2016屆高三數(shù)學(xué)（理）33個(gè)黃金考點(diǎn)總動(dòng)員考點(diǎn)13三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)解析版含解析

2016屆高三數(shù)學(xué)33個(gè)黃金考點(diǎn)總動(dòng)員

考點(diǎn)13三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)(理)

【考點(diǎn)剖析】

1.最新考試說明：

(D考查三角函數(shù)的值域與最值

(2)考查三角函數(shù)的單調(diào)性

(3)利用三角函數(shù)的值域和單調(diào)性求參數(shù)的值

2.命題方向預(yù)測：

(1)三角函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的單調(diào)性是歷年高考的重要考點(diǎn).

(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求最值、利用單調(diào)性求參數(shù)是重點(diǎn)也是難點(diǎn).

(3)題型不限，選擇題、填空題、解答題都有可能出現(xiàn)，常與多個(gè)知識點(diǎn)交匯命題.

3.課本結(jié)論總結(jié)：

(1)由y=sinx的圖象變換到y(tǒng)=4sin的圖象，有兩種變換方式：①先相位變換再周期變換(伸

縮變換)：；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是I4號>I(3>。)個(gè)單位.原因在于相位變換和

周期變換都是針對X而言，即X本身加減多少值，而不是依賴于3X加減多少值.

(2)y=sinx的性質(zhì)：①定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?1,1］；②是周期函數(shù)，最小正周期為2萬；

7T7T7TJ7T

③在——+—+2,k/r(kcZ)單調(diào)遞增，在—4-4-2k/r(&wZ)單調(diào)遞減；

TTTT

④當(dāng)x=3+2k肛kEZ時(shí),ymax=1；當(dāng)工=一萬+2%肛4EZ時(shí)，ymin=-1；

⑤其對稱軸方程為x=y+版■伏eZ),對稱中心坐標(biāo)為心肛0),keZ.

(3)y=cosx的性質(zhì)：①定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋邸?,1］；②是周期函數(shù)，最小正周期為27；③在

［一萬+2k肛2左萬］(AeZ)單調(diào)遞增，在［2人耳%+247］(女eZ)單調(diào)遞減；④當(dāng)x=2%左,女€Z時(shí)，

>max=l；當(dāng)x=zr+2女乃，女eZ時(shí)，ymin=-1；⑤其對稱軸方程為x=人萬伙eZ),對稱中心坐標(biāo)為

(4乃+、,0),AeZ.

(4)y=tanx的性質(zhì)：①定義域?yàn)?x|xR、+%肛kez1,值域?yàn)镽；②是周期函數(shù)，最小正周期為

萬；③在（―1+左肛'+左7}%eZ）單調(diào)遞增；④其對稱中心坐標(biāo)為

4.名師二級結(jié)論：

（1）由，片sinx的圖象變換到y(tǒng)=4sin（。入+0）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸

縮變換），平移的量是個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是一乙（3＞0）個(gè)單

（JL）

位.原因在于相位變換和周期變換都是針對X而言，即X本身加減多少值，而不是依賴于。*加減多少值.

M'—rjjIII

（2）在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為也最小值為小，則/=一丁，k=F~,3由周期7確定，

9JI

即由一=7求出，。由特殊點(diǎn)確定.

CO

（3）作正弦型函數(shù)y=4sin（0）的圖象時(shí)應(yīng)注意：

①首先要確定函數(shù)的定義域；

②對于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)

函數(shù)的圖象.

（4）求三角函數(shù)值域（最值）的方法：

①利用sinx、cosx的有界性；

②形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y=Asin（m+°）+k的形式逐步分析姐的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出

函數(shù)的值域；

③換元法：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域（最值）問題.

5.y=Asin（5+e）、y=Acos（s+*）、y=Atan（5+°）的性質(zhì)：

①周期性

函數(shù)y=4sin（Qx+0）和尸/cos（ox+。）的最小正周期為y=tan（。）的最小正周期為丁一.

I3II3|

②奇偶性

三角函數(shù)中奇函數(shù)?般可化為y=/sin3才或尸戊anax,而偶函數(shù)一般可化為尸/fcos3彳+。的形式.

③研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、對稱性等問題，要注意整體意識，即將以+夕看作一個(gè)整體.

5.課本經(jīng)典習(xí)題：

⑴新課標(biāo)A版第147頁，第A9題（例題）已知y=（sinx+cosx）2+2cos2x.

①求它的遞減區(qū)間；②求它的最大值和最小值.

【解析】y=（sinx+cosx）2+2cos2x=1+2sinxcosx+1+cos2x=2+sin2x+cos2x

=V2sin(2x+7)+2

rrTT37r7c57r

①令一+2女乃＜2工+乙＜—+2k兀，解得。+k兀+k兀,即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為

24288

—Fkjr.---卜k,7C(kGZ);

_88J

②由題意得，ymax=V2+2,ymjn=-V2+2.

【經(jīng)典理由】綜合考查三角恒等變換與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

(2)新課標(biāo)A版第147頁，第A10題(例題)已知函數(shù)/(x)=cos4x-2sinxcosx-sin。.

TT

①求/(X)的最小正周期；②當(dāng)XG0,1時(shí)，求/(X)的最小值以及取得最小值時(shí)X的集合.

【解析】/(x)=cos4X—2sinxcosx-sin'x=cos*x-sin*x-sin2x=cos2x-sin2x

=0cos(2x+j).

2冗

①T=--=^；

?,/xe0=二亍，則一14cos(2x+1)4即/(x)-=-0,此時(shí),2X+^=.T,

即x=W,即取得最小值時(shí)x的集合為一濘｝.

8.8J

【經(jīng)典理由】綜合考查三角恒等變換與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

6.考點(diǎn)交匯展示：

(1)與定積分的交匯

In

【2014高考湖南卷第9題】已知函數(shù)/(x)=sin(x-夕),且『/(x)dx=0,則函數(shù)/(x)的圖象的條對稱

軸是()

5萬「77r「冗c7i

AA.x=—B.x=—C.x=—D.x=—

61236

【答案】A

jrrr

【解析】函數(shù)/(X)的對稱軸為工一9=萬+占"=>X=(p+-^+k[7T,

所以---(p—k?7i=>(p-----k27c，即對稱軸x=(p?----卜尤乃=------右兀+k^7r(￡N)

3326

貝ijx=衛(wèi)5萬是其中一條對稱軸，故選A.

6

【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像輔助角公式定積分

(2)與平面向量的交匯

【2014高考山東卷第16題】已知向量。=(cos2x),B=(sin2x,〃)，設(shè)函數(shù)/*)=〃/,且y=/(x)

的圖象過點(diǎn)(―,VJ)和點(diǎn)(-^—,—2).

(I)求團(tuán),〃的值；

(II)將y=/(x)的圖象向左平移w(0<°<〃)個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)的圖

象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求〉=8(］)的單調(diào)增區(qū)間.

［答案］(I)m=V3,n=l.

TT

(n)函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為伏》—乙,女幻,％eZ.

【解析】

試題分析:(1)由題意知/'(x)=a?3=??sin2x+〃cos2x.

廠7T71

=，%sin—+12cos二

根據(jù)的圖象過點(diǎn)《我和浮「得到，66

y=f(x)2),9

4九*4iT

-2=???sin—+?7cos—

a

解得m=JJ：刀=1.

(2)由(1)知：/(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+-).

6

由題意知：g(x)=/(x+9)=2sin(2K+2°+二)，

6

依題意知到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0二).

將其代入I'=g(x)得sin(2。+—)=1?

6

可得0二二，得到g(x)=2sin(2x+f=2cos2x,

62

由2k兀一冗W2x￡2k樂kwZ,得

冗

k:r-^<x<k兀:keZ>

TT

得到y(tǒng)=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為伏乃幻?eZ.

試題解析:(1)由題意知：/(x)=a^=msin2x+ncos2x.

/(x)的圖象過嗚，回和苧-2)

因?yàn)閥=

區(qū).兀71

73=msin—+zicos—

所以《66

_.4%4/r

-2=msin——+ncos——

33

即《

解得m==

(2)由(1)知：/(x)=>/3sin2x+cos2x=2sin(2x+-).

6

由題意知：g(x)=f(x+0)=2sin(2x+2?+：)，

6

設(shè)j=g(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(毛：2),

由題意知：￡+1=1,所以毛=0,

即到點(diǎn)(0J)的距離為1的最高點(diǎn)為(0J).

將其代入J=g(x)得sin(20+;)=1,

6

因?yàn)?v@<；T,所以9=］，

因此g(x)=2sin(2x+-^)=2cos2x>

由1k冗一冗W2xW2k兀:kwZ,得

冗

k冗一^<x<k7T,keZ9

7T

所以，函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞噌區(qū)間為枕;r-9次幻狀eZ.

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(3)與解三角形的交匯

【2015高考湖南，理17】設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA,且8為鈍

角.

71

(1)證明：B-A=~；

2

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

J?9

【答案】(1)詳見解析；(2)(注,3.

28

【解析】

試題分析：(1)利用正弦定理，將條件中的式子等價(jià)變形為sinB=sin(；+H),再結(jié)合條件從而得證；(2)

利用(1)中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將sinX+sinC轉(zhuǎn)化為只與，有關(guān)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的

性質(zhì)即可求解.

試題解析：(1)由a=btanH及正弦定理，得""'=—=sin5=cosA>即sin3=sin(—+J),

cos^4bsin52

父5為鈍角，因此三十Xe(j：笈)，故3=<+乂，即3—4=7；(2)由U)知，C=；T—(X+B)

；r-(2a+m)=不一24>0,Je(0:-),于是sinJ+sinC=sin^-l+sin(--2-4)

■/一

1QTJ5

=sinA+cos2J=-2sin*^4+sin^44-1=-2(sin^4—)*+—,<0<Xv二，0<sinA<—,因此

*<-2(sin由此可知sinX+sinC的取值范圍是

248828

【考點(diǎn)定位】1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識點(diǎn)，屬于中檔題，高考解答

題對三角三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形為主，

難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數(shù)求值問題中，?般運(yùn)用恒等變換，將未

知角變換為一知角求解，在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題時(shí)，一般先運(yùn)用三角恒等變形，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化

為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解，對于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正余弦定理以及面

積公式實(shí)現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小.

【考點(diǎn)分類】

熱點(diǎn)一三角函數(shù)的圖像

1.12015高考山東，理3】要得到函數(shù)y=sin4x—(的圖象，只需要將函數(shù)〉=5吊4》的圖象()

7T7T

(A)向左平移一個(gè)單位(B)向右平移一個(gè)單位

1212

(C)向左平移27T個(gè)單位(D)向右平移勺7T個(gè)單位

33

【答案】B

【解析】因?yàn)槭瑂in4xg；=sin4x—J；，所以要得到函數(shù)］?=sin七一丁；的圖冢，只需將函

7T

數(shù)i：=sin4x的圖象向右平移二個(gè)單位.故選3.

12

【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象變換.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點(diǎn)考查學(xué)生對三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正

確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學(xué)生對所學(xué)知識理解的深度.

2.【2015高考四川，理41下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是()

JI

(A)y=cos(2x+—)(B)y=sin(2x+y)(C)y=sin2x+cos2x(￡>)y=sinx+cosx

【答案】A

277

【解析】對于選項(xiàng)A,因?yàn)閥=—sin2x,T=m=乃，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選A.

【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題不是直接據(jù)條件求結(jié)果，而是從4個(gè)選項(xiàng)中找出符合條件的一項(xiàng)，故一般是逐項(xiàng)檢驗(yàn)，

但這類題常?？刹捎门懦?很明顯，C、D選項(xiàng)中的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而B選項(xiàng)中的函數(shù)

是偶函數(shù)，故均可排除，所以選A.

3.12014全國1高考理第6題】如圖，圖0的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為

射線0A,終邊為射線0P,過點(diǎn)P作直線0A的垂線，垂足為M,將點(diǎn)M到直線0P的距離表示成x的函數(shù)/(x),

則>=/(x)在［0,4］的圖像大致為(

【答案】C

【解析】

試題分析：如圖所不，當(dāng)OWx4—時(shí)，在中，Q1/=。產(chǎn)cosx=cosx.在KrAOJ/D中，JO=

jr

OMsinx=cosxsinx=-sin2x；當(dāng);vx?；r時(shí)，在KzAORl/中，OM=OPcos(^-x)=-cosx,

在火f'Ql/Z)中，MD=OMsin(,T-x)=-cosxsinx=--^sin2x,所以當(dāng)OWXWTT時(shí)，］=f(x)的圖

冢大致為C.

【考點(diǎn)定位】1.解直角三角形；2、三角函數(shù)的圖象.

4.[2015高考湖北，理17]某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)/(x)=4sin(s+0)(°>0,|夕|<,在某一個(gè)周期內(nèi)的

圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

兀3兀

cox^cp0n2兀

22

兀5兀

X

36

Asin?x+(p)05-50

(I)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)/(幻的解

析式；

(II)將y=圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)，(。>0)個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=g(x)的圖

象若y=g(x)圖象的一個(gè)對稱中心為(募，0),求。的最小值.

【答案】(I)/(x)=5sin(2x--)(II)

6;6

【解析】(I)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得.4=5,0=2,。=-1數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表:

0

兀3兀

0冗27

KK7兀5%13

X一兀

12312~612

月sin(0X*o)050—50

且函數(shù)表達(dá)式為/(X)=5sin(2x-4)

TE7T

(II)由(I)知/(x)=5sin(2x—),得g(x)=5sin(2x+2。—).

66

因?yàn)槎?sinx的對稱中心為(譏0),ke1

令2*-2夕4㈤解得x哼后31

由于函數(shù)J=g(x)的圖冢關(guān)于點(diǎn)0)成中心對稱，令今

解得""_事kwZ.由”0可知，當(dāng)彳=1時(shí)，，取得最，卜值之

236

【考點(diǎn)定位】“五點(diǎn)法”畫函數(shù)〃x)=Asin?x+夕)(。＞0,⑷〈,在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象，?:角函數(shù)的平移

變換，三角函數(shù)的性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】“五點(diǎn)法”描圖：

(l)y=sinx的圖象在血2汨上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為：(0,0),(y,l),(n,0),-1),(2兀，0).

Jr37r

(2)y=cosx的圖象在［0,2兀］上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為：(0,1),(―,0),(兀，—1),(——,0),(2n,1).

【方法規(guī)律】

1.用“五點(diǎn)法”作圖應(yīng)抓住四條：①將原函數(shù)化為＞=45足(皿+0)(4＞0,。＞0)或

9JI

y=Acos(m+°)(A〉0,cy＞0)的形式；②求出周期7=二丁；③求出振幅4④列出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)特

殊點(diǎn)，當(dāng)畫出某指定區(qū)間上的圖象時(shí)，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn).

TT

2.y=Asin(3+0)的圖象有無窮多條對稱軸，可由方程加+尹=人乃+萬伏eZ)解出；它還有無窮多個(gè)

對稱中心，它們是圖象與X軸的交點(diǎn)，可由01+9=人乃(AwZ),解得x=-L(〃ez),即其對稱中心

為dk——n—(b0)acz).

CL)

3.相鄰兩對稱軸間的距離為T，相鄰兩對稱中心間的距離也為*

【解題技巧】根據(jù)y=Asm(cox+(p)+k(A＞0,。〉0)的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個(gè)方面來考

慮：

最高占一最低點(diǎn)

(1)4的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即/二＞巴…2取隊(duì)”；

(2)4的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即“=最仙-點(diǎn)';最低點(diǎn);

(3)。的確定：結(jié)合圖象，先求出周期T,然后由7=空(。＞0)來確定3；

CL)

（4）。的確定：法一：代入圖像的最高點(diǎn)坐標(biāo)（x”x）或最低點(diǎn)坐標(biāo)（々，當(dāng)），則如i+e=；TT+2A7T（kwZ）

、3萬、

或如？+9=5+2攵%（攵GZ）,求。值.

,（I）（I）

法二：由函數(shù)y=4sin（"+O）+4最開始與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一一（即令3葉。=0,x=——）確定

（jJ（JL）

如：將函數(shù)〃x）=sx（其中。>0）的圖象向右平移3個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于x=I對稱，則。的

2o

最小值是

46B.&C?D.4

344

【答案】D

【解析】試題分析：將f（x）=5M3x的圖冢向左平移二個(gè)單位，所得圖象關(guān)于尸說明原圖家關(guān)于x

26

=一二"對稱，于是f{―――）=-）=±1>故「"二=k兀+二（依上,w=3j-+—（JJ-G2）,由

333324

于M>0,故當(dāng)片0時(shí)取得最小值2.選。

4

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】研究三角函數(shù)圖像的變換時(shí)，要注意由？=45淪加（4〉0,。〉0）的圖像變換成

y=Asin（（vx+^）（A>0,（y>0）的圖像的變換過程：y=Asin（tax+^）=Asin［（y（x+—）］（A>0,。〉0）的

CD

\（p\

圖像由曠=45出姓（4〉0,啰〉0）的圖像向左（e>0）或向右（°<0）平移吧個(gè)單位長度.

CD

如：【2014浙江高考第4題】為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖像，可以將函數(shù)y=JIsin3x的圖像

()

A.向右平移27F個(gè)單位B.向左平移2n個(gè)單位

44

C.向右平移二7T個(gè)單位D.向左平移上7T個(gè)單位

1212

【答案】D

【解析】y=sin3x+cos3x=J^sin（3x+?）故只需將y=&sin3x向左平移氣個(gè)單位.

4

考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡、圖像平移.

熱點(diǎn)二三角函數(shù)的最值

1.12015高考安徽，理10】已知函數(shù)〃x)=AsinWx+°)(A,口,尹均為正的常數(shù))的最小正周期

27r

為萬，當(dāng)X=1-時(shí)，函數(shù)/(X)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是()

(A)/(2)</(-2)</(0)(B)/(O)</(2)</(-2)

(C)/(-2)</(0)</(2)(D)/(2)</(0)</(-2)

【答案】A

27T2b

【解析】由題意,/(X)=Asiniax+0：l(J>0,ey>0,<p>0)?T=---=—=719所以。:，則

⑷d)

/('x')=Asin(2x+(:?).而當(dāng)x=W時(shí)，2x二^+°=3+2%T慶cZ,解得夕=：+2k兀2cZ.

3326

所以〃x)=Asin2x+/a>0)，則當(dāng)2x+?=:+”，即x.+Ax-Z時(shí),/d)即得最大

值要比較)的大小，只需判斷2：-20與最近的最高點(diǎn)處對稱軸的距離大小，距離越大,

值越小，易知0,2與工比較近，—2與一”比較近，所以，當(dāng)左=0時(shí)，x=~,此時(shí)|0-￥H0.52,

6666

rr《7《7

|2--|=1.47,當(dāng)k=T時(shí)，x=--,此時(shí)一2-(一=)=0.6,所以/(2)v〃-2)</(0),故選A.

666

【考點(diǎn)定位】1.三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用；2.函數(shù)值的大小比較.

【名師點(diǎn)睛】對于三角函數(shù)中比較大小的問題，一般的步驟是：第一步，根據(jù)題中所給的條件寫出三角函

數(shù)解析式，如本題通過周期判斷出口，通過最值判斷出夕，從而得出三角函數(shù)解析式；第二步，需要比較

大小的函數(shù)值代入解析式或者通過函數(shù)圖象進(jìn)行判斷，本題中代入函數(shù)值計(jì)算不太方便，故可以根據(jù)函數(shù)

圖象的特征進(jìn)行判斷即可.

2.【2015高考陜西，理3】如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)

TT

y=3sin(—x+°)+k,據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為()

6

A.5B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】由圖象知：ymin=2,因?yàn)閂min=-3+左，所以-3+欠=2,解得：k=5,所以這段時(shí)間水深的

最大值是=3+左=3+5=8,故選C.

【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于容易題.解題時(shí)一定要抓住市:要字眼“最大

值”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解三角函數(shù)求最值的試題時(shí):我們經(jīng)常使用的是整體法.本題從圖象中可知

sin(菅x+°)=-l時(shí)，y取得最小值，進(jìn)而求出左的值，當(dāng)sin[^x+e]=l時(shí)，y取得最大值.

3.12014全國2高考理第14題】函數(shù)/(x)=sin(x+28)-2sin°cos(x+o)的最大值為.

【答案】1

【解析】由題意知：f(x)=sin(x+2(p)-2sin<pcos(x+(3)=sin[^+(x+<p)]-2sin0cos(x+0)

=sincos(x+^>)+cossinIx+(p)-2sincosIx+<p]-cossin(x+^?)-sin^?cos(x+(p)

=sin[(x+<p)-<?]=sinx,即/(x)=sinx,因?yàn)閤e&,所以f(x)的最大值為1.

【考點(diǎn)】本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的最值的求解，熟練公式是解答好本類題目的

關(guān)鍵.

7T7T

4.12014高考江西理第16題】一知函數(shù)/(元)=5m(1+6)+485(1+2。)，其中QE/?超￡(一于5)

(1)當(dāng)。=啦,。=巳時(shí)，求/(x)在區(qū)間[0,加上的最大值與最小值；

4

7T

⑵若/勺)=0,/(萬)=1,求4,9的值.

歷"=T

【答案】(1)最大值為注，最小值為T.(2)%.

20——

6

【解析】

試題分析：(1)求三角函數(shù)最值，首先將其化為基本三角函數(shù)形式：當(dāng)。=&g=2時(shí)，

4

/(%)=sin(x+?)+后cos(x+y)=*sinx+Y^cosx-V2sinx=sing-x),再結(jié)合基本三角函數(shù)性質(zhì)求最

值：因?yàn)閤€[0/],從而f-xe[-苧,￡],故/(X)在[0,句上的最大值為正，最小值為-L(2)兩個(gè)獨(dú)立

4442

f(-)=0Icos0(\-2asin^)=0冗4

條件求兩個(gè)未知數(shù)，聯(lián)立方程組求解即可.山12，得2asin；e-sin9-a=l'乂夕《瑪苧知

.fw=11osinsina-

a=-\

cos”0,解得工乃.

u=---

6

試題解析：解(1)當(dāng)a==；時(shí)，

fx()=sin(x--V5cos(x-y)=^inx-〈cos工-V2sinx=sin(^--x)

因?yàn)閤e［0用，從而：丁_、4一3丁T片JT］

444

故/(X)在［0,T］上的最大值為《，最小值為-1.

I=-1

/(￡)=0/B.cos^(l-2asin^)=0

(2)由,:又dw(一W)知cost?=0,解得'；K

九二._1仲'26tsin^-sin^-a=l

jm=1?I6

考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)

(方法規(guī)律】求解涉及三角函數(shù)的值域(最值)的題目一般常用以下方法：

(1)利用sinx、cosx的有界性;

(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為尸4sin(ox+0)+4的形式逐步分析。x+0的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫

出函數(shù)的值域：

(3)換元法：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題.

【解題技巧】求三角函數(shù)的最值問題，最主要的題型是：通過三角恒等變形將所給解析式化為

y=Asin?x+勿)+k(A>0,切>0)的形式，再進(jìn)行求解.

①當(dāng)xeH時(shí)，ymax=A+k,ymin=-A+k-,

②當(dāng)xe[a㈤時(shí).，則先求m+e的范圍，再利用正弦函數(shù)y=sinf的圖像寫出函數(shù)y=sin(m+°)的最值,

再進(jìn)一步求解.

如：【2014全國2高考理第14題】函數(shù)/(x)=sin(x+2e)-2sin9cos(x+9)的最大值為..

【答案】1

【解析】由題意知：f(x)=sin(x+2夕)-2sin°cos(x+0)=sin[°+(x+夕)]-2sin0cos(x+(p)

=sin9cos(x+0)+cos夕sin(x+°)—2sin^>cos(x+^)=cos^sin(x+^)-sinQcos(x+°)

sin[(x+(p)-(p]^sinx,即/(x)=sinx,因?yàn)閤eR，所以/(x)的最大值為1.

【考點(diǎn)】本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的最值的求解，熟練公式是解答好本類題目的

關(guān)鍵.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在求函數(shù)的最值時(shí)，一般思路通過三角恒等變換化成y=Asin(雙+0)+%的形式，但不要忽

視變形中的等價(jià)性，如定義域的變化.

如：【河南省安陽一中2015屆高三第一次月考6】函數(shù)》=出匚*土的值域是()

COSX

A.[-4,0]B.[-4,4)C.[-4,0)D.(-4,0]

【答案】D

【解析】

jr工

試題分析：先由cosxx0=XHz)得函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸c出x=再由

I=cos三:一c°sX化簡得I，=Tsin：X,由于XH%r+2.(kez)所以04sin?x<1,從而

cosx2

-4<-4sin:x<0,BP-4<y<0,故選D.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的值域.

熱點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)

1.12015高考新課標(biāo)1,理8】函數(shù)/(x)=cos(3x+°)的部分圖像如圖所示，則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

()

1313

(A)(攵4——,k兀+—),keZ(B)(2ZTT—2k4H—),kGZ

4444

keZ

【答案】D

171

—co+(p=—

A7TTTT

【解析】由五點(diǎn)作圖知，■,解得0?=萬，(p=—,所以/(x)=cos(乃x+—),令

53萬44

—G)+(P=-----

142

2人%<%x+工<2k乃+肛AeZ,解得2k—上vx<2人+±,《wZ,故單調(diào)減區(qū)間為(2k——,2k+~),

44444

k&Z,故選D.

【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=Acos(?yx+e)的圖像與性質(zhì)，先利用五點(diǎn)作圖法列出關(guān)于以夕方程，求

出59,或利用利用圖像先求出周期，用周期公式求出?,利用特殊點(diǎn)求出夕，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

求其單調(diào)遞減區(qū)間，是中檔題，正確求。，夕使解題的關(guān)鍵.

2.12015高考湖南，理9】將函數(shù)/(x)=sin2x的圖像向右平移以0<9<9個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的

圖像，若對滿足|/(X])—g(X2)|=2的X],X2,有ki-々Imin=9，則夕=()

57r_7t?7t7t

A.—B.—C.—D.一

12346

【答案】D.

【解析】

試題分析：向右平移夕個(gè)單位后，得至(Ig(x)=sin(2x-2(?),又『(xJ-gCq)1=2,...不妨

—丁一三

23=；+2左笈，2七一2夕=一;"+2也；r,???演一七=：一夕+(左一次)；1,又丁|毛一工4心=工，

jrjr7T

--0=二=夕=二，故選D.

236

【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題，高考題對于三角函數(shù)的考查，多以

/(x)=Asin(?+e)為背景來考查其性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵：一是會(huì)化簡，熟悉二角恒等變形，對」.

角函數(shù)進(jìn)行化簡；：是會(huì)用性質(zhì)，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性，對稱性，奇偶性等.

3.12015高考上海，理13】已知函數(shù)/(x)=sinx.若存在占,x2,???,x,“滿足0<%<x2<…<x,"W6工，

且|/(須)-/卜2)卜|/(々)-/(演)卜?一+|/(七_(dá)1)-/(/)|=12(m>2,meN*),則m的最小值

為-

【答案】8

【解析】因?yàn)椤▁)=sinx,所以|/(乙)一/(匕)仁/(初皿一/(初檢=2,因此要使得滿足條件

|/(%)一/(超)|+/(馬)一/(七)|+…+/(X.T)一/(%)|=12的m最小,須取

人九■3乃5萬7乃9乃1\n/口r.c

X\=0'X2=萬，覆=—>X4=虧，工5=虧，％=~^X7=~Y^Xi=61,即m=8.

【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)最值與絕對值的綜合，可結(jié)合數(shù)形結(jié)合解決.極端位置的考慮方法是解決非常規(guī)題的

一個(gè)行之有效的方法.

4.【2015高考重慶，理18】已知函數(shù)/(x)=sin［q-x)sinx-Jicos?x

(1)求〃x)的最小正周期和最大值；

(2)討論/(x)在上的單調(diào)性.

【答案】⑴最小正周期為p，最大值為弓旦(2)“X)在崇!|］上單調(diào)遞增；/(x)在店，爭上

單調(diào)遞減.

【解析】

11j/(x)=sin-xsinx-^/3cos:x=cosxsinx-(1+cos2x)

=：sin2x-￡(1+cos2x)=gsin2x-坐cos2x-*=sin(2x-m)-￡

因此f(x)的最小正周期為,7,最大值為三&

㈡當(dāng)工w［工工］時(shí)，有0K2x-1二乃，從而

633

當(dāng)0S2x-14：時(shí)即.4x4蓑時(shí)，f(x)單調(diào)遞噌，

TTTT'亢27F

當(dāng)二￡2萬-三￡『時(shí)即二WxWq時(shí)，/(x)單調(diào)遞減,

23123

綜上可知，/（x）在UTT,357r］上單調(diào)遞增；/（X）在［537r,2絲7r］上單調(diào)遞減.

612123

【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的恒等變換，周期，最值，單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力.

【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式

這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函

數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解，三角函數(shù)的值域、三角函數(shù)的單調(diào)性也可以使用導(dǎo)數(shù)的

方法進(jìn)行研究.

【方法規(guī)律】y-Asin（<ax+（p）>y=Acos（3x+°）、y=Atan（&r+e）的性質(zhì)：

①周期性

函數(shù)尸4sin（Qx+0）和y=4cos（3x+。）的最小正周期為y=tan（ox+。）的最小正周期為7^7.

②奇偶性

三角函數(shù)中奇函數(shù)?般可化為y=/sinox或y=/tana>x,而偶函數(shù)，一般可化為尸力cos。了+6的形式.

③研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、對稱性等問題，要注意整體意識，即將。X+9看作一個(gè)整體.

如：【2015高考北京，理15】已知函數(shù)/（x）=&sin］cos:逝sin￡.

（I）求〃x）的最小正周期；

（II）求“X）在區(qū)間［-兀,0］上的最小值.

【答案】（1）2萬,（2）—1-----

2

【解析】

(I)f(x)=亞sin±cos——V2sin*'=也.-sinx-&1-cosX

2222

⑴/G）的最小正周期為T=半=2兀；

（2）V一然二一三4x+三42，當(dāng)x+2=-2,x=-正時(shí)，/Q）取得最小值為:

44

考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為三角函數(shù)式的恒等變形和三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，要求熟練使用降基公式與輔助角公

式，利用函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)，包括周期、最值、單調(diào)性等.

【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，要求準(zhǔn)確應(yīng)用

降幕公式和輔助角公式進(jìn)行變形，化為標(biāo)準(zhǔn)的y