四川省成都市溫江第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

四川省成都市溫江第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若集合則“”是“”的（

）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：A2.已知集合，，則A∩B=（

）A.{1,2} B.{1,4} C.{2,4} D.{3,4}參考答案：B【分析】先化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選B.【點(diǎn)睛】研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.3.設(shè)是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】由題意結(jié)合向量共線的性質(zhì)分類(lèi)討論充分性和必要性是否成立即可.【詳解】存實(shí)數(shù)，使得，說(shuō)明向量共線，當(dāng)同向時(shí)，成立，當(dāng)反向時(shí)，不成立，所以，充分性不成立.當(dāng)成立時(shí)，有同向，存在實(shí)數(shù)，使得成立，必要性成立，即“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的必要而不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線的充分條件與必要條件，向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4.（5分）定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C．D．參考答案：D由定義運(yùn)算，知函數(shù)=，作出分段函數(shù)的圖象如圖，故選D．5.已知圓的方程圓心坐標(biāo)為(5,0)，則它的半徑為（

）A．3

B． C．5

D．4參考答案：D6.已知函數(shù)，在區(qū)間[1，2）上為單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是

（

）

A．m≤1或m≥2

B．1≤m<2

C．ｍ≥2

Ｄ．m≤1參考答案：A7.，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的最小值為

A．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：A略8.四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛(ài)好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示，盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為，，，，則它們的大小關(guān)系正確的是參考答案：C9.與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A．B．C．D．參考答案：C略10.已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），對(duì)任意的c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），則k的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為：＞，對(duì)于x＞1恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x?求導(dǎo)數(shù)判斷，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)判斷方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可選擇答案．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），對(duì)任意的c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，對(duì)于x＞1恒成立．設(shè)h（x）=x?，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值為3．故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若雙曲線的焦距為4，則__________；離心率__________．參考答案：

【分析】易得c=2，=1，由，可得的值，可得離心率.【詳解】解：由題意得：2c=4,c=2,且，由，可得，，故答案：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)及離心率的相關(guān)知識(shí)，相對(duì)簡(jiǎn)單.12.若關(guān)于，的不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則的值為

.

參考答案：313.曲線有一條切線與直線平行，則此切線方程為_(kāi)______參考答案：

14.圓心在直線上的圓C與軸交于兩點(diǎn)、，則圓C的方程為_(kāi)_________.參考答案：

直線AB的中垂線方程為，代入，得，故圓心的坐標(biāo)為，再由兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，∴圓C的方程為15.若動(dòng)直線與函數(shù)的圖象分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．參考答案：2略16.若，則

▲

．參考答案：1略17.已知函數(shù)若，則a=

．參考答案：或三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且是與的等比中項(xiàng)，前項(xiàng)和為.數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和滿足（為常數(shù)，且）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及的值；（2）令求證：.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；不等式的證明；數(shù)列求和。D2D4【答案解析】(1)，（2）見(jiàn)解析解析：（1）

---------------2分

----------------4分（2）

----------------8分

----------------9分當(dāng)時(shí)

----------------10分當(dāng)時(shí)

----------------12分【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意列出方程組解出即可；（2）先利用裂項(xiàng)法求出，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式證明.19.二次函數(shù)滿足，且.(1）求的解析式；(2）在區(qū)間上，圖象恒在直線上方，試確定實(shí)數(shù)取值范圍.參考答案：（1）由，可設(shè)故由題意得，，解得；故(2）由題意得，

即對(duì)恒成立設(shè)，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為又在上遞減，故，故

20.已知為等差數(shù)列，且，，等比數(shù)列滿足，。求的通項(xiàng)公式和的前n項(xiàng)和公式參考答案：解：設(shè)等差數(shù)列的公差。

因?yàn)?/p>

所以

解得

…………4分所以

…………5分

設(shè)等比數(shù)列的公比為

因?yàn)?/p>

所以

即=3

………8分所以的前項(xiàng)和公式為

………10分21.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=，n∈N*．（1）令bn=an+1﹣an，證明：{bn}是等比數(shù)列；（2）求{an}的通項(xiàng)公式．參考答案：考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定；數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）先令n=1求出b1，然后當(dāng)n≥2時(shí)，求出an+1的通項(xiàng)代入到bn中化簡(jiǎn)可得{bn}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列得證；（2）由（1）找出bn的通項(xiàng)公式，當(dāng)n≥2時(shí)，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）代入并利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出即可得到an的通項(xiàng)，然后n=1檢驗(yàn)也符合，所以n∈N，an都成立．解答： 解：（1）證b1=a2﹣a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，所以{bn}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）解由（1）知，當(dāng)n≥2時(shí)，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+==1+[1﹣（﹣）n﹣1]=，當(dāng)n=1時(shí)，．所以．點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)確定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，會(huì)利用數(shù)列的遞推式的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．以及會(huì)利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值．22.（本小題滿分14分）如圖1，在直角梯形中，，，，.把沿對(duì)角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．(I)

求證：平面平面；(II)求直線與平面所成角的正弦值；(III)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解：（I）因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上

所以平面，所以

…1分因?yàn)樵谥苯翘菪沃?，，，?/p>

所以，，所以是等邊三角形，

所以是中點(diǎn)，

…2分所以

…3分同理可證又所以平面

…5分（II）在平面內(nèi)過(guò)作的垂線如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，

…6分

因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為因?yàn)椋杂?，即，令則

所以