高等數(shù)學(xué)上冊(cè)教案

高等數(shù)學(xué)教案一、課程的性質(zhì)與任務(wù)高等數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個(gè)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課，通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，也是該專(zhuān)業(yè)的核心課程。要使學(xué)生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無(wú)窮級(jí)數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運(yùn)算；同時(shí)要通過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力。在傳授知識(shí)的同時(shí)，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)、興趣和能力。第一章：函數(shù)與極限教學(xué)目的與要求18學(xué)時(shí)1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8.理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型。10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。第一節(jié)：映射與函數(shù)一、集合集合概念具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素1)2)元素與集合的關(guān)系：一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱(chēng)為有限集；不是有限集的集合稱(chēng)為無(wú)限集。常見(jiàn)的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+元素與集合的關(guān)系：A、B是兩個(gè)集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱(chēng)A是B的子集，記作。如果集合A與集合B互為子集，則稱(chēng)A與B相等，記作若作且則稱(chēng)A是B的真子集?？占杭系倪\(yùn)算并集：交集：差集：全集I、E補(bǔ)集：集合的并、交、余運(yùn)算滿(mǎn)足下列法則：交換律、結(jié)合律、分配律對(duì)偶律(笛卡兒積A×B區(qū)間和鄰域開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間半開(kāi)半閉區(qū)間有限、無(wú)限區(qū)間鄰域：a鄰域的中心鄰域的半徑去心鄰域左、右鄰域二、映射映射概念定義設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則，使得對(duì)X中的每一個(gè)元素，按法則，在Y中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)為從X到Y(jié)的映射，記作其中稱(chēng)為元素的像，并記作，即注意：1）集合X；集合Y；對(duì)應(yīng)法則2）每個(gè)X有唯一的像；每個(gè)Y的原像不唯一3)單射、滿(mǎn)射、雙射映射、復(fù)合映射三、函數(shù)函數(shù)的概念：定義：設(shè)數(shù)集，則稱(chēng)映射為定義在D上的函數(shù)記為自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值用、、函數(shù)相等：定義域、對(duì)應(yīng)法則相等自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２2)ｙ＝3)符號(hào)函數(shù)4)取整函數(shù)（階梯曲線）5)分段函數(shù)函數(shù)的幾種特性函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無(wú)界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點(diǎn)比較函數(shù)值與的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ(chēng)、與關(guān)系決定)圖形特點(diǎn)(關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對(duì)稱(chēng))4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)：函數(shù)是單射，則有逆映射，稱(chēng)此映射為函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)復(fù)合函數(shù)：函數(shù)定義域?yàn)镈1，函數(shù)在D上有定義、且。則為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)函數(shù)的運(yùn)算和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運(yùn)算)初等函數(shù)：1)冪函數(shù)：2)指數(shù)函數(shù)：3)對(duì)數(shù)函數(shù) 4)三角函數(shù)5)反三角函數(shù)，以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)6)雙曲函數(shù)注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。雙曲函數(shù)公式反雙曲函數(shù)：作業(yè)：同步練習(xí)冊(cè)練習(xí)一第二節(jié)：數(shù)列的極限一、數(shù)列數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。1）這個(gè)序列中的每個(gè)數(shù)都編了號(hào)。2）序列中有無(wú)限多個(gè)成員。一般寫(xiě)成：縮寫(xiě)為例1數(shù)列是這樣一個(gè)數(shù)列，其中，也可寫(xiě)為：可發(fā)現(xiàn)：這個(gè)數(shù)列有個(gè)趨勢(shì)，數(shù)值越來(lái)越小，無(wú)限接近0，記為極限的定義：則稱(chēng)數(shù)列的極限為，記成也可等價(jià)表述：1）2）極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢(shì)，因此與數(shù)列中某個(gè)、前幾個(gè)的值沒(méi)有關(guān)系。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1：如果數(shù)列收斂，那么它的極限是唯一定理2如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界定理3：如果且a>0(a<0)那么存在正整數(shù)N>0，當(dāng)n>N時(shí)，定理4、如果數(shù)列收斂于a那么它的任一子數(shù)列也收斂,且收斂于a。第三節(jié)：函數(shù)的極限一、極限的定義1、在點(diǎn)的極限1）可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及在有沒(méi)有定義，以及函數(shù)值的大小。只要滿(mǎn)足：存在某個(gè)使：。2）如果自變量趨于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值有一個(gè)總趨勢(shì)-----以某個(gè)實(shí)數(shù)為極限，則記為：。形式定義為：注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系2、的極限設(shè)：如果當(dāng)時(shí)函數(shù)值有一個(gè)總趨勢(shì)------該曲線有一條水平漸近線-----則稱(chēng)函數(shù)在無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)有極限。記為：在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的左右極限：關(guān)系為：二、函數(shù)極限的性質(zhì)極限的唯一性函數(shù)極限的局部有界性函數(shù)極限的局部保號(hào)性函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系第四節(jié)：無(wú)窮小與無(wú)窮大一、無(wú)窮小定義定義：對(duì)一個(gè)數(shù)列，如果成立如下的命題：則稱(chēng)它為無(wú)窮小量，即注：1、的意義；2、可寫(xiě)成；3、上述命題可翻譯成：對(duì)于任意小的正數(shù)，存在一個(gè)號(hào)碼N，使在這個(gè)號(hào)碼以后的所有的號(hào)碼，相應(yīng)的與極限0的距離比這個(gè)給定的還小。它是我們?cè)谥庇^上對(duì)于一個(gè)數(shù)列趨于0的認(rèn)識(shí)。定理1在自變量的同一變化過(guò)程（或中，函數(shù)具有極限A的充分必要條件是，其中是無(wú)窮小。二、無(wú)窮大定義一個(gè)數(shù)列，如果成立：那么稱(chēng)它為無(wú)窮大量。記成：。特別地，如果，則稱(chēng)為正無(wú)窮大，記成特別地，如果，則稱(chēng)為負(fù)無(wú)窮大，記成注：無(wú)法區(qū)分正負(fù)無(wú)窮大時(shí)就籠統(tǒng)地稱(chēng)之為無(wú)窮大量。三、無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系定理2在自變量的同一變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮大，則為無(wú)窮?。环粗?，如果為無(wú)窮小，且則為無(wú)窮大即：非零的無(wú)窮小量與無(wú)窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)時(shí)：有注意是在自變量的同一個(gè)變化過(guò)程中第五節(jié)：極限運(yùn)算法則1、無(wú)窮小的性質(zhì)設(shè)和是無(wú)窮小量于是：（1）兩個(gè)無(wú)窮小量的和差也是無(wú)窮小量：（2）對(duì)于任意常數(shù)C，數(shù)列也是無(wú)窮小量：（3）也是無(wú)窮小量，兩個(gè)無(wú)窮小量的積是一個(gè)無(wú)窮小量。（4）也是無(wú)窮小量：（5）無(wú)窮小與有界函數(shù)的積為無(wú)窮小。2、函數(shù)極限的四則運(yùn)算若函數(shù)和在點(diǎn)有極限，則函數(shù)在點(diǎn)有極限，則對(duì)任何常數(shù)成立3、若函數(shù)和在點(diǎn)有極限，則若函數(shù)和在點(diǎn)有極限，并且，則極限的四則運(yùn)算成立的條件是若函數(shù)和在點(diǎn)有極限例：求下述極限復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理6設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與復(fù)合而成，在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，，且存在，當(dāng)時(shí)，有，則第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限定理1夾逼定理：三數(shù)列、和，如果從某個(gè)號(hào)碼起成立：1），并且已知和收斂，2），則有結(jié)論：定理2單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。例：證明：例：證明：有界。求的極限第七節(jié)：無(wú)窮小的比較定義：若為無(wú)窮小且高階、低階、同階、 k階、等價(jià)～若為等價(jià)無(wú)窮小則若～、～且存在，則：例：第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值、左極限與右極限三者相等：或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)有極限且此極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值。其形式定義如下：函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點(diǎn)都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時(shí)注意端點(diǎn)。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點(diǎn))連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線二、間斷點(diǎn)若：中有某一個(gè)等式不成立，就間斷，分為：第一類(lèi)間斷點(diǎn)：可去型：但跳躍型：即函數(shù)在點(diǎn)的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個(gè)跳躍。2、第二類(lèi)間斷點(diǎn)：左極限與右極限兩者之中至少有一個(gè)不存在（無(wú)窮型間斷點(diǎn)和振蕩型間斷點(diǎn)）例：見(jiàn)教材第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算1.且，2且，3.且，反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)的，則存在它的反函數(shù)：并且也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)的。注：1）反函數(shù)的定義域就是原來(lái)的值域。2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：設(shè)函數(shù)和滿(mǎn)足復(fù)合條件，若函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)；，又若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號(hào)與函數(shù)符號(hào)的交換：從這些基本初等函數(shù)出,通過(guò)若干次四則運(yùn)算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大、最小值設(shè)函數(shù)：在上有界，現(xiàn)在問(wèn)在值域中是否有一個(gè)最大的實(shí)數(shù)？如果存在，譬如說(shuō)它是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，則記叫做函數(shù)在D上的最大值。類(lèi)似地，如果中有一個(gè)最小實(shí)數(shù)，譬如說(shuō)它是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，則記稱(chēng)為函數(shù)在上的最小值。二、有界性有界性定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上有界。三、零點(diǎn)、介值定理最大值和最小值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)則它在上有最大值和最小值，也就是說(shuō)存在兩個(gè)點(diǎn)和，使得亦即若x0使，則稱(chēng)x0為函數(shù)的零點(diǎn)零點(diǎn)定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)異號(hào)：則至少有一個(gè)零點(diǎn)，使中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個(gè)中間值。作業(yè)：見(jiàn)課后各章節(jié)練習(xí)。導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的與要求22學(xué)時(shí)理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、導(dǎo)數(shù)概念（）1、定義 左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)∴ 可以證明： 可導(dǎo)→連續(xù)。即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件。連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。左右導(dǎo)數(shù)(注：與左右極限關(guān)系)2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線 在點(diǎn)處切線：例1：討論在x=0處可導(dǎo)性解：∵ 在x=0連續(xù) 不存在 ∴在x=0不可導(dǎo)例2：已知存在則 =例3：設(shè)函數(shù)可微，則例4：設(shè) 為使在x=x0處可導(dǎo)，應(yīng)如何選取常數(shù)a、b解：首先必須在x0連續(xù)∴ ①（由①得）（由①得）∵存在 ∴ 從而例5：=x(x-1)(x-2)……(x-9),則∵例6：設(shè)在x=0領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，，則∵ （分母→0）∴例7：設(shè)函數(shù)f(1+x)=af(x)，且 (a,b≠0)，問(wèn)存在否?解：二、導(dǎo)數(shù)的求法1、顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)求一個(gè)顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需解決：①基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)(P64);②導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則(P65);③復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則(P66)。定理：在X有導(dǎo)數(shù)，在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在X處也有導(dǎo)數(shù)，。例1： 求解：例2： 求解： 例3： 求解：例4： 求解：例5： 求解：例6： 求解：例7： 求解： 例8： 求解：例9： 求解：高階導(dǎo)數(shù)、二階：例10： ， 求解：先講微分（后頁(yè)）2、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)如方程F(x，y)=0確定了y=y(x)，只需方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，注意y=y(x)例10：求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）設(shè) 求解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，（2）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求解：由原方程知當(dāng)x=0時(shí)，，方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)。，將x=0，代入得： ∴(3)是由方程所確定的隱函數(shù),試求,。解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)： ①方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)： ②由原方程知，當(dāng)時(shí)，，代入①得再將，，代入②式，得 (4)設(shè) 求解：(5)設(shè)是由方程組所確定的函數(shù)，求：。解：3、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)求：解：當(dāng)∴不存在，故高階導(dǎo)數(shù)（n階）略，例 2)設(shè)在（）上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，對(duì)函數(shù) (1)確定的值，使在（）上連續(xù)(2)對(duì)（1）中確定的，證明在（）上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)解：①即當(dāng)在連續(xù)，也就是在（）連續(xù)②而在連續(xù),即在連續(xù)三、微分一階微分形式不變 （自變量）如 (中間變量)例：，，可導(dǎo) 可微第三章微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的與要求1掌握并會(huì)應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。了解方程近似解的二分法及切線法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒級(jí)數(shù)中講）羅爾定理如滿(mǎn)足：（1）在連續(xù).（2）在可導(dǎo).（3）則至少存在一點(diǎn)使例設(shè)，則在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，方程有2個(gè)實(shí)根；在（-1，1）內(nèi)有2個(gè)根例設(shè)在[0，1]可導(dǎo)，且，證明存在，使。證：設(shè)在[a,b]可導(dǎo)，∴存在使即例設(shè)在[0，1]可導(dǎo)，且,證明存在。解:設(shè)，且由羅爾定理存在使即，亦即例習(xí)題6設(shè)（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）拉格朗日中值定理如滿(mǎn)足：=1\*GB3①在[a,b]連續(xù)；=2\*GB3②在（a,b）連續(xù)，則存在使。推論：=1\*GB2⑴如果在區(qū)間I上，則=2\*GB2⑵如果在區(qū)間I上，在Ｉ單增（減）例對(duì)任意滿(mǎn)足的x，都有設(shè)∵∴∵∴例設(shè)，證明求導(dǎo)證明作業(yè)：見(jiàn)各章節(jié)課后習(xí)題。二、洛必達(dá)法則未定形：如下的函數(shù)極限都是未定形。1、型：如：型：2、型：如：3、型：如：4、型：如：5、型：如：6、型：如：7、型：如：它們的計(jì)算不能用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，且它們只表示類(lèi)型，沒(méi)有具體意義。1、（）型的洛必達(dá)法則(同理)定理：對(duì)函數(shù)和，如果：（1）,（2）在某個(gè)鄰域內(nèi)（后）有導(dǎo)數(shù)和，且；（3）存在（或無(wú)窮），則成立：=例：1)2)3)例：1)2)3)(>0)3、其它類(lèi)型1)2)3)4)解法同3）例：1)2)3)4)三、泰勒公式一、多項(xiàng)式：在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)：得：二、泰勒中值定理：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開(kāi)區(qū)間有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一有：1、（N階泰勒公式）稱(chēng)為余項(xiàng)。（1）（在與之間）拉格朗日型余項(xiàng)（2）皮亞諾余項(xiàng)。2、當(dāng)?shù)名溈藙诹止剑喝⒊Ｒ?jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)1)2)3)四、函數(shù)的性態(tài)1、極值1）定義：如在鄰域內(nèi)，恒有，，則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)極大（?。┲怠？赡軜O值點(diǎn)，不存在的點(diǎn)與的點(diǎn)。（駐點(diǎn)）駐點(diǎn)←極值點(diǎn)2）判別方法ⅰ、導(dǎo)數(shù)變號(hào)。極小值極大值ⅱ、，極小值極大值設(shè)滿(mǎn)足關(guān)系式，且,，則在點(diǎn)處AA、取得極大值 B、取得最小值 C、在某鄰域內(nèi)單增 D、在某鄰域內(nèi)單減例2．已知函數(shù)對(duì)一切滿(mǎn)足如，，則A是的極小值 B、是的極大值C、是曲線的拐點(diǎn) D、不是的極值，也不是曲線的拐點(diǎn)。設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，，，則是的極大值。2、函數(shù)的最大值與最小值（1）求出內(nèi)可能的極值點(diǎn)，不需判別極大還是極小，求出它們的函數(shù)值，再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的（?。樽畲螅ㄐ。┲?。（2）在內(nèi)可能極值點(diǎn)唯一，如是極小值則為最小值；如是極大值則為最大值。（3）如分別為最小,最大值。（4）實(shí)際問(wèn)題據(jù)題意可不判別。在拋物線上的第一象限部分求一點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作切線，使該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小。解：設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為即 ∴三角形面積： ，令 （唯一） ∴故為所求點(diǎn)3、曲線的凹凸、拐點(diǎn)及漸近線在I上可導(dǎo)如則曲線是凹（凸）的,在連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)?？赡艿墓拯c(diǎn) 和 不存在的點(diǎn)設(shè)，試討論的性態(tài)。x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+∞)y’+0-間斷+0+y’’----0+y單調(diào)增上凸極大值單減上凸單增上凸拐點(diǎn)(1,0)單增下凸?jié)u近線 如 則稱(chēng)為水平漸近線 如 則稱(chēng)為垂直漸近線漸近線可能沒(méi)有，或多條。例2、 求 漸近線 （斜漸近線不討論）解：∵∴為水平漸近線∵∴垂直漸近線曲線的漸近線有4條4 證明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函數(shù)單調(diào)性；（3）利用最值；（4）引入輔助函數(shù)把常值不等式變成函數(shù)不等式；（5）利用函數(shù)凹凸性；（6）利用泰勒公式。當(dāng)，試即證：證：設(shè) ，在連續(xù)，可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理即∴例2、設(shè)，證明證：設(shè) 單增，當(dāng) ∴設(shè)單增，當(dāng)∴例3、當(dāng) 證明 證：令 令得 駐點(diǎn)唯一，∵∴極小 ∴為最小值即當(dāng)證明證:設(shè)令,駐點(diǎn)唯一當(dāng),→在上最大值為,最小值為∴設(shè)，證明證明：即證設(shè) ，時(shí)∴單減當(dāng)即設(shè)在上可導(dǎo)，且單調(diào)減，證明：，。證：令∵單調(diào)減，，∴，即單調(diào)減，即作業(yè)：見(jiàn)課后習(xí)題第四章不定積分教學(xué)目的與要求1．理解原函數(shù)概念、不定積分和定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。一、一元函數(shù)積分的概念、性質(zhì)與基本定理1、原函數(shù)、不定積分在區(qū)間Ⅰ上，如，稱(chēng)為的導(dǎo)函數(shù)，稱(chēng)為的原函數(shù)，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是一種互逆關(guān)系。如為的一個(gè)原函數(shù)，則為的全體原函數(shù)。記為，即=不定積積分性質(zhì)(1) 或 (2) (3) (4)∵原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有互逆關(guān)系,∴由導(dǎo)數(shù)表可得積分表。例、 已知是的一個(gè)原函數(shù)，求：解：例、的導(dǎo)函數(shù)是，則的原函數(shù)，(、為任意常數(shù))例、在下列等式中，正確的結(jié)果是CA、 B、C、 D、例、2、計(jì)算方法10換元法第一類(lèi)換元法（湊微分法）常用湊微分形式 例：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、解：20、解：21、22、設(shè)，則二．第二換元法定理2除了湊微分法外其它常用變量代換(1)被積函數(shù)中含有二次根式，令，令，令如是配方1例1、 令1xt解：原式xt例2、 二種解法（2）被積函數(shù)中含一般根式例3、 解：令原式例4、 令 原式例5、解：令原式20分部積分<定理> 如、均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則例1、例2、例3、例4、例5、例6、例7、例8、例9、例10、例11、30有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分方法：→真分式→部分分式部分分式：其中：確定常數(shù)的值；再積分。例：1)2)3)4)5)解：令 令∴6) 40三角有理式積分令 7、 8、9、設(shè)的原函數(shù)恒正，且，當(dāng)，有，求解：由 得C=1∴∴例：1)2)3)4)5)作業(yè)：見(jiàn)課后習(xí)題第五章定積分的概念教學(xué)目的與要求：解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。3．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。一、定義及性質(zhì)<定義>：，注意(1)積分區(qū)間有限，被積函數(shù)有界；(2)與“分法”、“取法”無(wú)關(guān)；(3)定積分的值與積分變量的選取無(wú)關(guān)；(4)在有界是在可積的必要條件，在連續(xù)是在可積的充分條件。<幾何意義>：在幾何上表示介于，，，之間各部分面積的代數(shù)和。補(bǔ)充規(guī)定 <性質(zhì)> 性質(zhì)（1）—（9）（1---7省略）其中(8)為估計(jì)定理：在，，則(9)中值定理：如在連續(xù)，，使 例1．利用定積分幾何意義，求定積分值上式表示介于,,,之間面積例2、（估計(jì)積分值）證明證：在上最大值為，最小值為2∴∴二、基本定理牛頓—萊伯尼茲公式10變上限積分基本定理：設(shè)在連續(xù)，為上任意一點(diǎn)，則是可導(dǎo)函數(shù)，且即 說(shuō)明為的一個(gè)原函數(shù)。例3、已知,,,,，求：解：例4、例5、有極大值的點(diǎn)為DA.B.C.D.例6、如,則BA.B.C.D.設(shè)在上連續(xù)，且,證明：若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)。證：20定積分計(jì)算牛頓萊伯尼茲公式<定理>設(shè)在連續(xù)。為在上的任意一個(gè)原函數(shù)，則有定積分換元法與分部積分法30奇偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間積分性質(zhì)，周期函數(shù)積分性質(zhì)(1)在連續(xù)，當(dāng)為偶數(shù)，則當(dāng)為奇函數(shù)，則(2)，以T為周期說(shuō)明在任何長(zhǎng)度為T(mén)的區(qū)間上的積分值是相等的。例9、原式例10、 例11、例12、設(shè) 則A、 B、 C、 D、例13、 法一設(shè) 法二 設(shè) 原式例14、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且求解：設(shè) 則兩邊積分 ∴例15、(、在連續(xù)，且 求、的表達(dá)式。答案： )例16、設(shè) ，求解： 令 (∵) ∴ 例17、設(shè) 求解： 例18、已知在上二階可導(dǎo)，且，及求 解：原式 例19、設(shè)在連續(xù)證明：證：右邊=例20、設(shè) 求解： 例21、設(shè)連續(xù)，，且求，并討論在處連續(xù)性解： 得 令 ∴∴在連續(xù)即在連續(xù)例22、試證方程 在內(nèi)有且僅有一實(shí)根證：設(shè) 在連續(xù)且：由介值定理 ，使 F(ζ)=0 即F(x)=0有根又∵，單增 ∴根唯一例23、設(shè)在，連續(xù)試證：內(nèi)至少一點(diǎn)，使證：設(shè)則在可導(dǎo)中值中值在上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件∴至少存在一點(diǎn)ζ，使即 亦即例24、例25： 設(shè)在連續(xù)，可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)，有證：在單調(diào)減， 故 作業(yè)：各章節(jié)課后習(xí)題。第六章定積分應(yīng)用1平面圖形面積(ⅰ)直角坐標(biāo)：例1：求拋物線及其點(diǎn)和處的切線所圍成圖形的面積解：在點(diǎn)處，，切線方程 在點(diǎn)處，，切線方程 得交點(diǎn)（ii）極坐標(biāo)例2、求由曲線所圍圖形公共部分的面積解：兩曲線的交點(diǎn)+2旋轉(zhuǎn)體體積由所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的立體體積，由所圍平面圖形繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積例3、過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積解：設(shè)切點(diǎn)為切線方程切點(diǎn)在切線上，（3,1）0123∴（3,1）0123 ，∴切線方程：30平面曲線弧長(zhǎng)(1)曲線：(2)(3)例求下類(lèi)平面曲線的弧長(zhǎng)曲線相應(yīng)于的一段心形線的全長(zhǎng)擺線的一拱解：1.2.3.40向變力沿直線作功,液體的水壓力作業(yè)見(jiàn)課后練習(xí)第七章空間解析幾何教學(xué)目的與要求14學(xué)時(shí)解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。掌握平面方程和直線方程及其求法。會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程10向量及其線性運(yùn)算 向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向單位向量、零向量向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算向量的加法、減法滿(mǎn)足：交換律、結(jié)合律。平行四邊形、三角形法。向量的數(shù)乘滿(mǎn)足：結(jié)合律、分配律兩向量平行的充要條件：空間直角坐標(biāo)系(右手坐標(biāo)系)利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)向量表示對(duì)應(yīng)坐標(biāo)運(yùn)算。例：書(shū)上例題。向量的模、方向角投影1）的模與兩點(diǎn)間的距離公式。例4：方向角與方向余弦例：例7、8向量在軸上的投影1)