初數(shù)浙教版九年級上冊圓 專項復習1公開課

初數(shù)浙教版九上圓專項復習（困難版）

一、單選題

1.（2017九上?東臺月考）如圖，半圓O的直徑AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分NBAC,則AD長（）

A.4V5cmB.3有cmC.5V5cmD.4cm

2.（2019?梧州）如圖，在半徑為V13的。O中，弦AB與CD交于點E,NDEB=75。，AB=6,AE=1,則

CD的長是（）

A.2V6B.2V10C.2VT1D.4V3

3.（2017九上?臺州月考）如圖，30中,弦AB、CD相交于點P,若NA=30。,3APD=70°,則NB等于（）

4.（2017?黃石）如圖，已知。。為四邊形ABCD的外接圓，。為圓心，若NBCD=120。，AB=AD=2,則。0

的半徑長為（）

5.（2016?泰安）如圖，AABC內接于AB是。O的直徑，ZB=30°,CE平分NACB交。。于E,交AB

于點D,連接AE,則SAADE：SACDB的值等于（）

A.1：V2B.1：V3C,1：2D,2：3

6.（2019?溫州）如圖，在矩形ABCD中，E為AB中點，以BE為邊作正方形BEFG,邊EF交CD于點H,在

邊BE上取點M使BM=BC,作MNIIBG交CD于點L,交FG于點N.歐兒里得在《幾何原本》中利用該

圖解釋了（a+b）（a-6）=a2—〃.現(xiàn)以點F為圓心，F(xiàn)E為半徑作圓弧交線段DH于點P,連結EP,記

△EPH的面積為Si,圖中陰影部分的面積為S2.若點A,L,G在同一直線上，則的值為（）

S2

IB

E

D

A*B.史V2D.立

2346

7.（2018?臺州）如圖，等邊三角形ABC邊長是定值，點。是它的外心，過點。任意作一條直線分別交

AB,BC于點、D,E,將ABDE沿直線DE折疊，得到AB'DE,若B'D,B7E分別交

AC于點F,G,連接。F,OG,則下列判斷錯誤的是（）

A.AADF=ACGEB.Z1B7FG的周長是一個定值

C.四邊形FOEC的面積是一個定值D.四邊形OGBzF的面積是一個定值

8.如圖所示是某公園為迎接"中國--南亞博覽會”設置的一休閑區(qū).NAOB=90。，弧AB的半徑0A長是6

米，C是0A的中點，點D在弧AB上，CDII0B,則圖中休閑區(qū)（陰影部分）的面積是（）

A.（10兀一竽）米2B.（”等）米,

C.僅兀-竽）米2D.（6兀-9回米2

9.（2019八下?義烏期末）己知正方形ABCD的邊長為2,點E為正方形所在平面內一點，滿足NAED=90。,

連接CE,若點F是CE的中點，則BF的最小值為（）

A.2B.?-1C.”二D.2V3

22,

10.（2016?桂林）如圖，在RtAAOB中,ZAOB=90°,0A=3,0B=2,將RtAAOB繞點。順時針旋轉90。后

得R3F0E,將線段EF繞點E逆時針旋轉90。后得線段ED,分別以0,E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧

AF和弧DF,連接AD,則圖中陰影部分面積是（）

A.nB.—C.3+nD.8-n

4

二、填空題

11.（2019?溫州）如圖，。。分別切NBAC的兩邊AB,AC于點E,F,點P在優(yōu)弧向上.若NBAC=66。,

則NEPF等于度.

c,

D

12.（2019?嘉興）如圖，在。0中，弦4B=1，點C在AB上移動，連結OC,過點C作CD_LOC交。O

于點D,則CD的最大值為

13.（2017?紹興）如圖，一塊含45。角的直角三角板，它的一個銳角頂點A在。O上，邊AB,AC分別與

交于點D,E.則NDOE的度數(shù)為—.

14.如圖，0A在X軸上，0B在y軸上，0A=8,AB=10,點C在邊0A上，AC=2,。P的圓心P在線段BC上,

且OP與邊AB,A。都相切.若反比例函數(shù)H（2的圖象經(jīng)過圓心P,則匕一

15.（2018?寧波）如圖，正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點，P是BC邊上的動點，連結PM,以點

P為圓心，PM長為半徑作。P.當。P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為。

16.如圖，半徑為5的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線b,然后把半圓沿直線b進行無滑動滾動,

使半圓的直徑與直線b重合為止，則圓心0運動路徑的長度等于—.

三、綜合題

17.（2017?荊門）已知：如圖，在△ABC中，ZC=90",NBAC的平分線AD交BC于點D,過點D作DE_LAD

（2）若AC=3,BC=4,求BE的長.

18.（20當衢州）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,以AC為直徑作。。交BC于點D,過點D作DE_LAB,

垂足為E.

（1）求證：DE是。O的切線.

（2）若DE=，NC=30°,求AD的長。

19.（2018?臺州）如圖，AABC是。。的內接三角形，點。在北上，點、E在弦AB上（E不與

A重合），且四邊形BDCE為菱形.

(1)求證：AC=CE；

(2)求證：BC2-AC2=AB-AC；

(3)已知O。的半徑為3.

①若=|)求8c的長；

②當察為何值時，AB-AC的值最大？

20.如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標

為(2,0),BC=6,NBCD=60°,點E是AB上一點，AE=3EB,OP過D,0,C三點，拋物線y=ax?+bx+c

過點D,B,C三點.

(2)求證：ED是。P的切線；

(3)若將△ADE繞點D逆時針旋轉90°,E點的對應點E，會落在拋物線y=ax2+bx+c上嗎？請說明理由；

(4)若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形為平行四

邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

答案解析部分

一、單選題

1.【答案】A

【考點】勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，角平分線的定義

【解析】【解答】連接BC,BD,0D,且0D交BC于點E,

AB為直徑，

ZADB=ZACB=90°,

又丫AD平分NBAC,

ZCAD=ZBAD,

弧CD=MBD,

.OD垂直平分BC,

即E為BC中點，

在RtAACB中,

■/AB=10cm,AC=6cm,

BC=VXB2—>lC2=8cm,

OE=-AC=3,BE=-BC=4,

22

DE=OD-OE=5-3=2,

???在RtABDE中，BD=VBF2+D￡2=2V5,

在RtAADB中，AD=VB712-D52=4V5，

故答案為：A.

【分析】連接BC,BD,OD,且OD交BC于點E,根據(jù)直徑所對的圓周角為90。得出NADB=NACB=9O。，由

AD平分NBAC得出NCAD=NBAD,由圓周角定理得出弧CD=MBD,再根據(jù)垂徑定理得出OD垂直平分BC；

在ACB中，由勾股定理得出BC=8cm,從而求出OE=3,BE=4,DE=2,在RtABDE和在ADB中，由

勾股定理分別求出BD=2V5,AD=4V5.

2.【答案】C

【考點】含30。角的直角三角形，勾股定理，垂徑定理，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：過點。作OFLCD于點F,OGLAB于G,連接OB、OD,OE如圖所示：

-1

貝IjDF=CF,AG=BG=-AB=3,

EG=AG-AE=2,

在RtABOG中，OG=VOB2-BG2=V13-9=2,

EG=OG,

.〔AEOG是等腰直角三角形，

ZOEG=45°,0E=V20G=2企，

ZDEB=75°,

ZOEF=30°,

0F=10E=V2，

在RtAODF中，DF=VOD2-OF2="3-2=VT1，

：.CD=2DF=2Vil。

故答案為：Co

【分析】過點。作OF_LCD于點F,OG_LAB于G,連接OB、OD,0E如圖所示：根據(jù)垂徑定理得出DF

=CF,AG=BG=|AB=3,進而根據(jù)線段的和差得出EG的長，在RtABOG中，根據(jù)勾股定理得出0G的

長，然后判斷出△EOG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得出NOEG=45。，0E=企0G=

2V2,根據(jù)角的和差算出NOEF=30。，根據(jù)含30。角的直角三角的邊之間的關系得出OF的長，最后在

RtAODF中由勾股定理算出DF的長，從而即可得出答案。

3.【答案】C

【考點】圓周角定理

【解析】【解答】NA=30。,NAPD=70°,

ZC=ZAPD-ZA=40°,

ZB與NC是弧AD所對的圓周角，

ZB=NC=40°.

故答案為：C.

【分析】此題考查了圓周角定理與三角形外角的性質，解題的關鍵在于掌握：在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對的圓周角相等這個定理的應用.

4.【答案】D

【考點】圓內接四邊形的性質

【解析】【解答】解：連接BD,作OELAD,連接0D,

,/OO為四邊形ABCD的外接圓，ZBCD=12O°,

ZBAD=60°.

?/AD=AB=2,

A△ABD是等邊三角形.

..DECADE,NODE屋NADB=30。,

故選D.

【分析】連接BD,作OELAD,連接OD,先由圓內接四邊形的性質求出NBAD的度數(shù)，再由AD=AB可得

出△ABD是等邊三角形，則DE=|AD,ZODE=|NADB=30。，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結論.

5.【答案】D

【考點】圓周角定理，相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：

???AB是。O的直徑,

ZACB=90°,

,/ZB=30°,

ACV3

一=—9

BC3

CE平分NACB交。。于E,

AC_AD_y/3

BC~BD~3’

■■-AD=vfeAB'BD=磊AB

過C作CE_LAB于E,連接OE,

CE平分NACB交。。于E,

AA

AE=DE，

OE±AB,

0E=-AB,CE=叵AB,

24

SAADE：SACDB=(-AD?OE)：(-BD?CE)=(-x-^-AB--AB)：(-X^-AB-—AB)=2：3.

222遮+322V3+34

故選D.

【分析】由AB是。O的直徑，得到NACB=90。，根據(jù)已知條件得到竺=如，根據(jù)三角形的角平分線定理

BC3

得至!］踐=竺=如，求出AD=/-AB,BD=萼AB,過C作CE_LAB于E,連接0E,由CE平分NACB

BCBD3V3+3V3+3

交。。于E,得到OELAB,求出。E=；AB,CE=如AB,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論.本題考查

24

了圓周角定理，三角形的角平分線定理，三角形的面積的計算，直角三角形的性質，正確作出輔助線是

解題的關鍵.

6.【答案】C

【考點】扇形面積的計算，相似三角形的性質

【解析】【解答】解：因為A、L、G共線，LEIIGB,得?=*n上=竽na=36,則S2=a?一

(JDADCLNd

b2=8爐，在RtAFHP中有PH=Va2-b2=V9b2-b2=2近b=gPHxEH=｝義2五bx

…=2"9富*。

故答案為：Co

【分析】本題關鍵是求出a、b的關系，把未知量化歸統(tǒng)一，A、L、G共線，利用平行線對應線段成比例的

性質列式可求a=3b。大正方形面積減小正方形面積即是陰影部分面積。運用勾股定理求出PH,則AEPH

也易求出。分別求出面積相比則比值可求。

7.【答案】D

【考點】全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，三角形的外接圓與外心

【解析】【解答】解：A、連結OA、0C,

???點0是等邊三角形ABC的外心，

A0平分NBAC,

.?.點0至IjAB、AC的距離相等，

由折疊得：DO平分NBDB，，

.?.點0到AB、DB，的距離相等，

.?.點0到DB1、AC的距離相等，

F0平分NDFG,

ZDFO=ZOFG=-(ZFAD+ZADF),

2

1

由折疊得：NBDE=ZODF=-（ZDAF+ZAFD）,

ZOFD+ZODF=i（ZFAD+ZADF+ZDAF+ZAFD）=120°,

2

ZDOF=60°,

同理可得NEOG=60°,

/.ZFOG=60°=ZDOF=ZEOG,

△DOFM△GOFM△GOE

/.OD=OG,OE=OF,

ZOGF=ZODF=ZODB,ZOFG=ZOEG=ZOEB,

/.△OAD合△OCG,AOAFM△OCE,

/.AD=CG,AF=CE,

/.△ADF合△CGE.

故A不符合題意；

B、,/△DOF至△GOa△GOE,

DF=GF=GE,

/.△ADF合△B'GFg△CGE,

/.B'G=AD,

「.△B'FG的周長-FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值）,

故B不符合題意；

1、

C、S四邊形FOEC=SAOCF+SAOCE=SAOCF+SAOAF=SAAOC=-SAABC（定值），

故c不符合題意；

D、S四邊形OGB'F=SAOFG+SAB'GF=SAOFD+SAADF=S四邊形OFAD=SAOAD+SAOAF=SAOCG+SAOAF=SAOAC-SAOFG,

過點O作OH_LAC于H,

SAOFG=1,FG-OH,

由于OH是定值，F(xiàn)G變化，故AOFG的面積變化，從而四邊形OGB'F的面積也變化。

故D符合題意。

故答案為：D

【分析】A、根據(jù)等邊三角形ABC的外心的性質可知，AO平分NBAC,根據(jù)角平分線的定理和逆定理得：

FO平分NDFG,由外角的性質可證明NDOF=60。，同理可得NEOG=60。，ZFOG=60°=ZDOF=ZEOG,可證

B|ADOFV△GOFV△GOE,AOADM△OCG,AOAF^△OCE,可得AD=CG,AF=CE,從而得△ADFV△CGE；

B、根據(jù)△DO0AGOFVAGOE,得DF=GF=GE,所以△AD04B'G四△CGE,可得結論；

C、根據(jù)S四邊形FOEC=SAOCF+SAOCE,依次換成面積相等的三角形，可得結論為：SAAOC=|SAABC（定值），據(jù)

此判斷；

D、方法同C,將S四邊形OGB'F=SAOAC-SAOFG,根據(jù)SAOFG=|-FG-OH,FG變化，故△OFG的面積變化，從而四

邊形OGB下的面積也變化，據(jù)此判斷；

8.【答案】C

【考點】平行線的性質，勾股定理，扇形面積的計算，銳角三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【解答】如圖：

?.,弧AB的半徑0A長是6米，C是0A的中點，，AC=0C=T0A=3米.

?/ZAOB=90°,CDIIOB,/.CD±OA.

在RtAOCD中，0D=6,0C=3,CD=7OD2一。。2=3百米.

???sin^DOC=器=孚上NDOC=60。.

2

S陰影=S扇形ACD-SAOCD=60著6_1x3x3遍=6兀一挈（米）?

36。zz

故選C.

，分協(xié)」先根據(jù)半徑0A長是6米，C是0A的中點可知OC§OA=3米，再在RtAOCD中，利用勾股定理

求出CD的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出NDOC的度數(shù)，由S陰影=S扇形AOD-SADOC即可得出結論.

9.【答案】C

【考點】勾股定理，正方形的性質，圓周角定理

【解析】【解答】解：如圖，連接B0,作OHLBC,

以D為原點，以DC與DA為坐標軸建立直角坐標系，

設E點坐標為（m,n）,F點坐標為（x,y）,

則A點坐標為（0,2）,B點坐標為（2,2）,C點坐標為（2,0）,

F點坐標為（等，得等=x*=y,

/.m=2x-2,n=2y;

zAED=90°,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得E點在以AB為直徑的半圓上,

x,y滿足，(m-0尸+(11)2=1(04X41),即(2x-2尸+(2丫-］尸=1,

則(x-1)2+(后)2三，x、y在以(1,b為圓心，以［為半徑的圓上,

24Zz

連接BO交O。于F,BF的最小值是BF,

BO=y/BH2+OH2=Jl+(2-|尸=孚，

貝iBF/=BO—F'0=

2

故答案為：C.

【分析】連接BO,作OH±BC,先求出E點軌跡方程，設F點坐標，根據(jù)中點坐標公式把F點坐標用E點

坐標表示，得出F點軌跡也是圓，則BF最短點為B點連接圓心交圓于一點的F,構造直角三角形，用勾股

定理求出OB,則BF可求。

10.【答案】D

【考點】扇形面積的計算，旋轉的性質

【解析】【解答】解：作DHLAE于H,

?/ZAOB=90°,OA=3,OB=2,

AB=VOX2+OB2=V13,

由旋轉的性質可知，0E=0B=2,DE=EF=AB=V13,ADHE合△BOA,

DH=OB=2,

陰影部分面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積-扇形DEF的面積

1(-r1rr90X7TX3290X71X13

-x5x2+-x2x3+-----------

22360360

=8-n,

故選：D.

D

【分析】作DHLAE于H,根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)陰影部分面積=△ADE的面積+AEOF的面積+扇形

AOF的面積-扇形DEF的面積、利用扇形面積公式計算即可.本題考查的是扇形面積的計算、旋轉的性質、

全等三角形的性質，掌握扇形的面積公式毆嘿和旋轉的性質是解題的關鍵.

二、填空題

11.【答案】57

【考點】圓周角定理，切線的性質

【解析】【解答】連接OF、0E,

c

D

EB

AB,AC為切線，,OE1AB,OF1AC，故ZFOE=360°-90°-90°-66°=114°,故

ZFPE=^ZFOE=57°°?故答案為：57。

【分析】連接切點是常作的輔助線，同弧所對的圓周角是其圓心角的一半。

12.【答案】1

【考點】垂線段最短，垂徑定理

【解析】【解答】解：如圖，

B(D)

?.?在ACOD中，0D的長一定，要使CD最長，則0C最短，OC_LCD

A過點0作OC±AB于點C,則點D與點B重合

,??？?為嗎X1=|

故答案為：|

【分析】利用垂線段最短，可知RtACOD中，0D的長一定，要使CD最長，則0C最短，因此過點。作

OC±AB于點C,則點D與點B重合，利用垂徑定理，就可求出CD的最大值。

13.【答案】900

【考點】圓心角、弧、弦的關系

【解析】【解答】解：NDAE與NDOE在同一個圓中，且所對的弧都是ETE,

則NDOE=2ZDAE=2x45°=90°.

故答案為90。.

【分析】運用圓周角與圓心角的關系即可解答.

14.【答案】-5

【考點】一次函數(shù)的圖象，切線的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

【解析】【解答】作PD_LOA于D,PE_LAB于E,作CH_LAB于H,如圖，設。P的半徑為r,；。P與邊

AB,A0都相切，,PD=PE=r,AD=AE,

在RtAOAB中，；OA=8,AB=10,OB=JIO2_g2=6,AC=2,=OC=6,二△OBC為等腰直角三角形,

PCD為等腰直角三角形，

=PD=CD=r,AE=AD=2+r,丫NCAH=NBAO,△ACH-△ABO,二祟=空,即竺=與，解得

(JDAD610

AH=〃c2_推=

r

10-(2+r)

842RFPF--6

BH=10-|=普■：PEIICH,:&BEP-ABHC,.,.黑=笠即--解得r=l,

onCH4525

：.OD=OC-CD=6-1=5,/.P(5,-1),

k=5x(-1)=-5.故答案為：-5

【分析】作PDJ_OA于D,PE_LAB于E,作CH_LAB于H,如圖，設。P的半徑為r,根據(jù)切線的性質和切

線長定理得到PD=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理計算出OB=6,則可判斷△OBC為等腰直角三角形，從

而得到△PCD為等腰直角三角形，則PD=CD=r,AE=AD=2+r,通過證明△ACH-AABO,利用相似比計算

出CHq,接著利用勾股定理計算出AH],所以BH=10[號,然后證明△BEH-△BHC,利用

r

10—(2+7)-

相似比得到即一分一，■6

-解得r=l,從而易得P點坐標，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求

5

T

出k的值.

15.【答案】3或4V3

【考點】正方形的性質，切線的性質

【解析】【解答】解：①如圖1,當。P與邊CD相切時，切點為C,

PM=PC=R,

是AB的中點，正方形ABCD的邊長為8,

BM=4,BP=8-R,

在RtAPBM中，

PM2=PB2+BM2,

即R2=(8-R)2+42,

解得：R=5,

BP=8-R=8-5=3.

②如圖2,當當。P與邊AD相切時，設切點為K,連結PK,

PK±AD,

四邊形ABPK為矩形,

PK=PM=8,

.：M是AB的中點，正方形ABCD的邊長為8,

BM=4,

在RtAPBM中，

PM2=PB2+BM2,

即82=PB2+42,

解得：PB=4V3，

綜上所述：PB的長度為3或4V3.

故答案為：3或48.

【分析】①如圖1,當。P與邊CD相切時，切點為C,根據(jù)切線和正方形的性質得PM=PC=R,BM=4,BP=8-R,

在RtAPBM中，根據(jù)勾股定理即可得

R2=(8-R)2+42,解之即可得R,從而求得BP；

②如圖2,當當。P與邊AD相切時，設切點為K,連結PK,根據(jù)切線的性質得PKLAD,由矩形判定和性質

得PK=PM=8,在RtAPBM中，根據(jù)勾股定理即可得82=PB?+42,解之即可得PB長.

16.【答案】5n

【考點】弧長的計算，旋轉的性質

【解析】【解答】由圖形可知，圓心先向前走的長度，從。到。1的運動軌跡是一條直線，長度為J圓

的周長，

然后沿著弧0102旋轉)圓的周長，

則圓心。運動路徑的長度為：!x2nx5+|x2nx5=5n,

44

故答案為：5H.

Or

【分析】根據(jù)題意得出球在無滑動旋轉中通過的路程為:圓弧，根據(jù)弧長公式求出弧長即可.

三、綜合題

17.【答案】（1）證明：連接0D,如圖所示.

在RtAADE中，點。為AE的中心，

DO=AO=EO=-AE,

2

.,.點D在。。上，且NDAO二NADO.

又「AD平分NCAB,

/.ZCAD=ZDAO,

/.ZADO=ZCAD,

/.ACIIDO.

,/ZC=90°,

/.ZODB=90°,即OD_LBC.

又丁OD為半徑，

BC是。0的切線

(2)解：二,在Rt^ACB中，AC=3,BC=4,

AB=5.

設OD=r,貝!JB0=5-r.

?/ODIIAC,

/.△BDO?△BCA,

DOBOr5-r

..—=—，RBnP-=—，

ACBA35

解得：r=v，

o

155

/.BE=AB-AE=5--=-

44

【考點】切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質

【解析】【分析】（1）連接0D,由AE為直徑、DE_LAD可得出點D在。0上且NDAO=NADO,根據(jù)AD

平分NCAB可得出NCAD=NDAO=NADO,由"內錯角相等，兩直線平行”可得出ACIIDO,再結合NC=90。

即可得出NODB=90。，進而即可證出BC是。。的切線；（2）在RtAACB中，利用勾股定理可求出AB的長

度，設OD=r,則B0=5-r,由ODIIAC可得出器=震，代入數(shù)據(jù)即可求出r值，再根據(jù)BE=AB-AE即

ACBA

可求出BE的長度.

18.【答案】（1）證明：如圖，連結0D.

?/OC=OD,AB=AC,

/.Z1=ZC,ZC=ZB,

Z1=ZB,

DE±AB,

/.Z2+ZB=90°,

/.Z2+Z1=90°,

:ZODE=90°,

?DE為。0的切線.

（2）解：連結AD,「AC為。O的直徑.

:ZADC=90°.

???AB=AC,

/.ZB=ZC=30°,BD=CD,

NAOD=60°.

DE=V3，

BD=CD=2V3，

.,.002,...6分

…60r2

??AD=—nx2=-n

1803

【考點】圓周角定理，切線的判定，弧長的計算

【解析】【分析】（1）連結0D,根據(jù)等腰三角形性質和等量代換得NyNB,由垂直定義和三角形內角

和定理得N2+NB=90。，等量代換得N2+N1=90。，由平角定義得NDOE=90。，從而可得證.（2）連結AD,

由圓周角定理得NADC=90°,根據(jù)等腰三角形性質和三角形外角性質可得NAOD=60。,在RtADEB中，由直

角三角形性質得BD=CD=2b，在RtAADC中，由直角三角形性質得0A=0C=2,再由弧長公式計算即可

求得答案.

19.【答案】（1）證明：；四邊形BDCE為菱形，

/.CD=CE,ZCBD=ZCBE,

/.CD=AC,

AC=CE.

(2)證明：如圖1,過點C作CFLAB交于點F,

AC=CE,AF=EF.在RtABCF和RtAACF中,BC2=BF2+CF2,AC2=AF2+CF2,

.BC2-AC2=BF2-AF2=(BF+AF)(BF-AF)=AB-BE,

???四邊形BDCE是菱形，BE=CE=AC,

BC2-AC2=AB-AC.

(3)解：①,：*=|，可設AB=5k,BE=AC=3k,則AE=AB-BE=2k,AF=k.

在RtAACF中，cosZA=—=—=-.

AC3k3

-i

如圖2,連接CO并延長交。。與點G,連接BG,則NG=NA,則cosNG=§,

CG是直徑，

:?&BCG是直角三角形，

1

CG=6,cosZG=-BG=2,

3

BC=VCG2-BG2=V36-4=4A/2.

②如圖2,設篝=771，其中m>l,AC=a,則AB=ma,AE=ma-a,AF=與=/ma—a),

在RtAAFC中，coszA=竺=如°F=1,

ACa2')

在RtABCG中，CG=6,cosZG=cosZA=-(m—1),

1

BG=CG-cosZG=6--(m-1)=3m-3,

BC2=CG2-BG2=36-(3m-3)2,

由(2)得BC2=AB-AC+AC2=ma2+a2,

36—(3m—3)2=ma2+a2，.-9(m+1)(3—m)=a2(m+1),

又「m+1W0,/.a2—9(3—m).

273

22=

/.AB-AC=ma=9m(3-m)=-9m+27m.當m=~2x(-_9^~時，-9m2+27m的值最大.0<BG<6,/.0<3(m-l)

<6,：l<m<3..,.當m=|時，ABAC的值最大，即,=|時，ABAC的值最大.

【考點】等腰三角形的判定與性質，勾股定理，菱形的性質，圓周角定理，解直角三角形

【解析】【分析】(1)由菱形的性質可得CD=CE,ZCBD=ZCBE,則弦、弧、圓周角、圓周角的關系可得

CD=AC,從而證得；(2)由(1)已證的AC=CE,二△ACE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形中的“三線合一"

可得到啟發(fā)，作AE上的高CF,則AF=EF,由勾股定理可得BC2=BF2+CF2,AC2=AF2+CF?,代入化

簡BC2-AC2=BF2-AF2將其平方差的結果轉換為兩線段之積即可證得；(3)①求BC的長度可以構

造直角三角形結合解直角三角形的知識及勾股定理可解答；已知圓0的半徑，則可作直徑所對的圓周角，

連接CO交延長交。。與點G,則CG即為直徑，則NCBG=90度，CG已知，求BC,則需要求BG的長度或

其中的銳角三角函數(shù)值；由NG=NA,則可在R3ACF中求出COSNA的值，由北=|,可設AB=5k,

BE=AC=3k,則AE=AB-BE=2k,AF=k即可求cosZA的值；

②要求的是胎為什么值時，ABAC的值最大，可參照①中的方法，可設祭=小，其中m>l,AC=a,

與①同理求出BG(注意m,a的取值范圍)，BC的值，根據(jù)(2)中已證得的BC2-AC2=AB-AC,將

各線段的值代入即可得其中可得m與a的關系，不妨用m來表示出a,則AB-AC可表示為只含m的關系

式，BG或BC的值求出m的取值范圍，即可求m為何值時ABAC為最大值.

20.【答案】(1)解：C(2,0),BC=6,

.B(-4,0),

在RtAOCD中，tanZOCD=^,

：.OD=2tan60°=2V3,

.D(0,2^3)，

設拋物線的解析式為y=a(x+4)(x-2),

把D(0,28)代入得a?4?(-2)=2值,解得a=-_在，