高二數(shù)學(xué)下學(xué)期導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義專題復(fù)習(xí)卷(提升篇)(江蘇等八省新高考專用)(解析版)

2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期專題專題強(qiáng)化訓(xùn)練試卷一（提升篇）導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則．故選：A2.設(shè)，，，…，，，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，因此，故，故選：C。3.若函數(shù)滿足，則的值為（）．A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【解析】，則，則，故.故選：C.4.如圖，是可導(dǎo)函數(shù)，直線是曲線在處的切線，令，是的導(dǎo)函數(shù)，則（）．A．－1 B．0 C．2 D．4【答案】B【解析】將點(diǎn)代入直線的方程得，得，所以，，由于點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，，故選:B．5.已知函數(shù)，則曲線上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴，又，∴，即傾斜角的取值范圍是．故選：C。6.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，將直線平移至與函數(shù)圖象相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最短,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，,令得，，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切點(diǎn)到直線的距離為：.故選：A.7.已知函數(shù)，，若與在公共點(diǎn)處的切線相同，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)，的公共點(diǎn)設(shè)為，則，即，解得，故選：B.8.已知，，記，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在直線上，的最小值轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)距離最小值的平方．由，得，與直線平行的直線的斜率為．令，得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)到直線的距離．即的最小值為．又過且與垂直的直線為，即，聯(lián)立，解得，即當(dāng)最小時(shí)，．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)可能的值是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，代入點(diǎn)后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，由條件可知方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以切線方程為，將點(diǎn)代入可得，化簡(jiǎn)得，過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，即方程有兩個(gè)不同的解，則，解得：或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.，所以由選項(xiàng)判斷可知正確.故選：BCD10.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列選項(xiàng)中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanx【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程顯然有解，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若f(x)＝e－x；則f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程無解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x)，令lnx＝eq\f(1,x)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝lnx與y＝eq\f(1,x)的圖象(作圖略)，可得兩函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程f(x)＝f′(x)存在實(shí)數(shù)解，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若f(x)＝tanx，則f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq\f(1,cos2x)，令tanx＝eq\f(1,cos2x)，化簡(jiǎn)得sinxcosx＝1，變形可得sin2x＝2，無解，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：（1）直線l在點(diǎn)P（x0，y0）處與曲線C相切；（2）曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過”曲線C.給出下列四個(gè)命題正確的是（）A.直線l：y＝0在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y＝x3；B.直線l：y＝x﹣1在點(diǎn)P（1，0）處“切過”曲線C：y＝lnx；C.直線l：y＝﹣x+π在點(diǎn)P（π，0）處“切過”曲線C：y＝sinx；D.直線l：y＝﹣x+1在點(diǎn)P（0，1）處“切過”曲線C：y＝ex.【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,y＝x3的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2，可得切線方程為y＝0，即x軸，而時(shí)，，時(shí)，，∴直線l：y＝0在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y＝x3，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,由lnx的導(dǎo)數(shù)為，可得切線方程為y﹣0＝x﹣1，作出y=x-1與y＝lnx的圖像可知不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,y＝sinx的導(dǎo)數(shù)為y′＝cosx，可得在點(diǎn)P（π，0）處切線方程為y=﹣x+π，由y＝sinx和直線y＝π﹣x可得切線穿過曲線，直線l：y＝﹣x+π在點(diǎn)P（π，0）處“切過”曲線C：y＝sinx，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，可得在點(diǎn)P（0，1）處切線為y＝x+1，作出y=-x+1與y＝ex的圖像可知不滿足題意，故D錯(cuò)誤；故選：AC.12.若以曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)M(x，y)為切點(diǎn)作切線l，曲線上總存在異于M的點(diǎn)N(x1，y1)，以點(diǎn)N為切點(diǎn)作切線l1，且l∥lA.；B.；C.；D.．【答案】AC【解析】由題意知，曲線具有“可平行性”的條件是方程y'=a至少有兩個(gè)根．對(duì)于選項(xiàng)A，，即x=±-a，此方程有不同的兩個(gè)根，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，②y'=3x2+1知，y'=1時(shí)，x取值唯一，只有0，對(duì)于選項(xiàng)C，由y'=-sinx和三角函數(shù)的周期性知，-sinx=a(-1≤a≤1)的解有無窮多個(gè)，對(duì)于選項(xiàng)D，0)'/>，令2x-4+1x=a，則有2x2-(4+a)x+1=0，當(dāng)Δ=0時(shí)，解唯一，故三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則_________.【答案】5【解析】，令，得，則，故，．故答案為：514.已知直線是曲線的一條切線，則________.【答案】4【解析】設(shè)，切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，所以，故切點(diǎn)為，又切點(diǎn)在切線上，故.故答案為：415.已知函數(shù)，則__________;曲線在點(diǎn)處的切線方程為_______________,【答案】4,【解析】設(shè)函數(shù)，則，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：4,16.直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，則__________【答案】【解析】由已知，且.因?yàn)椋裕?，所以，所以，即，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，整理的，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，；（3）因?yàn)椋苫境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則可得，；18.已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；(2)若直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程．【答案】(1)y＝13x－32;(2)(－2，－26);(3)y＝4x－18或y＝4x－14【解析】(1)由函數(shù)f(x)的解析式可知點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13，∴切線的方程為y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直線l的方程為y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又∵直線l過點(diǎn)(0，0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．(3)∵曲線f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴該切線的斜率k＝4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18.))故切線方程為y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.19.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f（2）)處的切線方程為7x－4y－12＝0．（1）求f(x)的解析式；（2）證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．【答案】（1）f(x)＝x－eq\f(3,x)；（2）答案見解析，6.【解析】（1）方程7x－4y－12＝0可化為y＝eq\f(7,4)x－3．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝eq\f(1,2)．又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，))故f(x)＝x－eq\f(3,x)．設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0，得y＝－eq\f(6,x0)，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0)))．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0，2x0)．所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為：S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6．故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6．20.(1)函數(shù)存在與直線平行的切線，則求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，則求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】由題意，得，故存在切點(diǎn)，使得，所以有解，因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.（2）∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋eq\f(1,x)(x＞0).∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)存在零點(diǎn)，即x＋eq\f(1,x)－a＝0有解，∴a＝x＋eq\f(1,x)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)).21.設(shè)A，B為函數(shù)y＝f(x)圖像上相異兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)互為倒數(shù)．在點(diǎn)A，B處分別作函數(shù)y＝f(x)的切線，若這兩條不重合的切線存在交點(diǎn)，則稱這個(gè)交點(diǎn)為函數(shù)f(x)的“優(yōu)點(diǎn)”．(1)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(lnx，,0<x<1，,ax2，,x>1)))不存在“優(yōu)點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；(2)求函數(shù)f(x)＝x2的“優(yōu)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)的取值范圍；【答案】(1)eq\f(1,2)；(2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】(1)不妨設(shè)A(t，f(t))(0<t<1)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)＝eq\f(1,x)，則f′(t)＝eq\f(1,t)；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)＝2ax，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))＝eq\f(2a,t)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，0<x<1，,ax2，x>1))不存在“優(yōu)點(diǎn)”，所以對(duì)任意的0<t<1，都有eq\f(1,t)＝eq\f(2a,t)，所以a＝eq\f(1,2).(2)設(shè)A(t，t2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)，\f(1,t2)))，由題意t≠0，±1，過A，B兩點(diǎn)的切線方程分別為y－t2＝2t(x－t)，y－eq\f(1,t2)＝eq\f(2,t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))，聯(lián)