小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算方法遷移的應(yīng)然思考

【摘

要】感悟數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，不只是讓學(xué)生簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法的遷移和自主嘗試，還要從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知思維的應(yīng)然過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷豎式書(shū)寫(xiě)、理解算理、掌握算法的學(xué)習(xí)過(guò)程。教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“零起點(diǎn)”的認(rèn)知過(guò)程、“裸視圖”的思維過(guò)程以及“應(yīng)變化”的內(nèi)化過(guò)程，促使學(xué)生在知識(shí)形成過(guò)程中主動(dòng)參與、自主探究，進(jìn)而真正感悟數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)內(nèi)涵，建立算理的聯(lián)系，形成算法的遷移，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的協(xié)同發(fā)展?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)；運(yùn)算方法；思維遷移；一致性根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求，在進(jìn)行“數(shù)與運(yùn)算”主題的教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生經(jīng)歷算理和算法的探索過(guò)程，理解算理，掌握算法，從而感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。感悟數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，不只是讓學(xué)生簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法的遷移和自主嘗試，還要從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知思維的應(yīng)然過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷豎式書(shū)寫(xiě)、理解算理、掌握算法的學(xué)習(xí)過(guò)程。因此，教師教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“零起點(diǎn)”的認(rèn)知過(guò)程、“裸視圖”的思維過(guò)程以及“應(yīng)變化”的內(nèi)化過(guò)程，促使學(xué)生在知識(shí)形成過(guò)程中主動(dòng)參與、自主探究，進(jìn)而真正感悟數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)內(nèi)涵，建立算理的聯(lián)系，形成算法的遷移，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的協(xié)同發(fā)展。本文以蘇教版教材一年級(jí)下冊(cè)第四單元的“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進(jìn)位、不退位）”的教學(xué)內(nèi)容為例，從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”視角探討數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。教材采用乘車(chē)情境圖引入加法算式45+31（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生自主探索兩位數(shù)加兩位數(shù)的計(jì)算方法，力求借助小棒圖和計(jì)數(shù)器，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)直觀觀察或動(dòng)手操作理解算理、掌握算法。在教學(xué)67-34時(shí)，教材則直接采用“試一試”的方法，讓學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行計(jì)算。教師若直接按照教材的編排結(jié)構(gòu)進(jìn)行教學(xué)，不但無(wú)法推進(jìn)學(xué)生體會(huì)加、減法運(yùn)算之間的聯(lián)系以及數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，還會(huì)影響學(xué)生對(duì)減法算理的積極探索和對(duì)減法算法的自主建構(gòu)。這是因?yàn)闇p法運(yùn)算中擺小棒和撥計(jì)數(shù)器的活動(dòng)所蘊(yùn)含的算理在思維水平的要求上要明顯高于加法運(yùn)算，僅僅依靠主題圖中加法算理提供的直觀圖式，無(wú)法實(shí)現(xiàn)從加法運(yùn)算向減法運(yùn)算的思維遷移。因此，加、減法運(yùn)算間的思維遷移應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)出發(fā)，針對(duì)加、減法運(yùn)算的豎式書(shū)寫(xiě)、算理探索及算法應(yīng)用展開(kāi)“現(xiàn)實(shí)化”的學(xué)生實(shí)踐，促進(jìn)他們對(duì)加、減法運(yùn)算本質(zhì)上的一致性的體會(huì)與感悟。一、豎式書(shū)寫(xiě)的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”一致性：需要經(jīng)歷“零起點(diǎn)”的認(rèn)知過(guò)程“零起點(diǎn)”認(rèn)知指學(xué)生尚未接觸新知領(lǐng)域時(shí)的思維認(rèn)知狀態(tài)。在“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進(jìn)位、不退位）”的筆算教學(xué)中，學(xué)生首次接觸豎式的概念，其書(shū)寫(xiě)應(yīng)呈現(xiàn)“零起點(diǎn)”的認(rèn)知狀態(tài)。計(jì)算教學(xué)固然要以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，但新概念的自然生長(zhǎng)還依賴于學(xué)生的“零起點(diǎn)”認(rèn)知，以促進(jìn)基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的運(yùn)算概念的建構(gòu)，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的理解?？梢?jiàn)，計(jì)算教學(xué)的“零起點(diǎn)”認(rèn)知過(guò)程，是一種基于計(jì)算知識(shí)的結(jié)構(gòu)性、生長(zhǎng)性和應(yīng)用性的學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)，凸顯學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的再建構(gòu)、已有經(jīng)驗(yàn)的再利用以及已有認(rèn)知的再突破，以使學(xué)生體會(huì)豎式書(shū)寫(xiě)本質(zhì)的一致性。（一）激活學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)自主思維教師創(chuàng)設(shè)“45+31怎樣算”的自主交流活動(dòng)，激活學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生思考：兩個(gè)數(shù)相加除了寫(xiě)成橫式進(jìn)行計(jì)算，還可以如何書(shū)寫(xiě)？教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，鼓勵(lì)他們大膽嘗試并表達(dá)自己的想法。只有借助豎式書(shū)寫(xiě)的創(chuàng)造過(guò)程，學(xué)生才能充分暴露豎式書(shū)寫(xiě)過(guò)程中的意圖、想法及問(wèn)題。這也為學(xué)生規(guī)范、正確地書(shū)寫(xiě)豎式積累認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、奠定思維基礎(chǔ)，有效避免機(jī)械地要求學(xué)生模仿教材中的“可以用豎式計(jì)算”的灌輸式教學(xué)方法，有助于學(xué)生主動(dòng)體會(huì)和理解豎式計(jì)算與豎式書(shū)寫(xiě)的意義、價(jià)值及效用。（二）引發(fā)直觀思維，生發(fā)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)在教學(xué)過(guò)程中，教師基于學(xué)生認(rèn)知方式的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建豎式計(jì)算的過(guò)程。師：豎式應(yīng)該如何書(shū)寫(xiě)呢？45加31，應(yīng)先寫(xiě)哪個(gè)數(shù)？再寫(xiě)哪個(gè)數(shù)？生：先寫(xiě)45，再寫(xiě)31。生：45和31要上下對(duì)齊。師：那“加31”中的加號(hào)寫(xiě)在哪里？生：寫(xiě)在31的前面。師：為什么？生：因?yàn)樵跈M式計(jì)算中，加號(hào)寫(xiě)在31的前面，所以在豎式計(jì)算中，加號(hào)也要寫(xiě)在31的前面。上述教學(xué)過(guò)程揭示了學(xué)生對(duì)豎式書(shū)寫(xiě)格式現(xiàn)實(shí)意義的建構(gòu)，體現(xiàn)了學(xué)生與成人理解上的差異。（三）啟發(fā)學(xué)生認(rèn)知，啟迪數(shù)學(xué)感悟教師在學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上構(gòu)建豎式書(shū)寫(xiě)的意義，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解豎式計(jì)算的作用和價(jià)值。師：你們覺(jué)得相加的兩個(gè)數(shù)是豎向書(shū)寫(xiě)成豎式還是橫向書(shū)寫(xiě)成橫式更合適呢？（學(xué)生在課堂上紛紛發(fā)表意見(jiàn)，觀點(diǎn)各異）生：橫式寫(xiě)起來(lái)方便，且不占用過(guò)多位置。生：豎式計(jì)算更為簡(jiǎn)便。師：為什么用豎式更簡(jiǎn)便？生：在橫式中，兩位數(shù)加兩位數(shù)有時(shí)可能難以直接口算出結(jié)果或容易算錯(cuò)。而在豎式中，我們可以分別計(jì)算每個(gè)數(shù)位上的和，這樣只需計(jì)算一位數(shù)加一位數(shù)就可以了。上述教學(xué)過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“零起點(diǎn)”的認(rèn)知過(guò)程，并開(kāi)展相關(guān)的探究、討論和交流，使學(xué)生體會(huì)橫式計(jì)算和豎式計(jì)算的異同，初步感知兩種書(shū)寫(xiě)形式隱含的算理和算法的聯(lián)系與區(qū)別。同時(shí)，借助加法豎式的計(jì)算過(guò)程，使學(xué)生深刻感悟到，無(wú)論是橫式書(shū)寫(xiě)還是豎式書(shū)寫(xiě)，其計(jì)算過(guò)程表示的都是小棒圖中整捆與整捆、單根與單根的相加，進(jìn)而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到橫式計(jì)算與豎式計(jì)算運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。二、算理理解的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”一致性：需要經(jīng)歷“裸視圖”的思維過(guò)程“裸視圖”的思維過(guò)程指基于學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的算理“可視化”過(guò)程。這種思維方式使學(xué)生能夠在靜態(tài)思維中自然感知計(jì)算算理，在動(dòng)態(tài)思維中自主感悟計(jì)算算理，從而實(shí)現(xiàn)加、減法計(jì)算算理的理解與意義建構(gòu)，推動(dòng)加法運(yùn)算向減法運(yùn)算的自然遷移，初步感悟加、減法運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。教師借助圖1中的小棒圖，引導(dǎo)學(xué)生把4捆和5根小棒與3捆和1根小棒看作一個(gè)整體，用整體的數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)在一共有多少根小棒。學(xué)生通過(guò)觀察、思考，在頭腦里自然地把整捆與整捆合并、單根與單根合并，直觀地看出小棒的總數(shù)，從而初步感悟加法的算理，即相同計(jì)數(shù)單位數(shù)量的累加。然而，減法運(yùn)算無(wú)法像加法運(yùn)算那樣直接從靜態(tài)的小棒圖中感悟算理，從而限制了學(xué)生對(duì)計(jì)算方法的自主建構(gòu)。因此，能表示67-34算理的直觀圖，需要在小棒圖中表示“原有67根小棒，去掉34根小棒，還剩33根小棒”的動(dòng)態(tài)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作或動(dòng)態(tài)演示，以暴露他們的認(rèn)知思維過(guò)程。只有開(kāi)展這樣的數(shù)學(xué)探究，才能滿足學(xué)生的認(rèn)知需求和情感需求，激發(fā)他們主動(dòng)參與計(jì)算算理的探索過(guò)程，從而感悟減法運(yùn)算與加法運(yùn)算在計(jì)算方法上的本質(zhì)一致性。觀察、分析學(xué)生探索45+31的算理和算法的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，若機(jī)械地遵循教材“試一試”中的教學(xué)方式，直接要求學(xué)生獨(dú)立計(jì)算67-34，并不符合學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，且違背知識(shí)遷移的認(rèn)知規(guī)律。此外，加、減法的運(yùn)算意義在學(xué)生的認(rèn)知思維中存在差異。加法表示把兩個(gè)分量合并成一個(gè)總量，即把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫作加法。教師在教學(xué)加法時(shí)，只要在學(xué)生面前直觀地呈現(xiàn)兩個(gè)分量，他們就能夠直接感知總量的客觀存在。減法表示從總量中去掉一分量求另一分量，即已知兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫作減法。教師在教學(xué)減法時(shí)，若靜態(tài)展示總量，學(xué)生無(wú)法直接感知“去掉量”與“剩余量”兩個(gè)分量的直觀存在，導(dǎo)致減法算理的思維視圖無(wú)法自然“裸露”與直觀呈現(xiàn)，要通過(guò)動(dòng)態(tài)演示或動(dòng)手操作才能直接感知。因此，要讓學(xué)生形成對(duì)加、減法運(yùn)算一致性的理解與感悟，應(yīng)從學(xué)生的思維現(xiàn)實(shí)和運(yùn)算方法的遷移現(xiàn)實(shí)出發(fā)，基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”對(duì)教材的編排結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷理解加、減法算理的過(guò)程。只有通過(guò)動(dòng)手操作小棒或數(shù)珠，經(jīng)歷“正向”與“反向”的運(yùn)算過(guò)程，學(xué)生才能直接感知諸如小棒“整捆”或“單根”合并、去掉的運(yùn)算過(guò)程，體會(huì)加、減法運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解加、減法運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。三、算法建構(gòu)的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”一致性：需要經(jīng)歷“應(yīng)變化”的內(nèi)化過(guò)程“應(yīng)變化”的內(nèi)化過(guò)程指學(xué)生對(duì)運(yùn)算算理和算法的再加工、再認(rèn)知過(guò)程。在計(jì)算過(guò)程中，由于運(yùn)算類型發(fā)生變化，學(xué)生對(duì)算理的理解和算法的運(yùn)用會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知上的“缺口”。而要突破這些“缺口”，學(xué)生需要基于自身的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行遷移。只有在不同類型的運(yùn)算中經(jīng)歷“應(yīng)變化”的內(nèi)化過(guò)程，學(xué)生才能對(duì)某一運(yùn)算的算理和算法形成意義建構(gòu)，將對(duì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性的感悟內(nèi)化為自身認(rèn)知，形成“數(shù)學(xué)化”理解。“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進(jìn)位、不退位）”的教學(xué)內(nèi)容不僅首次引入了豎式計(jì)算，還涵蓋“兩位數(shù)與一位數(shù)、整十?dāng)?shù)相加減”的筆算內(nèi)容。在豎式計(jì)算中，學(xué)生需要通過(guò)不同類型的運(yùn)算理解和掌握豎式書(shū)寫(xiě)、計(jì)算方法等運(yùn)算概念，并在不同情境中實(shí)現(xiàn)遷移和內(nèi)化，從而形成計(jì)算技能。為促進(jìn)學(xué)生對(duì)加法筆算的算理理解和算法掌握，在學(xué)生探究了兩位數(shù)加兩位數(shù)這一計(jì)算類型后，教師應(yīng)啟發(fā)他們將習(xí)得的方法遷移運(yùn)用至其他計(jì)算類型中。例如，基于45+31的豎式計(jì)算，教師可引出45+30、30+45、45+3、3+45等“兩位數(shù)與整十?dāng)?shù)、一位數(shù)相加”的計(jì)算類型，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生探索兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)或一位數(shù)的豎式書(shū)寫(xiě)和計(jì)算法則。其中，兩位數(shù)與一位數(shù)相加的豎式計(jì)算是學(xué)困生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。在計(jì)算45+3、3+45時(shí)，學(xué)生會(huì)形成“數(shù)位如何對(duì)齊？沒(méi)有數(shù)和十位上的4相加，它應(yīng)該如何算、如何書(shū)寫(xiě)？”等認(rèn)知“缺口”。對(duì)于這些在計(jì)算過(guò)程中自然生成的問(wèn)題，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，理解其數(shù)學(xué)意義。可以說(shuō)，每一種計(jì)算類型對(duì)學(xué)生而言都是一次新的思維探索與認(rèn)知突破，學(xué)生唯有經(jīng)過(guò)自主探索、合作交流以及同伴引導(dǎo)的思維過(guò)程，才能實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法的自然遷移和內(nèi)化應(yīng)用。對(duì)于減法運(yùn)算中的不同計(jì)算類型，教師同樣需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行意義建構(gòu)和方法探究，感悟其計(jì)算方法的一致性。例如，由減法計(jì)算67-34可衍生出67-60、67-7等“兩位數(shù)減整十?dāng)?shù)、一位數(shù)”的計(jì)算類型，其中皆隱含一定的認(rèn)知“缺口”。如：計(jì)算67-7時(shí)，數(shù)位如何對(duì)齊？個(gè)位上減下來(lái)的0需要不需要寫(xiě)？計(jì)算67-60時(shí)，十位上減下來(lái)的0需要不需要寫(xiě)？從這些不同計(jì)算類型中衍生出來(lái)的“應(yīng)變化”的計(jì)算技能，既是學(xué)生對(duì)計(jì)算方法的一次新的認(rèn)知突破，又是學(xué)生自主內(nèi)化計(jì)算方法的過(guò)程。這種“應(yīng)變化”的內(nèi)化過(guò)程是學(xué)生理解算理、掌握算法的認(rèn)知難點(diǎn)，教師理應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生在課堂上進(jìn)行自主探究、獨(dú)立感悟。綜上所述，學(xué)生只有經(jīng)歷運(yùn)算中不同計(jì)算類型的“應(yīng)變化”過(guò)程，才能應(yīng)對(duì)計(jì)算中所生成的豎式書(shū)寫(xiě)、數(shù)位對(duì)齊等問(wèn)題，從而逐步理解算理，掌握算法和抽象法則，從單一的計(jì)算思維走向多元的運(yùn)算思維，實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法的內(nèi)化與應(yīng)用。因此，教師應(yīng)從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生在不同的計(jì)算類型中遷移應(yīng)用計(jì)算方法，使學(xué)生在經(jīng)歷“應(yīng)變化”的內(nèi)化過(guò)程中，進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用，感悟運(yùn)算的一致性?？傊?，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的已有知識(shí)與思維習(xí)慣，避免放任學(xué)生隨意嘗試。只有依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，跨越學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，才能實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法的有效遷移。雖然學(xué)生可以在教師的指導(dǎo)或外部的幫助下學(xué)會(huì)“兩位數(shù)加、減兩位