考向04 基本不等式及應(yīng)用（重點(diǎn)）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題（新高考地區(qū)專用）

考向04基本不等式及應(yīng)用（2021·全國(guó)高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】橢圓上的點(diǎn)與橢圓的兩焦點(diǎn)的距離問題，常常從橢圓的定義入手，注意基本不等式得靈活運(yùn)用，或者記住定理：兩正數(shù)，和一定相等時(shí)及最大，積一定，相等時(shí)和最小，也可快速求解.1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始范圍.注意：形如的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等．1．重要不等式當(dāng)a、b是任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．2．基本不等式當(dāng)a>0，b>0時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．3．基本不等式與最值已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值．(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值．【知識(shí)拓展】常用推論：（1）（）（2）（，）；（3）1．（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知，，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值22．（2021·山東煙臺(tái)市·高三其他模擬）（多選題）下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，，則C．若，則D．若，，，則的最小值為33．（2020·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高三其他模擬（文））若直線（，）被圓截得弦長(zhǎng)為，則的最小值是（）A． B． C． D．4．（2020·安徽高三其他模擬（文））在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若(4b-c)cosA=acosC，且，則ABC的周長(zhǎng)的取值范圍___________.1．（2021·北京高三二模）某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)s(萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t(年數(shù)，)的關(guān)系為，要使年平均利潤(rùn)最大，則每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的年數(shù)t為（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2021·重慶高三三模）(多選題)已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（）A．的最大值為2 B．的最小值為4C．的最小值為3 D．的最小值為3．（2021·普寧市第二中學(xué)高三其他模擬）（多選題）已知，則下列選項(xiàng)一定正確的是（）A． B．的最大值為C． D．4．（2021·全國(guó)高三其他模擬）（多選題）已知，，則下列說法正確的是（）A．最小值為B．若，則的最小值為C．若，則的最小值為D．若，則的最小值為5．（2021·江蘇揚(yáng)州市·揚(yáng)州中學(xué)高三其他模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值等于______．6．（2021·河北衡水市·高三其他模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為___________.7．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三其他模擬）已知都為正實(shí)數(shù)，則的最小值為___________．8．（2021·黑龍江大慶市·鐵人中學(xué)高三三模（理））《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門步有樹，出南門步能見到此樹，則該小城的周長(zhǎng)的最小值為（注：里步）________里.9．（2021·浙江高三其他模擬）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_______；的最小值為__.10．（2021·海南高三其他模擬）若，，且，則的最小值是___________，當(dāng)且僅當(dāng)___________時(shí)，取得最值.11．（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模擬）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑公園，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字型地域，計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為4200元，在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元，再在四個(gè)空角(圖中四個(gè)三角形)上鋪草坪，造價(jià)為80元.設(shè)總造價(jià)為(單位：元)，長(zhǎng)為(單位：).的最小值是___________，此時(shí)的值是___________.1．（2021·浙江高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2021·全國(guó)高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．3．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A．4 B．8 C．16 D．324．（2020·天津高考真題）已知，且，則的最小值為_________．5．（2020·江蘇高考真題）已知，則的最小值是_______．6．（2019·上海高考真題）如圖，已知正方形，其中，函數(shù)交于點(diǎn)，函數(shù)交于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，則的值為_______7．（2019·天津高考真題（理））設(shè)，則的最小值為______.8．（2020·全國(guó)高考真題（文））設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．1．【答案】A【分析】根據(jù)已知，結(jié)合基本不等式分別判斷選項(xiàng)即可，但需注意取最值時(shí)的條件.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．【答案】ACD【分析】對(duì)選項(xiàng)A，利用不等式性質(zhì)即可判斷A正確；對(duì)選項(xiàng)B，利用特值法即可判斷B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，利用基本不等式性質(zhì)求解即可；對(duì)選項(xiàng)D，首先根據(jù)題意得到，從而得到，再展開利用基本不等式求解即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)?，，，設(shè)，，，則，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào).故D正確.故選：ACD3．【答案】A【分析】根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，以及圓的半徑為2，可知直線過圓心，即，，根據(jù)此特點(diǎn)，可選擇基本不等式求出最小值.【詳解】直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，圓的半徑為,圓心為直線過圓心，故，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，最小值為9.故選：A【點(diǎn)睛】理解題意，直線與圓相交后弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形，以及由，求的最小值聯(lián)想用基本不等式求最值.4．【答案】【分析】先根據(jù)正弦定理將已知條件邊化角，求出，然后利用余弦定理及均值不等式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理得，即，又，，所以，由余弦定理得，即，又(b=c時(shí)等號(hào)成立)，所以b+c，，，所以ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用余弦定理得邊后，結(jié)合均值不等式建立不等關(guān)系，從而求出b+c，最后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊求解.1．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出年平均利潤(rùn)函數(shù)。利用均值不等式求最值.【詳解】因?yàn)槊颗_(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)s(萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t(年數(shù)，)的關(guān)系為，所以年平均利潤(rùn)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即年平均利潤(rùn)最大，則每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的年數(shù)t為8，故選：D2．【答案】ABD【分析】對(duì)條件進(jìn)行變形，利用不等式的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，即，故的最大值為2，A正確；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值4，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，D正確．故選：ABD．3．【答案】BD【分析】依題意得出的取值范圍，由此可得的范圍，即可判斷A的正誤；利用基本不等式可判斷B、C的正誤；根據(jù)基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)即可判斷D的正誤.【詳解】因?yàn)?，所以，所?對(duì)于A：由可得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)取最大值，此時(shí)，此時(shí)兩次取等號(hào)條件不一致，故，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．4．【答案】BC【分析】選項(xiàng)A.設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，得出單調(diào)性，可判斷；選項(xiàng)B.先將展開先利用均值不等式放縮再配方，然后利用均值不等式可判斷；選項(xiàng)C由得，代入由均值不等式可判斷；選項(xiàng)D.由兩邊同時(shí)乘以結(jié)合均值不等式可得答案.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，而不為定值，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故B正確.對(duì)于C，由得，由，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確.對(duì)于D，由得，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選:BC.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，這時(shí)改用勾型函數(shù)的單調(diào)性求最值.5．【答案】1【分析】由題意利用基本不等式可得，由此求得的最大值．【詳解】正實(shí)數(shù)，滿足，即，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），∴，即，則的最大值等于1，故答案為：1．6．【答案】【分析】設(shè)BD與AE的交點(diǎn)為O，結(jié)合比例關(guān)系可求出，得出，則可代換為，結(jié)合三點(diǎn)共線性質(zhì)得，原式代換為，再結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】如圖，設(shè)BD與AE的交點(diǎn)為O，則由，得，所以，所以.由點(diǎn)O，F(xiàn)，B共線，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量三點(diǎn)共線性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式求最值，屬于中檔題7．【答案】【分析】化簡(jiǎn)，由基本不等式得，再代入原式得，判斷相等條件后即可得最小值.【詳解】，因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上所述，當(dāng)時(shí)，取最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵在于分別利用兩次基本不等式，根據(jù)“一正二定三相等”的原則判斷最小值.8．【答案】【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而可得出，結(jié)合基本不等式求的最小值即可.【詳解】因?yàn)槔锊?，由圖可知，步里，步里，，則，且，所以，，所以，，則，所以，該小城的周長(zhǎng)為（里）.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.9．【答案】9【分析】第一空將化為，然后利用均值不等式即可求出結(jié)果；第二空利用柯西不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，由柯西不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以有.故答案為：9；.10．【答案】8【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)；故答案為：，11．【答案】118000【分析】根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式，然后化簡(jiǎn)整理，再利用均值不等式即可求解.【詳解】由題意，，又，有當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)，最小且最小值為故答案為：，【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三個(gè)必須滿足的條件：1.一正：各項(xiàng)必須均為正數(shù)；2.二定：求和的最小值時(shí)必須把構(gòu)成的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；求積的最大值時(shí)，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化為定值；3.三相等：利用均值不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值.1．【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個(gè)代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.2．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．3．【答案】B【分析】因?yàn)椋傻秒p曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.4．【答案】4【分析】根