2024年初一下冊數(shù)學專項練習53冪的運算（提高）知識講解

2024年初一下冊數(shù)學專項練習冪的運算（提高）【學習目標】1.掌握正整數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)（同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方）；能用代數(shù)式和文字語言正確地表述這些性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算.【要點梳理】要點一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.要點二、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.要點三、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：要點四、注意事項（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習慣.【典型例題】類型一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)1、計算：(1)；(2)．【答案與解析】解：（1）．（2）．【總結(jié)升華】（1）同底數(shù)冪相乘時，底數(shù)可以是多項式，也可以是單項式．（2）在冪的運算中，經(jīng)常用到以下變形：．類型二、冪的乘方法則2、計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【總結(jié)升華】（1）運用冪的乘方法則進行計算時要注意符號的計算及處理，一定不要將冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆．（2）冪的乘方的法則中的底數(shù)仍可以為單個數(shù)字、字母，也可以是單項式或多項式．3、已知2x=8y+2，9y=3x﹣9，求x+2y的值．【思路點撥】根據(jù)原題所給的條件，列方程組求出x、y的值，然后代入求解．【答案與解析】解：根據(jù)2x=23（y+2），32y=3x﹣9，列方程得：，解得：，則x+2y=11．【總結(jié)升華】本題考查了冪的乘方，解題的關(guān)鍵是靈活運用冪的乘方運算法則．舉一反三：【變式】已知，則＝．【答案】－5；提示：原式∵∴原式＝＝－5.類型三、積的乘方法則4、計算：（1）（2）【思路點撥】利用積的乘方的運算性質(zhì)進行計算.【答案與解析】解：（1）．（2）．【總結(jié)升華】（1）應用積的乘方時，特別注意觀察底數(shù)含有幾個因式，每個因式都分別乘方．（2）注意系數(shù)及系數(shù)符號，對系數(shù)－1不可忽略．舉一反三：【變式1】下列等式正確的個數(shù)是()．①②③④⑤A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】A；提示：只有⑤正確；；；；【變式2】計算：（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2（2）（2）20?（）21．【答案】（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2=a4?9a6＋16a10=9a10＋16a10=25a10；（2）（2）20?（）21．=（×）20?=1×=．5、已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．【思路點撥】根據(jù)積的乘方等于每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，可得已知條件，根據(jù)已知條件，可得計算結(jié)果．【答案與解析】解：原式=4x6m﹣9x2m=4（x2m）3﹣9x2m=4×23﹣9×2=14．【總結(jié)升華】本題考查了冪的乘方與積得乘方，先由積的乘方得出已知條件是解題關(guān)鍵．同底數(shù)冪的除法【學習目標】1.會用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)進行計算．2.掌握零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義．3．掌握科學記數(shù)法．【要點梳理】要點一、同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）要點詮釋：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是單項式或多項式.要點二、零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（≠0）要點詮釋：底數(shù)不能為0，無意義.任何一個常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項也叫0次單項式.要點三、負整數(shù)指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的（為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù)，即（≠0，是正整數(shù)）.引進了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴大到了全體整數(shù)，以前所學的冪的運算性質(zhì)仍然成立.（、為整數(shù)，）；（為整數(shù)，，）（、為整數(shù)，）.要點詮釋：是的倒數(shù)，可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如（），（）.要點四、科學記數(shù)法的一般形式（1）把一個絕對值大于10的數(shù)表示成的形式，其中是正整數(shù)，（2）利用10的負整數(shù)次冪表示一些絕對值較小的數(shù)，即的形式，其中是正整數(shù)，.用以上兩種形式表示數(shù)的方法，叫做科學記數(shù)法.【典型例題】類型一、同底數(shù)冪的除法 1、計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【思路點撥】利用同底數(shù)冪相除的法則計算．(2)、(4)兩小題要注意符號．【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【總結(jié)升華】（1）運用法則進行計算的關(guān)鍵是看底數(shù)是否相同．（2）運算中單項式的系數(shù)包括它前面的符號．2、計算下列各題：（1）（2）（3）（4）【思路點撥】（1）若被除式、除式的底數(shù)互為相反數(shù)時，先將底數(shù)變?yōu)橄嗤讛?shù)再計算，盡可能地去變偶次冪的底數(shù)，如．（2）注意指數(shù)為1的多項式．如的指數(shù)為1，而不是0．【答案與解析】解：（1）．（2）（3）．（4）．【總結(jié)升華】底數(shù)都是單項式或多項式，把底數(shù)作一個整體利用同底數(shù)冪的除法法則進行計算．3、已知，，求的值．【答案與解析】解：．當，時，原式．【總結(jié)升華】逆用同底數(shù)除法公式，設(shè)法把所求式轉(zhuǎn)化成只含，的式子，再代入求值．本題是把除式寫成了分數(shù)的形式，為了便于觀察和計算，我們可以把它再寫成除式的形式．舉一反三：【變式】已知以=2，=4，=32．則的值為．【答案】解：==8，==16，=?÷=8×16÷32=4，故答案為：4．類型二、負整數(shù)次冪的運算4、計算：（1）；（2）．【答案與解析】解：（1）；（2）．【總結(jié)升華】要正確理解負整數(shù)指數(shù)冪的意義．舉一反三：【變式】計算：．【答案】解：5、已知，，則的值＝________．【答案與解析】解：∵，∴．∵，，∴，．∴．【總結(jié)升華】先將變形為底數(shù)為3的冪，，，然后確定、的值，最后代值求．舉一反三：【變式】計算：（1）；（2）；【答案】解：（1）原式．（2）原式．類型三、科學記數(shù)法6、觀察下列計算過程：（1）∵÷=，÷==，∴=（2）當a≠0時，∵÷===，÷==，=,由此可歸納出規(guī)律是：=（a≠0，P為正整數(shù)）請運用上述規(guī)律解決下列問題：（1）填空：=；=．（2）用科學記數(shù)法：3×=．（寫成小數(shù)形式）（3）把0.00000002寫成如（2）的科學記數(shù)法的形式是：．【答案與解析】解：（1）=；==；（2）3×=0.0003，（3）0.00000002=2×．【總結(jié)升華】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．整式的乘法（基礎(chǔ)）【學習目標】1.會進行單項式的乘法,單項式與多項式的乘法,多項式的乘法計算．2.掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律簡化運算.【要點梳理】要點一、單項式的乘法法則單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.要點二、單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.要點三、多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.【典型例題】類型一、單項式與單項式相乘 1、計算：（1）；（2）；（3）．【思路點撥】前兩個題只要按單項式乘法法則運算即可，第（3）題應把與分別看作一個整體，那么此題也屬于單項式乘法，可以按單項式乘法法則計算．【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．【總結(jié)升華】凡是在單項式里出現(xiàn)過的字母，在其結(jié)果里也應全都有，不能漏掉．舉一反三：【變式】（2014?甘肅模擬）計算：2m2?（﹣2mn）?（﹣m2n3）．【答案】解：2m2?（﹣2mn）?（﹣m2n3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m2×mn×m2n3）=2m5n4．類型二、單項式與多項式相乘2、計算：（1）；（2）；（3）；【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．【總結(jié)升華】計算時，符號的確定是關(guān)鍵，可把單項式前和多項式前的“＋”或“－”號看作性質(zhì)符號，把單項式乘以多項式的結(jié)果用“＋”號連結(jié)，最后寫成省略加號的代數(shù)和．舉一反三：【變式1】．【答案】解：原式．【變式2】若為自然數(shù)，試說明整式的值一定是3的倍數(shù)．【答案】解：＝因為3能被3整除，所以整式的值一定是3的倍數(shù)．類型三、多項式與多項式相乘3、計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【總結(jié)升華】多項式乘以多項式時須把一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，剛開始時要嚴格按法則寫出全部過程，以熟悉解題步驟，計算時要注意的是：（1）每一項的符號不能弄錯；（2）不能漏乘任何一項．4、（2016春?長春校級期末）若（x+a）（x+2）=x2﹣5x+b，則a+b的值是多少？【思路點撥】根