初二八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽班學(xué)生版講義全本

初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班學(xué)生版講義

一、因式分解（一）..............................................................................2

二、因式分解（二）.............................................................................12

三、實(shí)數(shù)（高級(jí)復(fù)習(xí)）.........................................................................20

四、分式.....................................................................................27

五、恒等變形.................................................................................34

六、代數(shù)式求值..............................................................................43

七、根式.....................................................................................52

八、代數(shù)式的非負(fù)性...........................................................................63

九、一元二次方程.............................................................................75

十、全等三角形...............................................................................86

十一、勾股定理及廣勾股定理..................................................................94

十二、平行四邊形............................................................................104

十三、梯形..................................................................................111

十四、中位線................................................................................116

十五、相似三角形（一）........................................................................124

十六、相似三角形（二）........................................................................131

十八、歸納與發(fā)現(xiàn)............................................................................148

十九、特殊化與一般化........................................................................154

二十、類(lèi)比與聯(lián)想............................................................................162

二十一、分類(lèi)討論............................................................................170

二十二、面積問(wèn)題與面積方法..................................................................177

二十三、幾何不等式..........................................................................186

二十六、含參二次整數(shù)根問(wèn)題..................................................................215

二十七、列方程解應(yīng)用題......................................................................223

二十八、應(yīng)用題解題方法......................................................................230

二十九、應(yīng)用題實(shí)例分析（一）................................................................237

三十、應(yīng)用題實(shí)例分析（二）..................................................................242

三H--、復(fù)習(xí)題..............................................................................249

三十二、測(cè)試題..............................................................................268

1

一、因式分解(一)

多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們

解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因

式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作

用.初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法.本講及下一

講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹.

1.運(yùn)用公式法

在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，

例如：

(l)a2-bz=(a+b)(a-b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)a3-b3=(a-b)(a'+ab+b2).

下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：

(5)a'+b"+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c),；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)an-bn=(a-b)(anH+an-2b+an-3b2+-+abn2+bn-1)Mn為正整數(shù)；

(8)a"-b=(a+b)(anH-an'2b+rt2-?W2-^-1),其中n為偶數(shù)；

(9)a+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an'3b2---ab^2+bn-1),其中n為奇數(shù).

運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇

公式.

例1分解因式：

5n-13nnt2nInt4

(l)-2xy"+4x-'y-2x-y;

(2)x:!-8y-z3-6xyz；

(3)aJ+bJ+cJ-2bc+2ca-2ab；

(4)a'-a5bz+aW-b'.

2

例2分解因式：a3+b3+c-3abc.

例3分解因式:x15+xl4+x13+***+x2+x+l.

3

2.拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng),

或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零.在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相

互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前

者稱(chēng)為拆項(xiàng)，后者稱(chēng)為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.

例4分解因式：x3-9x+8.

4

例5分解因式:

(1)x9+x6+x3-3；

(2)(m2-l)(n2-l)+4mn；

(3)(x+l)4+(x2-l)2+(x-l)4；

(4)a3b-ab3+a2+b2+l.

5

3.換元法

換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整

體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰.

例6分解因式:(x2+x+l)(X2+X+2)-12.

例7分解因式：

(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.

6

例8分解因式:

(X2+4X+8)2+3X(X2+4X+8)+2X2.

例9分解因式：6X4+7X1-36XJ-7X+6.

7

例10分解因式：(x,xy+y?)-4xy(x?+y2).

8

練習(xí)

1.分解因式:

(1)x2n+xn-^-y2+7;

94

(2)x10+x-2；

3

（3）x，-2x，2-4xy，+4x，y+/（4x?+區(qū)/）；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+l)2-x5.

9

2.分解因式:

(1)X3+3X2-4；

⑵x'TlxV+y；

(3)X3+9X2+26X+24；

(4)x"-12x+323.

10

3.分解因式:

(1)(2X2-3X+1)2-22X2+33X-1；

(2)X4+7X3+14X2+7X+1；

(3)(x+y)*+2xy(l-x-y)-l；

(4)(x+3)(x2-l)(x+5)-20.

ii

二、因式分解(二)

1.雙十字相乘法

分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我

們也可以用十字相乘法分解因式.

例如，分解因式2x?-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降幕排列,并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上

式可變形為

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.

對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解

2x(-lly+1)

所以

原式=[x+(2y-3)][2x+(-lly+1)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起,

可得到下圖：

12

它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：

(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+l)=2xJ-5x-3；

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于

原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(1)x2-3xy-l0y2+x+9y-2；

(2)x'-y'+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6xJ-7xy-3y2-xz+7yz-2z'.

13

2.求根法

我們把形如aW+a.，一'+…+aix+ao(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x),

g(x),…等記號(hào)表示，如

f(x)=x2-3x+2,g(x)=X5+X2+6,…,

當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)

f(l)=l-3X1+2=0；

f(-2)=(-2)-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,則稱(chēng)a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.

定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a.

根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式

f(x),要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí),

經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根.

定理2

若既約分?jǐn)?shù)9是整系數(shù)多項(xiàng)式

P

nn-2

f(x)=aox+a/"-I+a2x+—+an_!X+an

的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是a0的約數(shù).特別地，當(dāng)a0=l時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根

均為4的約數(shù).

我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

例2分解因式：X3-4X2+6X-4.

14

例3分解因式:9X'-3X3+7X-3X-2.

15

3.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.

在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些

系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)

多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定

系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.

例4分解因式：x，3xy+2y，4x+5y+3.

例5分解因式：X1-2X3_27X2-44X+7.

16

練習(xí)

1.用雙十字相乘法分解因式：

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；

(2)x2-xy+2x+y-3；

(3)3x2-llxy+6y2-xz-4yz-2z2.

17

2.用求根法分解因式:

(1)x3+x2-10x-6；

(2)X1+3X3-3X2-12x-4；

⑶4X4+4X3-9X2-X+2.

18

3.用待定系數(shù)法分解因式:

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；

(2)X4+5X3+15X-9.

19

三、實(shí)數(shù)（高級(jí)復(fù)習(xí)）

實(shí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ).在初中代數(shù)中沒(méi)有系統(tǒng)地介紹實(shí)數(shù)理論，是因?yàn)樗?/p>

及到極限的概念.這一概念對(duì)中學(xué)生而言，有一定難度.但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒(méi)有實(shí)數(shù)的概念及其

簡(jiǎn)單的運(yùn)算知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無(wú)法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了.例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知

識(shí)也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的.因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的

基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的.本講主要介紹實(shí)

數(shù)的一些基本知識(shí)及其應(yīng)用.

m

形如:（n盧0）的數(shù)叫有理數(shù)，其中m,n為整數(shù).這種定義可

用于解決許多問(wèn)題，例如，不

難證明：任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說(shuō)，有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除（零不能

做除數(shù)）是封閉的.

性質(zhì)1任何一個(gè)有理數(shù)都能寫(xiě)成有限小數(shù)（整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面為零的小數(shù)）或循環(huán)小數(shù)的

形式，反之亦然.

例1

證明循環(huán)小數(shù)2.61545454…=2.61分是有理數(shù).

20

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù).有理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是封閉的，而無(wú)理

數(shù)與無(wú)理數(shù)的和、差、積、商不一定是無(wú)理數(shù).例如，應(yīng)為無(wú)理但

兀

/-虎=0是一個(gè)有理數(shù)；兀是無(wú)理數(shù)，元=1是有數(shù)，理數(shù)，也就

是說(shuō)，無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是不封閉的，但它有如下性質(zhì).

性質(zhì)2設(shè)a為有理數(shù)，b為無(wú)理數(shù)，則

（Da+b,a-b是無(wú)理數(shù)；

（2）當(dāng)雄0時(shí)，a?b,；是無(wú)理數(shù).

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，即

有限小數(shù);有理數(shù)

加小數(shù)）二上循環(huán)小數(shù)

無(wú)限小數(shù)I不循環(huán)小數(shù)一無(wú)理數(shù)

在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒(méi)有最小的實(shí)數(shù)，也沒(méi)有最大的實(shí)數(shù).任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以比較大小.全體實(shí)數(shù)和

數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.在實(shí)數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為零）運(yùn)算，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)

（即實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性）.任一實(shí)數(shù)都可以開(kāi)奇次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)

數(shù)時(shí)，才能開(kāi)偶次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù).

例2

求證””是有理數(shù).

21

例3證明應(yīng)是無(wú)理數(shù).

例4若ai+ba=a2+b2a（其中a”a2,例b?為有理數(shù)，a為無(wú)理數(shù)），則a%,b,=b2,反之，亦成立.

22

例5與b是兩個(gè)不相等的有理數(shù)，試判斷實(shí)數(shù)二是有理數(shù)還

b+書(shū)是無(wú)理數(shù)，并說(shuō)明理由.

例6已知a,b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且a<b,求證：a與b之間存在著無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)（即有理數(shù)集

具有稠密性）.

23

例7已知a,b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且a<b,問(wèn)是否存在無(wú)理數(shù)a,使得aVaVb成立？

例8己知數(shù)、旗的小數(shù)部分是b,求

b'+12b3+37b2+6b-20

的值.

24

例9求滿足條件

Ja-2展=6-后

的自然數(shù)a,x,y.

例10設(shè)an是/+22+3?+…+/的個(gè)位數(shù)字，n=l,2,3,?--,求證：0.a〔a2a3…&…是有理數(shù).

25

練習(xí)

1.下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)，哪些是無(wú)理數(shù)？為什么？

0.0213,0.071,J-31,e=271828'",-3.1415926,-6,281,-42.

Vo1

2.證明：7.5七5是有理數(shù).

3.比較、也+"與正+指的大小.

4.證明：、月是無(wú)理數(shù).

5.設(shè)a,B為有理數(shù)，Y為無(wú)理數(shù)，若a+By=O,求證:

a=0=0.

6.設(shè)5-質(zhì)的小數(shù)部分為a,5+次的小數(shù)部分為b,求（a-l）（b

+2）的值.

26

四、分式

分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類(lèi)似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等

于零時(shí)才有意義；也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的

值不變，這一性質(zhì)是分式運(yùn)算中通分和約分的理論根據(jù).在分式運(yùn)算中，主要是通過(guò)約分和通分來(lái)化

簡(jiǎn)分式，從而對(duì)分式進(jìn)行求值.除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問(wèn)題得到迅速準(zhǔn)

確的解答.

例1化簡(jiǎn)分式:

2222

2a+3-a---+-2-----a------a----5----3-a------4-a----5----2--a-+--8-a--+--5-------

a+1a+2a-2a-3

27

例2求分式

1124816

-----+------+-----z-+-----+-------J-+------rj-

1-a1+a1+a1+a1+a1+a

當(dāng)a=2時(shí)的值.

abc

-----------+------------+-的---值--------

例3若abc=l,求ab+a+1bc+b+1ca+c+1

28

例4化簡(jiǎn)分式:

111

x'+3x+2x+5x+6x+7x+12

例5化簡(jiǎn)計(jì)算（式中a,b,c兩兩不相等）：

2a-b_c2b—c一a2c-a-b

-2-------------------+-2--------------------+--------------------

a-ab-ac+beb-ab-be+acc-ac-be+ab

29

例6已知：x+y+z=3a（a#0,且x,y,z不全相等），求

(x-a)(y-a)+(y-a)(z-a)+(z-a)(x-a)

的值.

(x-a)2+(y-a)2+(z-a)2

例7化簡(jiǎn)分式:

2

211o

X+-y一X-—+3

(X+[)2_11_____XX

X+-—------------Z-

X11—12—

1-X-----x2+~y-2x—+3

XX，x

30

例8若x=$19-3耳,求分式

x4-6x3-2x2+18x+23小廳

-------L―北-----的值

X2-8%+15

a+b-ca-b+c-4+3+c

例9若,求

a

(a+8)(以+c)(b+c)

的值.

abc

31

練習(xí)

1.化簡(jiǎn)分式：

5x2x-57x-10

x2+x-6x2-x-12x2-6x+8

2.計(jì)算：

111

(x+l)(x+2)+(x+2)(x+X+(x+3)(x+4)

1

+???+---------------

(x+100)(x+101)

3.已知：

(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2

=(x+y-2z)3+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2,

(yz+l)(zx+l)(xy+1)

求的值.

(x2+l)(y2+1)(?+1)

32

4ab

4.已知a盧b,a滬0,b^O,a+b盧0,x=——一,求

a+b

2+2ax+2b

x-2ax-2b

的值.

5.如果f=]="，求分式雯與等的值?

x+y+z

6.己知：3-=a,=b,丫2=c,且ab濟(jì)0,求x的值.

x+yx+zy+z

33

五、恒等變形

代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識(shí)較多，主要有整式、分式與根式的

基本概念及運(yùn)算法則，因式分解的知識(shí)與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備

的基本功之一..

兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式恒等.

把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形.恒等式的證明，就是通過(guò)

恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等.

證明恒等式,沒(méi)有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問(wèn)題，采用不同的變形技巧，使證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)捷.一

般可以把恒等式的證明分為兩類(lèi)：一類(lèi)是無(wú)附加條件的恒等式證明；另一類(lèi)是有附加條件的恒等式的

證明.對(duì)于后者，同學(xué)們要善于利用附加條件，使證明簡(jiǎn)化.下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些

常用方法與技巧.

1.由繁到簡(jiǎn)和相向趨進(jìn)

恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡(jiǎn)”（即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo)）和“相向趨

進(jìn)”（即將等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式）.

例1已知x+y+z=xyz,證明：x(l-yJ)(1-z2)+y(l-xJ)(l-zJ)+z(l-xJ)(l-yJ)=4xyz.

34

例2已知1989x?=1991y2=1993z2,x>0,y>0,z>0,且

1114T

-H?一+-=1.求證

xyz

J1989x+1991y+1993z=71989+71991+71993.

2.比較法

比較法利用的是：若a-b=O,則a=b(比差法)；或若;=1,則

b

a=b(比商法).這也是證明恒等式的重要思路之一.

例3求證：

a2-beb2-caab-c2

----------------+-----------------=-----------------

(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)

35

a-bb-cc-a

例4設(shè)p=------，q=------,r=------,其中a+b,b+c,c+a

a+bb+cc+a全不為零.證明:

(1+p)(1+q)(l+r)=(l-p)(1-q)(1-r).

3.分析法與綜合法

根據(jù)推理過(guò)程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法.分析法是從要求證的結(jié)

論出發(fā)，尋求在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件

成立就可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”.而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?，即從已知條

件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論.

例5^―+—=—,WJa2+b2+c2=(a+b-c)

abc

36

例6已知a"+b"+c'+dJ4abcd,且a,b,c,d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d.

4.其他證明方法與技巧

a+bb+c_c+a

例7己知a,b,c互不相等.

a-b2(b-c)3(c-a)

求證：8a+9b+5c=0.

37

例8已知a+b+c=O,求證

2(aW+c4)=(a2+b2+c2)2.

222

例9己知y=a-T,z=a--,求證：x=a--

xyz

38

例10證明:

(y+z-2x)、'+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3

=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z).

例11設(shè)x,y,z為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且

111

x+—=y+-=z+—,

yzx

求證：x2y2z2=l.

39

練習(xí)

1.已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=O,求證：2b=a+c.

2.證明:

(x+y+z)'xyz-(yz+zx+xy)3

=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3).

3.求證：

b-cc-aa-b

----------------+-----------------4-----------------

(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)

222

=------+-------+------.

a-bb-cc-a

40

4?,b=—^―,c=,求證：a=d.

1-bb-c1-d

5.證明：

abx

-----+--------------

x-a(x-a)(x-b)

a2b2

=-------------+--------------

(a-b)(x-a)(b-a)(x-b)

6.已知x2-yz=y2-xz=z2-xy,求證：

x=y=z或x+y+z=O.

7.已矢口an-bm7^0,aWO,axJ+bx+c=O,mx2+nx+p=0,求證：

(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm).

42

六、代數(shù)式求值

代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切.許多代數(shù)式是先化簡(jiǎn)再求值，特別是有附加條

件的代數(shù)式求值問(wèn)題，往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、約

分、根式的性質(zhì)等等，經(jīng)過(guò)恒等變形，把代數(shù)式中隱含的條件顯現(xiàn)出來(lái)，化簡(jiǎn)，進(jìn)而求值.因此，求

值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法.

1.利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值中，經(jīng)常被采用.

例1已知/+x=g,求6x4+15x?+10區(qū)2的值.

例2已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且滿足下式:

a2+b2+c2=l,①

+b++c=-3

a（rl）（；；）（；4]'②

求a+b+c的值.

43

2.利用乘法公式求值

例3已知x+y初，X3,：-n,m#0,求x?+y2的值.

例己知

4x=g(/+,y=—(^-V3),.

2求x-+6xy+y9」的值.

44

3.設(shè)參數(shù)法與換元法求值

如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡(jiǎn)便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)（也叫輔助未知數(shù)），以

便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法.有時(shí)也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個(gè)字母來(lái)替換，

這叫換元法.

例5已知上^=4=二，求x+y+z的值.

a-bb一cc一a

例6已知二+<+三=1,Z+B+E=O,求W+W的值.

々bexyzab

45

例7已知、=昌泛'

求

x6-2^/2x5-x4+x3-2V3x2+2x--72的值.

4.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值

若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為零，這個(gè)性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用.

例8若x?-4x+|3x-y|=-4,求y”的值.

46

例9未知數(shù)x,y滿足

(x2+y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0,其中m,n表示非零已知數(shù)，求x,y的值.

5.利用分式、根式的性質(zhì)求值

分式與根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，內(nèi)容相當(dāng)豐富，因此設(shè)有專(zhuān)門(mén)講座介紹，這里只分別舉一個(gè)例子略

做說(shuō)明.

例10已知xyzt=l,求下面代數(shù)式的值：

1+x+xy+xyz1+y+yz+yzt1+z+zt+ztx1+t+tx+txy

47

例11已知a>0,b>0,當(dāng)x=,2-時(shí),求

b+1

h+x+h-x

的值.

J以+X-h-x

48

練習(xí)

—..2+舊2-々，小旺

L己知x=^—后，y=—求2--3xy+2ya的值.

七-75乙十、，5

2.已知x+y=a,x2+y2=b2,求x"+y’的值.

3.已矢口a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值.

49

4c由

4.如果y^+-z-=-z--+-x=-x--+-y=k.,求k的值-.

zyz

5.設(shè)a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)-3(m-a)(m-b)(m-c)的值.

2祐的值.

6.已知x=x3-x2-x+2

乖-1

50

7.已知X=3J4（后+1）-3也（、5_1）,試求x?+12x的值.

8.已矢口13x'—6xy+y2-4x+l=0,求（x+y）13,xlO的值.

51

七、根式

二次根式的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算法則是根式運(yùn)算的基礎(chǔ)，在進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，往往用到絕對(duì)值、

整式、分式、因式分解，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等有關(guān)知識(shí)與解題方法，也就是說(shuō)，根式

的運(yùn)算，可以培養(yǎng)同學(xué)們綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法的能力.下面先復(fù)習(xí)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，然后進(jìn)行例題

分析.

二次根式的概念：式子后(a>0)叫作二次根式.

二次根式的性質(zhì)：

(1)(?/a)2=a(a>0)；

fa,當(dāng)a〉0時(shí)，

(2)4^=|a|=-0,當(dāng)a=0時(shí)，

-a,當(dāng)a<0時(shí).

二次根式的運(yùn)算法則：

(1)aVin+=(a+(m)0)；

(2)Va,Vb=Vab(a)0,b?0)；

⑶*卡5)。,b>0)；

(4)函)m=肝(a)。).

若a〉b〉0,則孤〉行,

設(shè)a,b,c,d,m是有理數(shù)，且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d時(shí)，a+b而=c+d^^

形如x=a+^/b,y=a-居的兩個(gè)根式互稱(chēng)為共瓢根式.

當(dāng)兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，如果它們的積不含有二次根式，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理

化因式.

52

例1化簡(jiǎn):

(1)7x2-4x+4+|1-x|,其中l(wèi)〈x<2；

(2)Ja-b,Ja-b-J(b-a)，-|b-a|.

例2化簡(jiǎn)：

Q)_____M_____

Vio+7i4+-715+V21

加+4/+3企

k)718+712+3+^/6,

53

例3化簡(jiǎn)：Jn+2疝

例4化簡(jiǎn):

(1)J4-、厄;(2)123-6川+4；3-2、龍.

54

例5化簡(jiǎn)：用+2君+2療+2后

例6化簡(jiǎn)：*4-小U+2#>++J10+2后.

55

例7化簡(jiǎn)：3j20+146+3j20-14VT

例8化簡(jiǎn):

(1)Jl+a，+Jl+a，+a";(2)Jy+2+3J2y

56

例9化簡(jiǎn):

gK-A/2^3+V2,力AJ也

例10已知x=]|[萬(wàn)，y=-j|—j=,求3x?-5xy+3y2的值.

57

例11求

256J(2+DR?+1)04+1)(28+1)...Q256+1)+］的值.

例12若a=J^+l,計(jì)算

1

共有2000層＜

i

2+--------------

2+―f

2+???-----j-

2+-

a

的值.

58

例14設(shè)等的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,試求x2+：xy+y2

A/5-12

的值.

59

練習(xí)

1.化簡(jiǎn)：

(1).』產(chǎn)二|(p>0);

|2+p|+)4-4p+p2

(2)Jx+1+4Jx-3.

2.計(jì)算：

(1)^17+1272;(2)75-721;

112

⑶-------+......-______

^2-1、5+1'

(4),3+^^/13+聞;

(5)121-4君+8、1-4后.

60

3.計(jì)算：

、B+26+3

后+3石+3、7+7

lllr-42x+Jxy+3yA--

4.已知點(diǎn)（小+Jy）=3后（石+5板）,求----產(chǎn)----的值.

x+Jxy-y

61

5.已知2x=j2-g,求j7+)-------的值.

A/1-x2x

6―,計(jì)舁；--1--+1-------+----1---+???+,---1-二.

1+也V3+燼+用V2n-1+V2n+1

7.設(shè)J19-8后的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,試求a+b+1的

b

值.

62

八、代數(shù)式的非負(fù)性

所謂非負(fù)數(shù)，是指零和正實(shí)數(shù).非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中頗有用處.常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有三種：實(shí)數(shù)的

偶次累、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和算術(shù)根.

1.實(shí)數(shù)的偶次塞是非負(fù)數(shù)

若a是任意實(shí)數(shù)，則a2“eo(n為正整數(shù))，特別地，當(dāng)n=l時(shí)，有^20.

2.實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)

若a是實(shí)數(shù)，則

a,當(dāng)a>0時(shí)；

IaI=<0,當(dāng)a=。時(shí)；

-a,當(dāng)a<0時(shí).

性質(zhì)絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是零.'

3.一個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)根是非負(fù)數(shù)

性質(zhì)溫實(shí)數(shù)，則Ial>0.

4.非負(fù)數(shù)的其他性質(zhì)

(1)數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)都是非負(fù)數(shù).(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)，即若

a”a2,a”為非負(fù)數(shù)，則

a1+a2+…+an20.

(3)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零，即若a”a2,…，a”為非負(fù)數(shù)，且為+

,,,=

a2d---Fa?=O,則必有ai=a2=a?=0.

在利用非負(fù)數(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程中，這條性質(zhì)使用的最多.

(4)非負(fù)數(shù)的積和商(除數(shù)不為零)仍為非負(fù)數(shù).

(5)最小非負(fù)數(shù)為零，沒(méi)有最大的非負(fù)數(shù).

(6)一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)有實(shí)數(shù)根的充要條件是判別式△=b?-4ac為非負(fù)數(shù).

應(yīng)用非負(fù)數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于能否識(shí)別并揭示出題目中的非負(fù)數(shù)，正確運(yùn)用非負(fù)數(shù)的有關(guān)概念

及其性質(zhì)，巧妙地進(jìn)行相應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題得到解決.

63

例1已知la-31+./b+2=0,求R的值.

a.b

例2化簡(jiǎn)：II20±7-(20X-3)2I+20I.

64

y=-+J4x-1+V1-4x,求一的值.

例3已知x,y為實(shí)數(shù)，且3y

例4已知a2+b2-4a-2b+5=0,求代數(shù)式與￡^的值.

J比-2而

65

例5已知x,y為實(shí)數(shù)，求

u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值時(shí)的x,y的值.

例6確定方程(a2+l)x2-2ax+(a2+4)=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

66

例7求方程4*2+2對(duì)+/^+4=473/匚7的實(shí)數(shù)根.

例8已知方程組

2x；

1+xj

2x；

2+x.

2x3

X

i+x3n>

2x：

X

1+x：l>

求實(shí)數(shù)x