有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題

有理數(shù)及其運(yùn)算第一講正數(shù)、負(fù)、0【引入】歐洲人的盲目：古代印度人創(chuàng)造了阿拉伯?dāng)?shù)字后.大約到了公元7世紀(jì)的時(shí)候.這些數(shù)字傳到了阿拉伯地區(qū).來(lái).這些數(shù)字又從阿拉伯地區(qū)傳到了歐洲.歐洲人只知道這些數(shù)字是從阿拉伯地區(qū)傳入的.所以便把這些數(shù)字叫做阿拉伯?dāng)?shù)字.以后.這些數(shù)字又從歐洲傳到世界各國(guó).劉徽的先見(jiàn)與德摩根的固執(zhí)：1、1831年英國(guó)數(shù)學(xué)家德摩根認(rèn)為負(fù)數(shù)是“虛構(gòu)”的，他還特意舉了一個(gè)“特例”來(lái)說(shuō)明他的觀點(diǎn)：“父親56歲，他兒子29歲，問(wèn)什么時(shí)候父親的歲數(shù)將是兒子的兩倍？”，通過(guò)列方程解得x=―2，他認(rèn)為這個(gè)結(jié)果是荒唐的，他不懂得x=―2正是說(shuō)明兩年前父親的歲數(shù)將是兒子的兩倍。2、你看過(guò)電視或聽(tīng)過(guò)播送中的天氣預(yù)報(bào)嗎？中國(guó)地形圖上的溫度閱讀?！部勺寣W(xué)生模擬預(yù)報(bào))請(qǐng)大家來(lái)當(dāng)小小氣象員，記錄溫度計(jì)所示的氣溫25oC，10oC，零下10oC，零下30oC。為書(shū)寫(xiě)方便，將測(cè)量氣溫寫(xiě)成25，10，―10，―30。3、最早的負(fù)教定義三國(guó)時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽在負(fù)數(shù)概念的建立上奉獻(xiàn)最大.劉徽第一次給出了正負(fù)數(shù)的定義,他說(shuō):“今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之意思就是說(shuō),在計(jì)算過(guò)程中遇到具有相反意義的量,要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)區(qū)分它們?！局v解】1．相反意義的量：在日常生活中，常會(huì)遇到這樣一些量〔事情〕：例1：汽車向東行駛3千米和向西行駛2千米。例2：溫度是零上10℃和零下5℃。例3：收入500元和支出237元。例4：水位升高1.2米和下降0.7米。例5：買進(jìn)100輛自行車和買出20輛自行車。試著讓學(xué)生考慮這些例子中出現(xiàn)的每一對(duì)量，有什么共同特點(diǎn)？〔具有相反意義。向東和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、買進(jìn)和賣出都具有相反意義〕2．正數(shù)和負(fù)數(shù)：①能用我們已經(jīng)學(xué)的來(lái)很好的表示這些相反意義的量嗎？例如，零上5℃用5來(lái)表示，零下5℃呢？也用5來(lái)表示，行嗎？說(shuō)明：在天氣預(yù)報(bào)圖中，零下5℃是用―5℃來(lái)表示的。一般地，對(duì)于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過(guò)去學(xué)過(guò)的數(shù)來(lái)表示；把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，用過(guò)去學(xué)的數(shù)〔零除外〕前面放一個(gè)“－”〔讀作“負(fù)”〕號(hào)來(lái)表示。拿溫度為例，通常規(guī)定零上為正，于是零下為負(fù)，零上10℃就用10℃表示，零下5℃那么用―5℃來(lái)表示。②怎樣表示具有相反意義的量？能否從天氣預(yù)報(bào)出現(xiàn)的標(biāo)記中，得到一些啟發(fā)呢？在例1中，我們?nèi)绻?guī)定向東為正，那么向西為負(fù)。汽車向東行駛3千米記作3千米，向西2千米應(yīng)記作―2千米。在以上的討論中，出現(xiàn)了哪些新數(shù)？為了表示具有相反意義的量，上面我們引進(jìn)了―5，―2，―237，―0.7等數(shù)。像這樣的一些新數(shù)，叫做負(fù)數(shù)〔negativenumber〕。過(guò)去學(xué)過(guò)的那些數(shù)〔零除外〕，如10，3，500，1.2等，叫做正數(shù)〔positivenumber〕。正數(shù)前面有時(shí)也可放一個(gè)“+”〔讀作“正”〕，如5可以寫(xiě)成+5。注意：零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。【跟蹤練習(xí)】1、以下用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示的相反意義的量，其中正確的選項(xiàng)是()．A、一天凌晨的氣溫是－4℃，中午比凌晨上升了4℃，所以中午的氣溫是＋4℃B、如果＋8.5m表示比海平面高8.5m，那么－19.2m表示比海平面低－19.2mC、如果收入增加180元記作＋180元，那么－100元表示支出減少100元D、售一件服裝盈利20元記作＋20元，那么－30元表示虧本30元2、以下各數(shù)：3，－5，0，，，－0.3，6.75中，正數(shù)的個(gè)數(shù)共有()．A、1個(gè) B、2個(gè)C、3個(gè) D、4個(gè)3、以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A、零是正數(shù)不是負(fù)數(shù)B、零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)C、零既是正數(shù)也是負(fù)數(shù)D、不是正數(shù)的一定是負(fù)數(shù)，不是負(fù)數(shù)的一定是正數(shù)【中考鏈接】1、〔2011?岳陽(yáng)〕負(fù)數(shù)的引入是數(shù)學(xué)開(kāi)展史上的一大飛躍，使數(shù)的家族得到了擴(kuò)張，為人們認(rèn)識(shí)世界提供了更多的工具．最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家是〔〕A、中國(guó)B、印度C、英國(guó)D、法國(guó)2、〔2010哈爾濱〕某年哈爾濱市一月份的平均氣溫為－18℃，三月份的平均氣溫為2℃，那么三月份的平均氣溫比一月份的平均氣溫高〔〕〔A〕16℃〔B〕20℃〔C〕一16℃〔D〕一20℃3.一個(gè)有理數(shù)的平方一定是〔〕A、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、非負(fù)數(shù)D、非正數(shù)【總結(jié)】1、正數(shù)和負(fù)數(shù)表示的是一對(duì)相反意義的量，哪種意義為正是可以任意規(guī)定的。如果把一種意義規(guī)定為正，那么相反意義的量規(guī)定為負(fù)。常將“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù),。2、用正負(fù)表示具有相反意義的量,必須是同類量,如果有單位的,不要漏帶單位.3、正數(shù)在書(shū)寫(xiě)時(shí),前面的“+”號(hào)可省略不寫(xiě)，負(fù)數(shù)前面的“—”號(hào)不能省略。4、對(duì)于非0的數(shù)字來(lái)說(shuō)，前面只帶有一個(gè)負(fù)號(hào)即為負(fù)數(shù)，但對(duì)于字母來(lái)說(shuō)不一定。第二講有理數(shù)的概念及其分類【引入】日本人的無(wú)知：有理數(shù)在希臘文中稱為λογο?，原意是“成比例的數(shù)”。英文取其意，以ratio為字根，在字尾加上-nal構(gòu)成形容詞，全名為rationalnumber，直譯成漢語(yǔ)即是“可比數(shù)”。對(duì)應(yīng)地，無(wú)理數(shù)那么為“不可比數(shù)”。但并非中文翻譯不恰當(dāng)。有理數(shù)這一概念最早源自西方《幾何原本》，在中國(guó)明代，從西方傳入中國(guó)，而從中國(guó)傳入日本時(shí)，出現(xiàn)了錯(cuò)誤。明末數(shù)學(xué)家徐光啟和學(xué)者利瑪竇翻譯《幾何原本》前6卷時(shí)的底本是拉丁文。他們將這個(gè)詞〔“λογο?”〕譯為“理”，這個(gè)“理”指的是“比值”。日本在明治維新以前，歐美數(shù)學(xué)典籍的譯本多半采用中國(guó)文言文的譯本。日本學(xué)者將中國(guó)文言文中的“理”直接翻譯成了理，而不是文言文所解釋的“比值”。后來(lái)，日本學(xué)者直接用錯(cuò)誤的理解翻譯出了“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”。當(dāng)有理數(shù)從日本傳回中國(guó)時(shí)又延續(xù)錯(cuò)誤。清末中國(guó)派留學(xué)生到日本，將此名詞傳回中國(guó)，以至現(xiàn)在中日兩國(guó)都用“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”的說(shuō)法可見(jiàn)，由于當(dāng)年日本學(xué)者對(duì)中國(guó)文言文的理解不到位，才出現(xiàn)了今天的誤譯?！局v解】1．?dāng)?shù)的擴(kuò)充：數(shù)1，2，3，4，…叫做正整數(shù)；―1，―2，―3，―4，…叫做負(fù)整數(shù)；正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為整數(shù)；數(shù)，，8，+5.6，…叫做正分?jǐn)?shù)；―，―，―3.5，…叫做負(fù)分?jǐn)?shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。區(qū)分“正”與“整”；小數(shù),百分?jǐn)?shù)可化為分?jǐn)?shù)。3．有理數(shù)的分類①先將有理數(shù)按“整”和“分”的屬性分，再按數(shù)的“正”、“負(fù)”分，即得如下分類表：②先將有理數(shù)按“正”和“負(fù)”的屬性分，再按數(shù)的“整”、“分”分，即得如下分類表：注：①“0”也是自然數(shù)。②“0”的特殊性?！靖櫨毩?xí)】1.以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)B．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)C．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D．0不是有理數(shù)2.以下四種說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是：〔〕 A.不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù) B．所有的整數(shù)都是正數(shù) C．－a一定是負(fù)數(shù) D．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)3.以下說(shuō)法中不正確的選項(xiàng)是()A．-3.14既是負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)B．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但是整數(shù)C．-2000既是負(fù)數(shù)，也是整數(shù)，但不是有理數(shù)D．O是非正數(shù)4.把以下各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：正數(shù)集合{…}；負(fù)數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；分?jǐn)?shù)集合{…}；5.把以下各數(shù)鎮(zhèn)在相應(yīng)的集合中：－7，3.5，－3.1415926，，0，，10，－5％，自然數(shù)集合：｛…｝非正整數(shù)集合：｛…｝負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛…｝非負(fù)數(shù)集合；｛…｝【中考鏈接】1、將以下各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號(hào)里：-3.5，3.14，-2，+43，，0.618，，0，-0.202正數(shù)：個(gè)；整數(shù)：個(gè)；負(fù)分?jǐn)?shù)：個(gè)；正整數(shù)：個(gè)；非正整數(shù)：個(gè)；非負(fù)整數(shù)：個(gè)；【總結(jié)】根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類。通過(guò)具體的數(shù)的分類練習(xí)培養(yǎng)正確分類能力，在確定分類標(biāo)準(zhǔn)時(shí)應(yīng)防止出現(xiàn)“重”、“漏”的錯(cuò)誤，即要求每一個(gè)數(shù)必須屬于某一類，又不能同時(shí)屬于不同的兩類。要正確判斷一個(gè)數(shù)屬于哪一類，首先要弄清分類的標(biāo)準(zhǔn)。要特別注意“0”不是正數(shù)，但是整數(shù)。在數(shù)學(xué)里，“正”和“整”不能通用，是有區(qū)別的，“正”是相對(duì)于“負(fù)”來(lái)說(shuō)的，“整”是相對(duì)于分?jǐn)?shù)而言的。第三講數(shù)軸【引入】笛卡爾的勤奮：有一天,笛卡爾〔1596—1650,法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家〕生病臥床,但他頭腦一直沒(méi)有休息,在反復(fù)思考一個(gè)問(wèn)題：幾何圖形是直觀的,而代數(shù)方程那么比擬抽象,能不能用幾何圖形來(lái)表示方程呢?這里,關(guān)鍵是如何把組成幾何的圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤.他就拼命琢磨.通過(guò)什么樣的方法、才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來(lái).突然,他看見(jiàn)屋頂角上的一只蜘蛛,拉著絲垂了下來(lái),一會(huì)兒,蜘蛛又順著絲爬上去,在上邊左右拉絲.蜘蛛的“表演”,使笛卡爾思路豁然開(kāi)朗.他想,可以把蜘蛛看做一個(gè)點(diǎn),它在屋子里可以上、下、左、右運(yùn)動(dòng),能不能把蜘蛛的每個(gè)位置用一組數(shù)確定下來(lái)呢?他又想,屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線,如果把地面上的墻角作為起點(diǎn),把交出來(lái)的三條線作為三根數(shù)軸,那么空間中任意一點(diǎn)的位置,不是都可以用這三根數(shù)軸上找到的有順序的三個(gè)數(shù)來(lái)表示嗎?反過(guò)來(lái),任意給一組三個(gè)有順序的數(shù),例如3、2、1,也可以用空間中的一個(gè)點(diǎn)P來(lái)表示它們.同樣,用一組數(shù)〔a,b〕表示平面上的一個(gè)點(diǎn),平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以用一組二個(gè)有順序的數(shù)來(lái)表示.于是在蜘蛛的啟示下,笛卡爾創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.【講解】1.數(shù)軸的畫(huà)法：第一步：畫(huà)一條直線〔通常是水平的直線〕，在這條直線上任取一點(diǎn)O，叫做原點(diǎn)，用這點(diǎn)表示數(shù)0；〔相當(dāng)于溫度計(jì)上的0℃?！车诙剑阂?guī)定這條直線的一個(gè)方向?yàn)檎较颉惨话闳淖蟮接业姆较?，用箭頭表示出來(lái)〕。相反的方向就是負(fù)方向；〔相當(dāng)于溫度計(jì)0℃以上為正，0℃以下為負(fù)。〕第三步：適當(dāng)?shù)剡x取一條線段的長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，也就是在0的右面取一點(diǎn)表示1，0與1之間的長(zhǎng)就是單位長(zhǎng)度。〔相當(dāng)于溫度計(jì)上1℃占1小格的長(zhǎng)度?！吃跀?shù)軸上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，這些點(diǎn)依次表示1，2，3，…，從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，它們依次表示–1，–2，–3，…。2.數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，原點(diǎn)位置的選定、正方向的取向、單位長(zhǎng)度大小確實(shí)定，都是根據(jù)需要人為規(guī)定的。注：直線也不一定是水平的；正方向也不一定向右。3.用數(shù)軸比擬有理數(shù)的大小：在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大，所以在比擬很多數(shù)的大小關(guān)系時(shí)，可以先把它們?cè)跀?shù)軸上表示出來(lái)，然后比擬。正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。【跟蹤練習(xí)】1、王老師在閱卷時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)畫(huà)的數(shù)軸如以下圖所示，請(qǐng)你指出他的錯(cuò)誤原因是〔〕0012－1－2－332、數(shù)軸上的原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，原點(diǎn)表示，離原點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有?！局锌兼溄印?、〔2010?安徽〕冬季某天我國(guó)三個(gè)城市的最高氣溫分別是-10℃，1℃，-7℃，把它們從高到低排列正確的選項(xiàng)是〔〕A．-10℃，-7℃，1℃;B．-7℃，-10℃，1℃C．1℃，-7℃，-10℃;D．1℃，-10℃，-7℃2、〔2010?廣西〕比擬大小:-1_______-2．3、〔2010內(nèi)蒙古〕比擬大小:-_______-．4、〔2010?南寧〕比擬-3與2的大?。?、〔2010年金華〕如圖，假設(shè)A是實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，那么關(guān)于a，－a，1的大小關(guān)系表示正確的選項(xiàng)是〔〕A．a(chǎn)＜1＜－aB．a(chǎn)＜－a＜1C．1＜－a＜aD．－a＜a＜16、〔萊蕪〕如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a、b，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A.Ab>0B.a-b>0C．a(chǎn)+b>0D．>0【總結(jié)】1、所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但反過(guò)來(lái)并不是數(shù)軸上的所有點(diǎn)都表示有理數(shù)；2、畫(huà)數(shù)軸時(shí)，原點(diǎn)的位置以及單位長(zhǎng)度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適中選取，注意不要漏畫(huà)正方向、不要漏畫(huà)原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度一定要統(tǒng)一，數(shù)軸上數(shù)的排列順序〔尤其是負(fù)數(shù)〕要正確。3.比擬有理數(shù)大小法那么是：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。根據(jù)法那么先在同一個(gè)數(shù)軸上表示出同一組數(shù)的位置，然后用“＜”號(hào)連接，這種方法比擬直觀，但畫(huà)圖表示數(shù)較麻煩。另一種方法是利用數(shù)軸上數(shù)的位置得出比擬大小規(guī)律，即正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，那么比擬更方便些。第四講絕對(duì)值【引入】被迫不務(wù)正業(yè)的數(shù)學(xué)家：德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯的父親威廉·魏爾斯特拉斯是受法國(guó)雇傭的海關(guān)職員，威廉在家里十分嚴(yán)厲而且專斷。14歲卡爾進(jìn)附近帕德博恩城的一所天主教預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)，在那里學(xué)習(xí)德語(yǔ)、拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ)和數(shù)學(xué)。中學(xué)畢業(yè)時(shí)成績(jī)優(yōu)秀，共獲7項(xiàng)獎(jiǎng)，其中包括數(shù)學(xué)，但不容卡爾有半句分辯，他的父親卻把他送到波恩大學(xué)去學(xué)習(xí)法律和商業(yè)，希望他將來(lái)在普魯士民政部當(dāng)一名文官。魏爾斯特拉斯對(duì)商業(yè)和法律都毫無(wú)興趣。在波恩大學(xué)他把相當(dāng)一局部時(shí)間花在自學(xué)他所喜歡的數(shù)學(xué)上，攻讀了包括拉普拉斯的《天體力學(xué)》在內(nèi)的一些名著。他在波恩的另一局部時(shí)間那么花在了擊劍上。魏爾斯特拉斯體魄魁偉，擊劍時(shí)出手準(zhǔn)確，加上旋風(fēng)般的速度，很快就成為波恩人心目中的擊劍明星。這樣在波恩大學(xué)度過(guò)四年之后，魏爾斯特拉斯回到家里，沒(méi)有得到他父親所希望的法律博士學(xué)位，連碩士學(xué)位也沒(méi)有得到。這使他父親勃然大怒，呵斥他是一個(gè)“從軀殼到靈魂都患病的人”。這時(shí)多虧他家的一位朋友建議，魏爾斯特拉斯被送到明斯特去準(zhǔn)備教師資格考試?！局v解】1．幾何定義：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。記作|a|。這里的a可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0。例如，在數(shù)軸上表示數(shù)―6與表示數(shù)6的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離都是6，所以―6和6的絕對(duì)值都是6，記作|―6|=|6|=6。同樣可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。代數(shù)定義：〔1〕一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；〔2〕0的絕對(duì)值是0；〔3〕一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。即：。2．絕對(duì)值的性質(zhì)：〔1〕任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，〔絕對(duì)值的非負(fù)性〕。〔2〕互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，反之，假設(shè)兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)〔3〕假設(shè)幾個(gè)絕對(duì)值的和等于0，那么這幾個(gè)絕對(duì)值都應(yīng)為0【跟蹤練習(xí)】〔1〕絕對(duì)值是的數(shù)有幾個(gè)？各是什么？(2)絕對(duì)值是0的數(shù)有幾個(gè)？各是什么？(3)有沒(méi)有絕對(duì)值是-2的數(shù)？〔4〕求絕對(duì)值小于4的所有整數(shù)?！?〕說(shuō)說(shuō)的意義以及滿足這個(gè)式子的數(shù)的條件；【中考鏈接】1．〔2014年山東煙臺(tái)〕﹣3的絕對(duì)值等于〔〕 A．﹣3 B．3 C． ±3 D． 2．〔2014年云南省，第1題3分〕|﹣|=〔〕 A．﹣B． C． ﹣7 D． 7〔2014?舟山，第1題3分〕﹣3的絕對(duì)值是〔〕A.-3B.3C.D.〔2014?株洲，第1題，3分〕以下各數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是〔〕A.-3B.-2C.0D.1【總結(jié)】1．對(duì)絕對(duì)值概念的理解可以從其幾何意義和代數(shù)意義兩方面考慮，從幾何方面看，一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，它具有非負(fù)性；從代數(shù)方面看，一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0。2．求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值注意先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。第五講有理數(shù)的加法【引入】《九章算術(shù)》的豐功偉績(jī)：《九章算術(shù)》其作者已不可考。一般認(rèn)為它是經(jīng)歷代各家的增補(bǔ)修訂，而逐漸成為現(xiàn)今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過(guò)增補(bǔ)和整理，其時(shí)大體已成定本。最后成書(shū)最遲在東漢前期，現(xiàn)今流傳的大多是在三國(guó)時(shí)期魏元帝景元四年〔263年〕，劉徽為《九章》所作的注本。在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法那么。關(guān)于正、負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法那么，“正負(fù)術(shù)曰：同名相益，異名相除，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之。其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之”。這里所說(shuō)的“同名”、“異名”分別相當(dāng)于所說(shuō)的同號(hào)、異號(hào)。“相益”、“相除”是指二數(shù)相加、相減。【講解】知識(shí)點(diǎn)一：有理數(shù)加法法那么1、一位同學(xué)沿著一條東西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否確定他現(xiàn)在位于原來(lái)位置的哪個(gè)方向，相距多少米?規(guī)定向東為正，向西為負(fù)。(1)假設(shè)兩次都是向東走，很明顯，一共向東走了50米，寫(xiě)成算式就是：(+20)+(+30)=+50，即這位同學(xué)位于原來(lái)位置的東方50米處。這一運(yùn)算在數(shù)軸上表示如圖：(2)假設(shè)兩次都是向西走，那么他現(xiàn)在位于原來(lái)位置的西方50米處，寫(xiě)成算式就是：(―20)+(―30)=―50。(3)假設(shè)第一次向東走20米，第二次向西走30米，我們先在數(shù)軸上表示如圖：寫(xiě)成算式是(+20)+(―30)=―10，即這位同學(xué)位于原來(lái)位置的西方10米處。(4)假設(shè)第一次向西走20米，第二次向東走30米，寫(xiě)成算式是：(―20)+(+30)=()。即這位同學(xué)位于原來(lái)位置的()方()米處。后兩種情形中兩個(gè)加數(shù)符號(hào)不同(通?？煞Q異號(hào))，所得和的符號(hào)似乎不能確定，讓我們?cè)僭噹状?下式中的加數(shù)不仿仍可看作運(yùn)動(dòng)的方向和路程)：你能發(fā)現(xiàn)和與兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值之間有什么關(guān)系嗎?(+4)+(―3)=()；(+3)+(―10)=()；(―5)+(+7)=()；(―6)+2=()。再看兩種特殊情形：(5)第一次向西走了30米，第二次向東走了30米.寫(xiě)成算式是：(―30)+(+30)=()。(6)第一次向西走了30米，第二次沒(méi)走.寫(xiě)成算式是：(―30)+0=()。我們不難得出它們的結(jié)果。2．概括：綜合以上情形，我們得到有理數(shù)的加法法那么：〔1).同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；〔2).絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；〔3).互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；〔4).一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).注意：一個(gè)有理數(shù)由符號(hào)和絕對(duì)值兩局部組成，所以進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，必須分別確定和的符號(hào)和絕對(duì)值.這與小學(xué)階段學(xué)習(xí)加法運(yùn)算不同。知識(shí)點(diǎn)二：有理數(shù)的加法運(yùn)算律1．在小學(xué)里，我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)加法的交換律、結(jié)合律，這兩個(gè)運(yùn)算律在有理數(shù)加法運(yùn)算中也是成立的嗎？*任意選擇兩個(gè)有理數(shù)(至少有一個(gè)是負(fù)數(shù))，分別填入以下□和○內(nèi)，并比擬兩個(gè)算式的運(yùn)算結(jié)果?！?○和○+□。*任意選擇三個(gè)有理數(shù)(至少有一個(gè)是負(fù)數(shù))，分別填入以下□、○和

內(nèi)，并比擬兩個(gè)算式的運(yùn)算結(jié)果。(□+○)+

和□+(○+

)。總結(jié)：加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。即(a+b)+c=a+(b+c)這樣，多個(gè)有理數(shù)相加，可以任意交換加數(shù)的位置，也可先把其中的幾個(gè)數(shù)相加，使計(jì)算簡(jiǎn)化。2．例題：例1：計(jì)算：(1)(+26)+(―18)+5+(―16)；(2)。解(1)原式=(2)原式=例2：10筐蘋(píng)果，以每筐30千克為準(zhǔn)，超過(guò)的千克數(shù)記作正數(shù)，缺乏的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，記錄如下：2，―4，2.5，3，―0.5，1.5，3，―1，0，―2.5。求這10筐蘋(píng)果的總重量。解：例3：運(yùn)用加法運(yùn)算律計(jì)算以下各題：(1)(+66)+(―12)+(+11.3)+(―7.4)+(+8.1)+(―2.5)(2)(+3)+(―2)+(―3)+(―1)+(+5)+(+5)(3)(+6)+(+)+(―6.25)+(+)+(―)+(―)分析：利用運(yùn)算律將正、負(fù)數(shù)分別結(jié)合，然后相加，可以使運(yùn)算比擬簡(jiǎn)便；有分?jǐn)?shù)相加時(shí)，利用運(yùn)算律把分母相同的分?jǐn)?shù)結(jié)合起來(lái)，將帶分?jǐn)?shù)拆開(kāi)，計(jì)算比擬簡(jiǎn)便。一定要注意不要遺漏括號(hào)；相加的假設(shè)干個(gè)數(shù)中出現(xiàn)了相反數(shù)時(shí)，先將相反數(shù)結(jié)合起來(lái)抵消掉，或通過(guò)拆數(shù)、局部結(jié)合湊成相反數(shù)抵消掉，計(jì)算比擬簡(jiǎn)便。解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=例4：10袋小麥稱重時(shí)以每袋90千克為準(zhǔn)，超過(guò)的千克數(shù)記為正數(shù)，缺乏的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，記錄數(shù)據(jù)如下：+7，+5，–4，+6，+4，+3，–3，–2，+8，+1請(qǐng)問(wèn)總計(jì)是超過(guò)多千克還是缺乏多少千克？這10袋小麥的總重量是多少？【跟蹤聯(lián)系】1.如果規(guī)定存款為正，取款為負(fù)，請(qǐng)根據(jù)李明同學(xué)的存取款情況填空：①一月份先存入10元，后又存入30元，兩次合計(jì)存人元，就是〔＋10〕＋〔＋30〕=②三月份先存人25元，后取出10元，兩次合計(jì)存人元，就是〔＋25〕＋〔－10〕＝2、【中考鏈接】1.如果a+b=0，那么a+b兩個(gè)數(shù)一定是〔〕A.都等于0B.一正一負(fù)C.互為相反數(shù)D.互為倒數(shù)2.數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)的和是(第2題圖)3.如果eq\o\ac(□,.)+2=0，那么“eq\o\ac(□,.)”內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是。4計(jì)算-3+2的值是〔〕A.-5B.-1C.1D.5【總結(jié)】應(yīng)用有理數(shù)加法法那么進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要同時(shí)注意確定“和”的符號(hào)，計(jì)算“和”的絕對(duì)值兩件事。三個(gè)以上的有理數(shù)相加，可運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律任意改變加數(shù)的位置，簡(jiǎn)化運(yùn)算。常見(jiàn)技巧有：(1)湊零湊整：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)結(jié)合先加；和為整數(shù)的加數(shù)結(jié)合先加；(2)同號(hào)集中：按加數(shù)的正負(fù)分成兩類分別結(jié)合相加，再求和；(3)同分母結(jié)合：把分母相同或容易通分的結(jié)合起來(lái)；(4)帶分?jǐn)?shù)拆開(kāi)：計(jì)算含帶分?jǐn)?shù)的加法時(shí)，可將帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)局部和分?jǐn)?shù)局部拆開(kāi)，分別結(jié)合相加。注意帶分?jǐn)?shù)拆開(kāi)后的兩局部要保持原來(lái)分?jǐn)?shù)的符號(hào)。第六講有理數(shù)的減法【引入】《九章算術(shù)》的豐功偉績(jī)【講解】1、我們知道，兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。例如計(jì)算(―8)―(―3)也就是求一個(gè)數(shù)?使(?)+(―3)=―8。根據(jù)有理數(shù)加法運(yùn)算，有(―5)+(―3)=―8，所以(―8)―(―3)=―5。①減法運(yùn)算的結(jié)果得到了。試一試：再做一個(gè)填空：(―8)+()=―5，容易得到(―8)+(+3)=―5。②比擬①、②兩式，我們發(fā)現(xiàn)：―8“減去―3”與“加上+3”結(jié)果是相等的。②再試一次：10―6=(4)，10+(―6)=(4)，得10―6=10+(―6)。③概括：上述兩例啟發(fā)我們可以將減法轉(zhuǎn)換為加法來(lái)進(jìn)行。有理數(shù)減法法那么:減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。如果用字母a、b表示有理數(shù)，那么有理數(shù)減法法那么可表示為：a–b=a+〔―b〕。2．例題：例1：計(jì)算：(1)(―32)―(+5)；(2)7.3―(―6.8)；(3)(―2)―(―25)；(4)12―21.解：減號(hào)變加號(hào)減號(hào)變加號(hào)(1)(―32)―(+5)=(―32)+(―5)=―37。(2)7.3―(―6.8)=7.3+6.8=14.1。減數(shù)變相反數(shù)減數(shù)變相反數(shù)(注意：兩處必須同時(shí)改變符號(hào).)【跟蹤聯(lián)系】(1)(＋16)－(＋25)－(－24)＋(－32)；(2)；【中考鏈接】1.〔2014?濟(jì)寧，第1題3分〕實(shí)數(shù)1，﹣1，﹣，0，四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是〔〕A.0B.1C.-1D.-2.〔2014?菏澤，第1題3分〕比﹣1大的數(shù)是〔〕A.-3B.-C.0D.-13．〔2014?四川自貢，第1題4分〕比﹣1大1的數(shù)是〔〕A．2B．1C．0D．﹣2．4.〔2014?武漢，第11題3分〕計(jì)算：﹣2-〔﹣3〕=【總結(jié)】1.由于把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而減法轉(zhuǎn)化為加法．有理數(shù)的加法和減法，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)后就可以統(tǒng)一用加法來(lái)解決．2．不管減數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或是零，都符合有理數(shù)減法法那么．在使用法那么時(shí)，注意被減數(shù)是永不變的。第七講有理數(shù)的加減混合運(yùn)算【引入】數(shù)學(xué)家的各行其是。【講解】1、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法和步驟：〔1〕運(yùn)用減法法那么，將有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的加法轉(zhuǎn)化為加法，然后省略加號(hào)和括號(hào)；〔2〕運(yùn)用加法交換律和加法結(jié)合律，使運(yùn)算簡(jiǎn)便。2、在運(yùn)算過(guò)程中,遵循以下原那么:〔1〕正數(shù)和負(fù)數(shù)分別相結(jié)合〔2〕同分母分?jǐn)?shù)或比擬容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合〔3〕互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合〔4〕其和為整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合〔5〕帶分?jǐn)?shù)一般化成假分?jǐn)?shù)或整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩局部，再分別相加和。例1：把寫(xiě)成省略加號(hào)的和的形式，并把它讀出來(lái)。解：原式==讀作：“的和”。例2：計(jì)算：―20+3―5+7。解：原式=―20―5+3+7=―25+10=―15。注意這里既交換又結(jié)合，交換時(shí)應(yīng)連同數(shù)字前的符號(hào)一起交換。例3：計(jì)算：(1)――+；(2)(+9)―(+10)+(―2)―(―8)+3?！靖櫨毩?xí)】1．2．【中考鏈接】1.〔2004。桂林〕1―3+5―7+9―11+…+97―99=?！究偨Y(jié)】1．有理數(shù)的加減法可統(tǒng)一成加法。2．因?yàn)橛欣頂?shù)加減法可統(tǒng)一成加法，所以在加減運(yùn)算時(shí)，適當(dāng)運(yùn)用加法運(yùn)算律，把正數(shù)與負(fù)數(shù)分別相加，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。但要注意交換加數(shù)的位置時(shí)，要連同前面的符號(hào)一起交換。第八講有理數(shù)的乘法【引入】繼續(xù)《九章算術(shù)》【講解】1．實(shí)際問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：一只小蟲(chóng)沿一條東西向的跑道，以每分鐘3米的速度向東爬行2分鐘，那么它現(xiàn)在位于原來(lái)的位置的那個(gè)方向，相距多少米?我們知道，這個(gè)問(wèn)題可用乘法來(lái)解答：3×2=6，①即小蟲(chóng)位于原來(lái)位置的東方6米處。注意：這里我們規(guī)定向東為正，向西為負(fù)。如果上述問(wèn)題變?yōu)椋簡(jiǎn)栴}2：小蟲(chóng)向西以每分鐘3米的速度爬行2分鐘，那么結(jié)果有何變化?這也不難，寫(xiě)成算式就是：(－3)×2=－6，②即小蟲(chóng)位于原來(lái)位置的西方6米處。比擬上面兩個(gè)算式，有什么發(fā)現(xiàn)?當(dāng)我們把“3×2=6”中的一個(gè)因數(shù)“3”換成它的相反數(shù)“－3”時(shí)，所得的積是原來(lái)的積“6”的相反數(shù)“－6”，一般地