云南省昆明市鐵路局第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

云南省昆明市鐵路局第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選A.2.如圖是函數(shù)圖象的一部分，對(duì)不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，則（）A．f（x）在上是增函數(shù) B．f（x）在上是減函數(shù)C．f（x）在上是增函數(shù) D．f（x）在上是減函數(shù)參考答案：A【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用圖象得出對(duì)稱軸為：x=整體求解x1+x2=﹣?，，代入即可得出f（x）=2sin（2x）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出不等式+kπ≤x≤+kπ．k∈z．即可判斷答案．【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象得出；A=2，對(duì)稱軸為：x=2sin（x1+x2+?）=2，x1+x2+?=，x1+x2=﹣?，∵，∴2sin（2（﹣?）+?）=．即sin（π﹣?）=，∵|?|，∴∴f（x）=2sin（2x）∵+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈z，∴+kπ≤x≤+kπ．k∈z．故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考察了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是利用圖象得出對(duì)稱軸，最值即可，加強(qiáng)分析能力的運(yùn)用．3.若空間中四條兩兩不同的直線，滿足則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．

B．

C．與既不垂直也不平行

D．與的位置關(guān)系不確定參考答案：D解析:本題考查空間中線線的位置關(guān)系。以正方體為模型，易知和的位置關(guān)系可能有或，故與的位置關(guān)系不確定.故答案為D.4.已知a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B由，則成立，反之：如，則不成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選B．

5.設(shè)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)圖象重合，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.在ΔABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，若則=（

）A.

B.

C.

D.2

參考答案：B7.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B8.設(shè)，若z的最大值為12，則z的最小值為 A．-3 B．-6 C．3 D．6參考答案：B9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2

B．

C.4

D．參考答案：B10.已知直線l：ax﹣y+2=0與圓M：x2+y2﹣4y+3=0的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)C是圓M上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（0，﹣1），的最大值為（）A．12 B．10 C．9 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律；J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由題意，圓M：x2+y2﹣4y+3=0可化為x2+（y﹣2）2=1，利用=|2+|≤|2|+||，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，圓M：x2+y2﹣4y+3=0可化為x2+（y﹣2）2=1．=|2+|≤|2|+||=2×3+4=10，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x+1，則=．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．【分析】利用函數(shù)的周期性先把轉(zhuǎn)化成f（），再利用函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)轉(zhuǎn)化成f（），代入已知求解即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，∴=f（+2）=f（），又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（）=f（），又∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x+1，∴f（）=+1=，則=．故答案為：．12.數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則

．參考答案：略13.已知tanβ＝，sin(α＋β)＝，且α，β∈(0，π)，則sinα的值為

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦、余弦、正切C5∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，

∴0＜α+β＜，

∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，

∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，

∴cos（α+β）=-=-，

∴sinα=sin（α+β-β）=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=×+×=．【思路點(diǎn)撥】求得sinβ和cosβ的值，根據(jù)已知條件判斷出α+β的范圍，進(jìn)而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的兩角和公式求得答案．14.函數(shù)y=的f（x+1）單調(diào)遞減區(qū)間是．參考答案：（﹣∞，0]考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．解答：解：函數(shù)y==，則函數(shù)y==，的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1]，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1]，將函數(shù)f（x）向左平移1個(gè)單位得到f（x+1]，此時(shí)函數(shù)f（x+1）單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0]，故答案為：（﹣∞，0]點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)復(fù)合函數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．15.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y的最大值為．參考答案：0【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（4，2），化目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y為y=，由圖可知，當(dāng)直線y=過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為0．故答案為：0．16.某單位有職工500人，其中青年職工150人，中年職工250人，老年職工100人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本.若樣本中的青年職工為6人，則樣本容量為

.參考答案：17.已知

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知整數(shù)≥4,集合的所有3個(gè)元素的子集記為.（Ⅰ）當(dāng)時(shí),求集合中所有元素之和；（Ⅱ）設(shè)為中的最小元素,設(shè)=,試求.參考答案：（1）解：當(dāng)時(shí)，含元素1的子集有個(gè)，同理含的子集也各有6個(gè),

于是所求元素之和為……………5分

（2）證明:不難得到，并且以1為最小元素的子集有個(gè)，以2為最小元素的子集有個(gè)，以3為最小元素的子集有，…，以為最小元素的子集有個(gè),則………………8分……………………10分

略19.(本小題滿分14分)如圖已知圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為8，三角形是圓錐的一個(gè)軸截面,是上的一點(diǎn)，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐的側(cè)面運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)其運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線如圖所示．將軸截面繞著軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，母線與曲線相交于點(diǎn)．（Ⅰ）若，證明：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．參考答案：解法一：（Ⅰ）證明：∵，∴．…………………1分∵,∴

……………2分又∵，∴平面，…4分又∵平面，∴平面平面，……6分又∵平面，∴平面平面．………………7分（Ⅱ）以為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，OS所在直線為z軸建立如圖（1）所示的空間直角坐標(biāo)系，…………8分則，，將圓錐半側(cè)面圖展開，如圖（2）所示，由已知可求．

……9分又，．，．，在中，．∴點(diǎn)為的中點(diǎn)．……10分如圖（1）面，面面過(guò)作交于，則面，．……11分，．設(shè)平面的法向量為，則解得：……12分取平面的法向量為……13分所求的二面角的余弦值為.……14分

解法二：（I）同解法一；（Ⅱ）與解法一同,得：，．…………11分過(guò)作交于，連結(jié)，∵,,又∵，.則為二面角的平面角.……………13分中，，所求的二面角的余弦值為．…………14分20.已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，全集為實(shí)數(shù)集R（1）求A∪B（2）求（?RA）∩B．參考答案：【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；集合．【分析】（1）根據(jù)集合的并集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．（2）根據(jù)集合的交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）因?yàn)榧螦={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，所以A∪B═{x|2＜x＜10}．（2）?RA={x|x≥7或x＜3}，則（?RA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，根據(jù)集合的交集并集補(bǔ)集的定義是解決本題的關(guān)鍵．21.（本小題滿分12分）在橢圓C：，中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左右焦點(diǎn)A1，A2，B1，B2分別為四個(gè)頂點(diǎn)，已知菱形A1B1A2B2和菱形B1F1B2F2的面?zhèn)€積分別為4和2.（1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A2作兩條互相垂直的直線分別和橢圓交于另一點(diǎn)P，Q，試判斷直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（1）依題意知：，解得，即橢圓.

……5分(2)解法1：由題意知，直線與直線的斜率均存在且不為，設(shè)，,設(shè)直線的方程為：,直線的方程為：由聯(lián)立消去整理可得：，容易知恒成立，所以，由韋達(dá)定理得：，所以，代人可得：，所以，同理可得：,當(dāng)軸時(shí)，，解得，此時(shí)直線方程為，知直線過(guò)點(diǎn)；當(dāng)直線與軸斜交時(shí)，直線的方程為：，化簡(jiǎn)可得：知直線過(guò)定點(diǎn).綜上知,直線恒過(guò)定點(diǎn).

……12分解法2：顯然符合條件的直線存在，且斜率不為，設(shè)直線，，，則由及得

化簡(jiǎn)得

①即依題意，即，代入①得

化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）

此時(shí)直線，過(guò)定點(diǎn)綜上知,直線恒過(guò)定點(diǎn).

……12分解法3：設(shè)直線，則由及得

化簡(jiǎn)得

①即依題意，即

，代入①得

化簡(jiǎn)得，解得或當(dāng)時(shí)，直線，過(guò)點(diǎn)，不合理，舍去；當(dāng)時(shí)，直線，過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線軸時(shí)，易得直線，也過(guò)定點(diǎn).綜上知,直線恒過(guò)定點(diǎn).

……12分22.某商場(chǎng)為了了解顧客的購(gòu)物信息，隨機(jī)在商場(chǎng)收集了100位顧客購(gòu)物的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

一次購(gòu)物款（單位：元）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,+∞)顧客人數(shù)20a3020b

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示100位顧客中購(gòu)物款不低于150元的顧客占30%，該商場(chǎng)每日大約有4000名顧客，為了增加商場(chǎng)銷售額度，對(duì)一次購(gòu)物不低于100元的顧客發(fā)放紀(jì)念品.（Ⅰ）試確定a，b的值，并估計(jì)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量；（Ⅱ）現(xiàn)有4人前去該商場(chǎng)購(gòu)物，求獲得紀(jì)念品的數(shù)量的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考答案：（Ⅰ）由已知，100位顧客中購(gòu)物款不低于150元的顧客有，；