高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤練（二十四）正弦定理和余弦定理文（含解析）新人教A版

課時(shí)跟蹤練(二十四)A組基礎(chǔ)鞏固1．(2019·沈陽質(zhì)檢)已知△ABC中，A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，則b等于()A．2 B．1 C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sin\f(π,6))＝eq\f(b,sin\f(π,4))，所以eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(b,\f(\r(2),2))，所以b＝eq\r(2).答案：D2．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C．2 D．3解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故選D.答案：D3．(2019·石家莊檢測(cè))在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：因?yàn)閏os2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，所以2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(a＋c,c)－1，所以cosB＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC為直角三角形．答案：B4．(2019·開封模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若A＝eq\f(π,3)，eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，且b＝6，則c＝()A．2 B．3C．4 D．6解析：在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，b＝6，所以a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝36＋c2－6c，①又eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，所以eq\f(3c2,cosC)＝2ab，即cosC＝eq\f(3c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，所以a2＋36＝4c2，②由①②解得c＝4或c＝－6(不合題意，舍去)，因此c＝4.答案：C5．(2019·石家莊一模)在△ABC中，AB＝2，C＝eq\f(π,6)，則AC＋eq\r(3)BC的最大值為()A.eq\r(7) B．2eq\r(7) C．3eq\r(7) D．4eq\r(7)解析：在△ABC中，AB＝2，C＝eq\f(π,6)，則eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝4，則AC＋eq\r(3)BC＝4sinB＋4eq\r(3)sinA＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－A))＋4eq\r(3)sinA＝2cosA＋6eq\r(3)sinA＝4eq\r(7)sin(A＋θ)，所以AC＋eq\r(3)BC的最大值為4eq\r(7).答案：D6．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，則sinB＝__________，c＝________．解析：(1)如圖，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)·sinA＝eq\f(2,\r(7))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(21),7).(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：eq\f(\r(21),7)37．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則b＝________．解析：由cosC＝eq\f(5,13)，0<C<π，得sinC＝eq\f(12,13).由cosA＝eq\f(4,5)，0<A<π，得sinA＝eq\f(3,5).所以sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(63,65)，根據(jù)正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13).答案：eq\f(21,13)8．(2019·荊州一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝2eq\r(2)，cosA＝eq\f(3,4)，sinB＝2sinC，則△ABC的面積是________．解析：由sinB＝2sinC，cosA＝eq\f(3,4)，可得b＝2c，sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(7),4)，所以由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得8＝4c2＋c2－3c2，解得c＝2(舍負(fù))，則b＝4.所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×4×eq\f(\r(7),4)＝eq\r(7).答案：eq\r(7)9．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－eq\f(1,7).(1)求∠A；(2)求AC邊上的高．解：(1)在△ABC中，因?yàn)閏osB＝－eq\f(1,7)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(3),7).由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2).由題設(shè)知eq\f(π,2)<∠B<π，所以0<∠A<eq\f(π,2).所以∠A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，因?yàn)閟inC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3\r(3),14)，所以AC邊上的高為asinC＝7×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(3\r(3),2).10．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2－ab－2b2＝0.(1)若B＝eq\f(π,6)，求A，C；(2)若C＝eq\f(2π,3)，c＝14，求S△ABC.解：(1)由已知B＝eq\f(π,6)，a2－ab－2b2＝0結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)整理得2sin2A－sinA－1＝0，解得sinA＝1或sinA＝－eq\f(1,2)(舍)．因?yàn)?<A<π，所以A＝eq\f(π,2)，又A＋B＋C＝π，所以C＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3).(2)由題意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196，①由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，因?yàn)閍＋b>0，所以a－2b＝0，即a＝2b，②聯(lián)立①②解得b＝2eq\r(7)，a＝4eq\r(7).所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝14eq\r(3).B組素養(yǎng)提升11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)解析：因?yàn)閟inA，sinB，sinC成等比數(shù)列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).答案：B12．(2019·合肥質(zhì)檢)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r(2),3)，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為()A．4π B．8πC．9π D．36π解析：在△ABC中，由cosC＝eq\f(2\r(2),3)可得sinC＝eq\f(1,3)，又bcosA＋acosB＝c＝2，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，則由正弦定理可得2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(2,\f(1,3))＝6，R＝3，則外接圓的面積為πR2＝9π，故選C.答案：C13．(2017·全國(guó)卷Ⅰ改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，則C＝________．解析：因?yàn)閍＝2，c＝eq\r(2)，所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(2),sinC)，故sinA＝eq\r(2)sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C為△ABC的內(nèi)角，故sinC≠0，則sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(3π,4).從而sinC＝eq\f(1,\r(2))sinA＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).由A＝eq\f(3π,4)知C為銳角，故C＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)14．(2019·濰坊一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(a＋2c)cosB＋bcosA＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周長(zhǎng)為3＋2eq\r(3)，求△ABC的面積．解：(1)由已知及正弦定理得(sinA＋2sinC)cosB＋sinBcosA＝0，即(sinAcosB＋sinBcosA)＋2sinCcosB＝0，即sin(A＋B)＋2sinCcosB＝0，又