x|,到y(tǒng)=0的距離為|y|，到直線x+2y-16=0的距離為距離的平方和為由得唯一駐點,因?qū)嶋H問題存在最小值，故點即為所求。7.求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2與平面x+y-z=1之間的最短距離。解：設(shè)P（x,y,z）為拋物面上任一點.則點P到平面的距離的平方為,即求其在條件z=x2+y2下的最值。設(shè)F（x,y,z）=解方程組得故所求最短距離為8.拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最短距離。解：設(shè)橢圓上的點為P（x,y,z），則|OP|2=x2+y2+z2.因P點在拋物面及平面上，所以約束條件為z=x2+y2，x+y+z=1設(shè)F（x,y,z）=x2+y2+z2+λ1(z-x2-y2)+λ2(x+y+z-1)解方程組得由題意知，距離|OP|有最大值和最小值，且.所以原點到橢圓的最長距離是，最短距離是.9.在第I卦限內(nèi)作橢球面的切平面,使切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點坐標(biāo)。解：令∵∴橢球面上任一點的切平面方程為即切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為，因此切平面與三個坐標(biāo)面所圍的四面體的體積為即求在約束條件下的最小值，也即求xyz的最大值問題。設(shè),解方程組得.故切點為，此時最小體積為*10.設(shè)空間有n個點，坐標(biāo)為,試在xOy面上找一點，使此點與這n個點的距離的平方和最小。解：設(shè)所求點為P（x,y,0），則此點與n個點的距離的平方和為解方程組得駐點又在點處Sxx=2n=A,Sxy=0=B,Syy=2n=CB2-AC=-4n2<0,且A>0取得最小值.故在點處，S取得最小值.即所求點為.11.已知平面上分別帶有質(zhì)量m1,m2,m3的三個質(zhì)點，問點的位置如何才能使該質(zhì)點系對于p點的轉(zhuǎn)動慣量為最小。解：該質(zhì)點系對于p點的轉(zhuǎn)動慣量為解上式得駐點因駐點唯一，故轉(zhuǎn)動慣量在點處取得最小值.*12.已知過去幾年產(chǎn)量和利潤的數(shù)據(jù)如下：產(chǎn)量x(千件)4047557090100利潤y(千元)323443547285試求產(chǎn)量和利潤的函數(shù)關(guān)系，并預(yù)測當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到120千件時工廠的利潤。解：在直角坐標(biāo)系下描點，從圖可以看出，這些點大致接近一條直線，因此可設(shè)f(x)=ax+b，求的最小值，即求解方程組把(xi,yi)代入方程組，得解得a=,b=即y=當(dāng)x=120時，y=(千元).13.求下曲線在給定點的切線和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,點;(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,點M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,點M0(x0,y0,z0).解：曲線在點的切向量為當(dāng)時，切線方程為.法平面方程為即.（2）聯(lián)立方程組它確定了函數(shù)y=y(x),z=z(x)，方程組兩邊對x求導(dǎo)，得解得在點M0（1，-2，1）處，所以切向量為{1，0，-1}.故切線方程為法平面方程為1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)將方程y2=2mx,z2=m-x兩邊分別對x求導(dǎo)，得于是曲線在點（x0,y0,z0）處的切向量為,故切線方程為法平面方程為.14.t(0<t<2π)為何值時，曲線L：x=t-sint,y=1-cost,z=4sin在相應(yīng)點的切線垂直于平面，并求相應(yīng)的切線和法平面方程。解：,在t處切向量為,已知平面的法向量為.且∥,故解得，相應(yīng)點的坐標(biāo)為.且故切線方程為法平面方程為即.15.求下列曲面在給定點的切平面和法線方程：(1)z=x2+y2,點M0(1,2,5);(2)z=arctan,點M0(1,1,);解：（1）故曲面在點M0(1,2,5)的切平面方程為z-5=2(x-1)+4(y-2).即2x+4y-z=5.法線方程為（2）故曲面在點M0(1,1,)的切平面方程為z-=-(x-1)+(y-1).法線方程為.16.指出曲面z=xy上何處的法線垂直于平面x-2y+z=6,并求出該點的法線方程與切平面方程。解：zx=y,zy=x.曲面法向量為.已知平面法向量為.且∥，故有解得x=2,y=-1,此時，z=-2.即（2,-1,-2）處曲面的法線垂直于平面，且在該點處的法線方程為.切平面方程為-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即x-2y+z-2=0.17.證明：螺旋線x=acost,y=asint,z=bt的切線與z軸形成定角。證明：螺旋線的切向量為.與z軸同向的單位向量為兩向量的夾角余弦為為一定值。故螺旋線的切線與z軸形成定角。18.證明：曲面xyz=a3上任一點的切平面與坐標(biāo)面圍成的四面