機(jī)器人動力學(xué)

機(jī)器人動力學(xué)研究的典型方法和應(yīng)用〔燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院〕摘要：本文介紹了動力學(xué)分析的根底知識，總結(jié)了機(jī)器人動力學(xué)分析過程中比擬常用的動力學(xué)分析的方法：牛頓—?dú)W拉法、拉格朗日法、凱恩法、虛功原理法、微分幾何原理法、旋量對偶數(shù)法、高斯方法等，并且介紹了各個(gè)方法的特點(diǎn)。并通過對PTl300型碼垛機(jī)器人彈簧平衡機(jī)構(gòu)動力學(xué)方法研究，詳細(xì)分析了各個(gè)研究方法的優(yōu)越性和方法的選擇。前言：機(jī)器人動力學(xué)的目的是多方面的。機(jī)器人動力學(xué)主要是研究機(jī)器人機(jī)構(gòu)的動力學(xué)。機(jī)器人機(jī)構(gòu)包括機(jī)械結(jié)構(gòu)和驅(qū)動裝置，它是機(jī)器人的本體，也是機(jī)器人實(shí)現(xiàn)各種功能運(yùn)動和操作任務(wù)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，同時(shí)也是機(jī)器人系統(tǒng)中被控制的對象。目前用計(jì)算機(jī)輔助方法建立和求解機(jī)器人機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型是研究機(jī)器人動力學(xué)的主要方法。動力學(xué)研究的主要途徑是建立和求解機(jī)器人的動力學(xué)模型。所謂動力學(xué)模指的是一組動力學(xué)方程〔運(yùn)動微分方程〕，把這樣的模型作為研究力學(xué)和模擬運(yùn)動的有效工具。報(bào)告正文：機(jī)器人動力學(xué)研究的方法牛頓—?dú)W拉法應(yīng)用牛頓—?dú)W拉法來建立機(jī)器人機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程，是指對質(zhì)心的運(yùn)動和轉(zhuǎn)動分別用牛頓方程和歐拉方程。把機(jī)器人每個(gè)連桿〔或稱構(gòu)件〕看做一個(gè)剛體。如果連桿的表征質(zhì)量分布和質(zhì)心位置的慣量張量，那么，為了使連桿運(yùn)動，必須使其加速或減速，這時(shí)所需的力和力矩是期望加速度和連桿質(zhì)量及其分布的函數(shù)。牛頓—?dú)W拉方程就說明力、力矩、慣性和加速度之間的相互關(guān)系。假設(shè)剛體的質(zhì)量為m，為使質(zhì)心得到加速度a所必須的作用在質(zhì)心的力為F，那么按牛頓方程有：為使剛體得到角速度、角加速度的轉(zhuǎn)動，必須在剛體上作用一力矩M，那么按歐拉方程有：式中，F(xiàn)、a、M、、都是三維矢量；I為剛體相對于原點(diǎn)通過質(zhì)心并與剛體固結(jié)的剛體指標(biāo)系的慣性張量。牛頓—?dú)W拉方程法是利用牛頓定律和歐拉方程建立動力學(xué)模型的方法。此法物理意義清晰，適合進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正動力學(xué)問題和逆動力學(xué)問題。但此法需要考慮每個(gè)關(guān)節(jié)的約束反力，建模過程比擬繁瑣。拉格朗日法機(jī)器人動力學(xué)分析過程中采用拉格朗日方程法一般為二階拉格朗日方程，是一種比擬適合計(jì)算機(jī)計(jì)算方法。拉格朗日函數(shù)L被定義為系統(tǒng)的動能和位能之差，即：L=-系統(tǒng)動力學(xué)方程式，及拉格朗日方程日下：式中，表示動能和位能的坐標(biāo)，為相應(yīng)的速度，而為作用在第i個(gè)坐標(biāo)上的力或是力矩。是力或是力矩，由為直線坐標(biāo)或角坐標(biāo)所決定。這些力、力矩和坐標(biāo)稱作廣義力、廣義力矩和廣義坐標(biāo)，n為連桿數(shù)目。拉格朗日法是基于能量平衡原理的建模方法。該方法通過求系統(tǒng)的動能和勢能，建立拉格朗日函數(shù)，最終可以得到標(biāo)準(zhǔn)的拉格朗日方程。在求解過程中，防止了運(yùn)動學(xué)加速度和角加速度的求解，推導(dǎo)過程相對簡單。利用矩陣表示動力學(xué)模型，便于對機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)控制。但是建模過程過于復(fù)雜，運(yùn)算量較大一般在進(jìn)行動力學(xué)分析時(shí)，常將機(jī)器人簡化或忽略慣性影響，已到達(dá)簡化模型提高運(yùn)算效率的目的。凱恩法凱恩法是用達(dá)郎倍爾原理及虛位移原理建立動力學(xué)方程，它是建立機(jī)器人機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的一種普遍方法，其根本思想是以廣義速率代替廣義坐標(biāo)作為系統(tǒng)的獨(dú)立變量。凱恩動力學(xué)方程為：，r=1,2，…，n意為廣義動力與廣義慣性力之和等于零。凱恩方程法在動力學(xué)建模中的突出優(yōu)點(diǎn)是只需要計(jì)算矢量點(diǎn)積、叉積運(yùn)算，防止了求導(dǎo)運(yùn)算。因此計(jì)算效率高，便于計(jì)算機(jī)控制。4〕虛功原理法虛功原理法是利用虛功原理建立動力學(xué)模型的方法，該方法防止了對關(guān)節(jié)力的計(jì)算，具有較高的運(yùn)算效率。除了以上方法外，還有高斯法、微分幾何原理法、旋量對偶數(shù)法等。機(jī)器人動力學(xué)的應(yīng)用研究機(jī)器人動力學(xué)模型主要應(yīng)用于機(jī)器人的設(shè)計(jì)和離線編程。在設(shè)計(jì)中需根據(jù)連桿質(zhì)量、運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)參數(shù)，傳動機(jī)構(gòu)特征和負(fù)載大小進(jìn)行動態(tài)仿真，從而決定機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動方案，驗(yàn)算實(shí)際方案的合理性和可行性，以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化程度。在離線編程時(shí)，為了估計(jì)機(jī)器人高速運(yùn)動引起的動載荷和路徑偏差，要進(jìn)行路徑控制仿真和動態(tài)模型的仿真。動力學(xué)研究物體的運(yùn)動和受力之間的關(guān)系。機(jī)器人動力學(xué)有兩個(gè)問題需要解決：動力學(xué)正問題，即根據(jù)關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩或者力計(jì)算操作臂的運(yùn)動〔關(guān)節(jié)位移、速度和加速度〕；動力學(xué)逆問題，即軌跡運(yùn)動對應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩或者力。例：基于動力學(xué)的PTl300型碼垛機(jī)器人彈簧平衡機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)1、機(jī)構(gòu)介紹PTl300型碼垛機(jī)器人虛擬樣機(jī)如圖1所示。PTl300型碼垛機(jī)器人的根本結(jié)構(gòu)由底座、主臂、前臂、前臂驅(qū)動臂、前臂驅(qū)動連桿、水平保持連桿、水平保持三角臂、末端手腕支架及平衡彈簧缸組成。各關(guān)節(jié)依次稱之為腰關(guān)節(jié)、肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)以及腕關(guān)節(jié)。平衡彈簧缸一端固定在距底座一定高度處，另一端固定在主臂頂端，主臂傾動時(shí)，平衡彈簧缸(即平衡彈簧)由于被拉伸而在肩關(guān)節(jié)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，以此到達(dá)平衡主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的目的。2計(jì)問題描述PT1300型碼垛機(jī)器人主臂彈簧平衡機(jī)構(gòu)如圖2所示。PTl300型碼垛機(jī)器人主臂彈簧平衡機(jī)構(gòu)的平衡彈簧缸一端固定在距底座高d處，另一端固定在主臂頂端，當(dāng)主臂偏離豎直初始位置時(shí)平衡彈簧缸產(chǎn)生的作用力作用在肩關(guān)節(jié)上。如當(dāng)主臂由初始位置轉(zhuǎn)過角度如時(shí)彈簧缸與主臂之間就產(chǎn)生夾角0。，此時(shí)，處于拉伸狀態(tài)下的彈簧在連接點(diǎn)處就產(chǎn)生拉力F，平衡彈簧缸在點(diǎn)O對機(jī)器人主臂產(chǎn)生平衡力矩肘，從而到達(dá)平衡目的。圖2中，P為前臂自重與末端負(fù)載在主臂頂端的作用力，G為主臂自重，Z：為主臂長度。彈簧產(chǎn)生的拉力F為：F=KΔX式中：K為彈簧剛度系數(shù)；ΔX為彈簧變形量。拉力F的力臂，為：〔2〕式中：Z：為主臂長度；0：為主臂由初始豎直位置OY轉(zhuǎn)過的角度；d為彈簧底端固定處距機(jī)器人底座的高度。彈簧產(chǎn)生的平衡力矩肘為：M=〔3〕2．1優(yōu)化對象與約束條件由式(2)和式(3)知平衡力矩M的大小與彈簧的剛度系數(shù)K、彈簧變形量缸以及彈簧底端距機(jī)器人底座的高度d有關(guān)，而彈簧剛度系數(shù)K是影響彈簧拉力的重要參數(shù)，應(yīng)選取彈簧剛度系數(shù)K作為優(yōu)化對象，即Xo=K，給定彈簧初始長度=1230mm，d=280mm。K取值應(yīng)在一定范圍內(nèi)，即，建議取。2．2目標(biāo)函數(shù)彈簧平衡機(jī)構(gòu)主要作用是平衡主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，改善機(jī)器人動力學(xué)性能，因此本文選取未平衡前的主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩最大值經(jīng)平衡力矩M平衡后的值()最小及主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩波動量最大值最小作為動力學(xué)性能優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化問題。由于多目標(biāo)優(yōu)化問題，可能存在多個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的矛盾情況，即一般不存在公共最優(yōu)解，為此，考慮利用加權(quán)法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解，取目標(biāo)函數(shù)加權(quán)系數(shù)均為0．5，構(gòu)造評價(jià)函數(shù)，為：〔4〕式中：7-：為未經(jīng)平衡彈簧平衡前的主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。至此，PT1300型碼垛機(jī)器人平衡機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)可歸結(jié)為如下單目標(biāo)優(yōu)化問題：3、力學(xué)分析由式(4)、式(5)可知，優(yōu)化目標(biāo)與主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩：息息相關(guān)，因此本文運(yùn)用基于凱恩(Kane)方程的動力學(xué)算法建立碼垛機(jī)器人剛體逆動力學(xué)模型，該方法是在拉格朗日引入的廣義坐標(biāo)根底上，導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后經(jīng)過后推，得出其顯式表達(dá)的動力學(xué)方程，進(jìn)一步得出機(jī)器人各關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。式(6)為基于凱恩(Kane)方程的動力學(xué)算法遞推公式：〔6〕式中：分別為桿角速度及偏角速度；為桿i一1坐標(biāo)系原點(diǎn)到桿i坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；為桿i廣義角速度；為桿i坐標(biāo)系的單位向量；為j；號廣義速率；為非j號廣義速率；分別為桿i線速度及質(zhì)心線速度；為桿i—I坐標(biāo)系原點(diǎn)到桿i坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離向量；為桿i質(zhì)心相對于，的偏線速度；為桿i坐標(biāo)系原點(diǎn)到桿i質(zhì)心的距離向量；為桿i相對于質(zhì)心Ci的慣性張量；為桿i質(zhì)量；為向質(zhì)心Ci簡化后的合力；為質(zhì)心Ci簡化后的合力矩；、分別為桿i的加速度及質(zhì)心加速度；為桿i相對于的偏線速度；為相對于所需的力矩。3．1確定主、從動關(guān)節(jié)關(guān)系PTl300型碼垛機(jī)器人機(jī)構(gòu)如圖3所示。圖3中，為主動關(guān)節(jié)，為從動關(guān)節(jié)，由于關(guān)節(jié)受水平保持連桿約束，為了使末端執(zhí)行器一直保持水平，亦將看作主動關(guān)節(jié)，由于忽略末端水平保持連桿，原四自由度局部閉鏈機(jī)器人轉(zhuǎn)化為五自由度。在不影響機(jī)器人動力學(xué)建模精度的前提下，結(jié)合機(jī)構(gòu)運(yùn)動特性，將負(fù)載連同末端執(zhí)行器直接固定在前臂末端(靠近負(fù)載一端)，忽略末端執(zhí)行器旋轉(zhuǎn)動作。圖4所示為PTl300型碼垛機(jī)器人等效開鏈機(jī)構(gòu)，將機(jī)器人閉鏈結(jié)構(gòu)拆分成左、右兩路開鏈。由機(jī)器人結(jié)構(gòu)條件得，，和=且左、右支鏈通過機(jī)器人運(yùn)動學(xué)正解所得末端執(zhí)行器位姿應(yīng)保持一致，故易得從動與主動關(guān)節(jié)關(guān)系為=。3．2碼垛機(jī)器人動力學(xué)方程令為關(guān)節(jié)i的驅(qū)動力矩，得到系統(tǒng)的剛體逆動力學(xué)方程為：式中：分別為關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩中的慣性項(xiàng)、速度項(xiàng)和重力項(xiàng)。3．3軌跡規(guī)劃碼垛機(jī)器人主要是應(yīng)用在pick—and-place場合，即碼垛機(jī)器人從傳送帶上抓取物料，沿運(yùn)動路徑將其放置在托盤指定位置的動作循環(huán)。圖5所示為機(jī)器人運(yùn)動路徑，根據(jù)機(jī)器人在完成碼垛作業(yè)時(shí)其與物料傳送帶以及托盤的位置關(guān)系，綜合考慮運(yùn)動過程障礙物情況，選用“門”字形運(yùn)動軌跡加弧線過渡，給定路徑上各關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)值(mm)為：物料抓取點(diǎn)，運(yùn)動路徑轉(zhuǎn)折點(diǎn)及，物料碼放點(diǎn)。機(jī)器人運(yùn)動規(guī)律選擇修正梯形，末端負(fù)載設(shè)定為300kg，采用MATLAB軟件編程方法得到機(jī)器人主臂關(guān)節(jié)按指定路徑及運(yùn)動規(guī)律下的位移、速度及加速度曲線，如圖6所示。3．4優(yōu)化結(jié)果利用窮舉法將彈簧剛度系數(shù)K的取值范圍按間隔1等分，采用MATLAB軟件編程方法得到目標(biāo)函數(shù)f與彈簧剛度系數(shù)K的變化曲線，如圖7所示。目標(biāo)函數(shù)f在K取等分序列第16項(xiàng)時(shí)到達(dá)最小，即彈簧剛度系數(shù)K=26時(shí)，目標(biāo)函數(shù)，值最小。彈簧變形量曲線如圖8所示，彈簧平衡前、后主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩曲線如圖9所示。由圖8所示可知，彈簧在機(jī)器人抓取物料后的提升段(0～1．1s左右)及物料碼放時(shí)的下降段(2．5—3．3s左右)變形較大。由圖9所示可知，經(jīng)過彈簧平衡后，主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩曲線峰值明顯降低，由5232N·m降至4566N·m，降幅到達(dá)12．73％，彈簧平衡效果明顯。同時(shí)，平衡前、后主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩波動量亦伴隨主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩峰值下降而減小。4、結(jié)語本文采用動力學(xué)方法建立了彈簧平衡機(jī)構(gòu)優(yōu)化模型，并將其應(yīng)用于PTl300型碼垛機(jī)器人樣機(jī)，PTl300型碼垛機(jī)器人樣機(jī)如圖10所示，得如下結(jié)論。提出一種基于動力學(xué)的彈簧平衡機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，以主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩最大值最小及主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩波動量最大值最小作為動力學(xué)性能優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化問題。在此根底上，完成平衡彈簧機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)。2)采用Kane法建立的機(jī)器人逆動力學(xué)方程，在給定機(jī)器人運(yùn)動路徑及運(yùn)動規(guī)律的前提下，結(jié)合PTl300型碼垛機(jī)器人搬運(yùn)需求，得到機(jī)器人主臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的變化規(guī)律。3)該方法與靜力學(xué)層面上彈簧平衡機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法相比，平衡實(shí)時(shí)性強(qiáng)，為同類型碼垛機(jī)器人上彈簧平衡機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。結(jié)論：〔1〕主要工作和結(jié)果機(jī)器人動力學(xué)分析研究的是機(jī)器人的運(yùn)動和各關(guān)節(jié)驅(qū)動力〔力矩〕之間的關(guān)系。這種關(guān)系通過建立的機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)方程模型來描述。本文介紹了各種動力學(xué)研究的方法，并通過實(shí)際應(yīng)用的實(shí)例來分析各個(gè)研究方法。在各個(gè)分析方法中都能解決動力學(xué)的分析，但由于牛頓—?dú)W拉法沒有多余信息，計(jì)算速度快；凱恩法計(jì)算效率高，便于計(jì)算機(jī)控制；拉格朗日法基于能量平衡原理，更適合比擬復(fù)雜的機(jī)器人系統(tǒng)的建立，并且具有顯式結(jié)構(gòu)?！?〕心得體會通過本次課程討論，我們更好的理解了根底理論知識，并且使我們