2023年四川省廣元市中考數(shù)學(xué)試卷

四川天地人教育2023年四川省廣元市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意.每小題3分，共30分）1．（3分）﹣的相反數(shù)是（）A． B．2 C．﹣2 D．﹣2．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．2ab﹣2a＝b B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．3a2b÷a＝3a D．（a+2）（2﹣a）＝4﹣a23．（3分）某幾何體是由四個(gè)大小相同的小立方塊拼成，其俯視圖如圖所示，圖中數(shù)字表示該位置上的小立方塊個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）某中學(xué)開展“讀書節(jié)活動(dòng)”，該中學(xué)某語(yǔ)文老師隨機(jī)抽樣調(diào)查了本班10名學(xué)生平均每周的課外閱讀時(shí)間，統(tǒng)計(jì)如表：每周課外閱讀時(shí)間（小時(shí)）2468學(xué)生數(shù)（人）2341下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．眾數(shù)是1 B．平均數(shù)是4.8 C．樣本容量是10 D．中位數(shù)是55．（3分）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情況，下列說(shuō)法中正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定6．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，連接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．56° B．33° C．28° D．23°7．（3分）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．8．（3分）向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深h與注水量v的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．9．（3分）近年來(lái)，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線a為全程10千米的普通道路，路線b包含快速通道，全程7千米，走路線b比路線a平均速度提高40%，時(shí)間節(jié)省10分鐘，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設(shè)走路線a的平均速度為x千米/小時(shí)，依題意，可列方程為（）A． B． C． D．10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點(diǎn)，且3＜m＜4，下列四個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若拋物線過點(diǎn)（1，4），則﹣1＜a＜；④若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實(shí)數(shù)根，則4ac﹣b2≥12a，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對(duì)應(yīng)題目的橫線上．每小題4分，共24分）11．（4分）若式子有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．12．（4分）廣元市聚焦“1345”發(fā)展戰(zhàn)略和“十四五”規(guī)劃，牢牢牽住重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)“牛鼻子”，《2023年廣元市重點(diǎn)項(xiàng)目名單》共編列項(xiàng)目300個(gè)，其中生態(tài)環(huán)保項(xiàng)目10個(gè)，計(jì)劃總投資約45億元，將45億這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．13．（4分）如圖，a∥b，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF，分別交直線a，b于點(diǎn)C，D，連接AC，若∠CDA＝34°，則∠CAB的度數(shù)為．14．（4分）在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，因此我們稱這個(gè)三角形為“楊輝三角”，根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三個(gè)數(shù)為．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．16．（4分）如圖，∠ACB＝45°，半徑為2的⊙O與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)t＝PE+PF，則t的取值范圍是．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程，共96分）17．（6分）計(jì)算：+|﹣2|+20230﹣（﹣1）1．18．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（+）÷，其中x＝+1，y＝．19．（8分）如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形紙片沿邊BC上的高AD剪成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形．（1）畫出這個(gè)平行四邊形（畫出一種情況即可）；（2）根據(jù)（1）中所畫平行四邊形求出兩條對(duì)角線長(zhǎng)．20．（9分）為進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某校開展以“文化、科技、體育、藝術(shù)、勞動(dòng)”為主題的活動(dòng)，其中體育活動(dòng)有“一分鐘跳繩”比賽項(xiàng)目，為了解學(xué)生“一分鐘跳繩”的能力，體育老師隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試并將測(cè)試成績(jī)作為樣本，繪制出如圖所示的頻數(shù)分布直方圖（從左到右依次為第一到第六小組，每小組含最小值，不含最大值）和扇形統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息解答下列問題：（1）求第四小組的頻數(shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）若“一分鐘跳繩”不低于160次的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，本校學(xué)生共有1260人，請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生“一分鐘跳繩”成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；（3）若“一分鐘跳繩”不低于180次的成績(jī)?yōu)闈M分，經(jīng)測(cè)試某班恰有3名男生1名女生成績(jī)?yōu)闈M分，現(xiàn)要從這4人中隨機(jī)抽取2人去參加學(xué)校組織的“一分鐘跳繩”比賽，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是男生的概率．21．（9分）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬(wàn)戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長(zhǎng)度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120°，當(dāng)其中一片風(fēng)葉OB與塔干OD疊合時(shí)，在與塔底D水平距離為60米的E處，測(cè)得塔頂部O的仰角∠OED＝45°，風(fēng)葉OA的視角∠OEA＝30°．（1）已知α，β兩角和的余弦公式為：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，請(qǐng)利用公式計(jì)算cos75°；（2）求風(fēng)葉OA的長(zhǎng)度．22．（10分）某移動(dòng)公司推出A，B兩種電話計(jì)費(fèi)方式．計(jì)費(fèi)方式月使用費(fèi)/元主叫限定時(shí)間/min主叫超時(shí)費(fèi)/（元/min）被叫A782000.25免費(fèi)B1085000.19免費(fèi)（1）設(shè)一個(gè)月內(nèi)用移動(dòng)電話主叫時(shí)間為tmin，根據(jù)上表，分別寫出在不同時(shí)間范圍內(nèi)，方式A，方式B的計(jì)費(fèi)金額y1，y2關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）若你預(yù)計(jì)每月主叫時(shí)間為350min，你將選擇A，B哪種計(jì)費(fèi)方式，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你根據(jù)月主叫時(shí)間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計(jì)費(fèi)方式．23．（10分）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+6的圖象與反比例函數(shù)y＝（m＞0）的圖象交于A（3，4），B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，將直線AB沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)D，E．（1）求k，m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接AD，CD，求△ACD的面積．24．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，OF⊥BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠BCD＝∠BOE；（2）若sin∠CAB＝，AB＝10，求BD的長(zhǎng)．25．（12分）如圖1，已知線段AB，AC，線段AC繞點(diǎn)A在直線AB上方旋轉(zhuǎn)，連接BC，以BC為邊在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC＝30°．（1）若∠BDC＝90°，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，連接DE，用等式表示線段AC與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，在（1）的條件下，若DE⊥AB，AB＝4，AC＝2，求BC的長(zhǎng)；（3）如圖3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，當(dāng)AD的值最大時(shí)，求此時(shí)tan∠CBA的值．26．（14分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）已知E為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AP交y軸于點(diǎn)M，連接BP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，OM+ON是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2023年四川省廣元市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意.每小題3分，共30分）1．（3分）﹣的相反數(shù)是（）A． B．2 C．﹣2 D．﹣【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：﹣的相反數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)，在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)就是這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．2．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．2ab﹣2a＝b B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．3a2b÷a＝3a D．（a+2）（2﹣a）＝4﹣a2【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，平方差公式，同底數(shù)冪的乘法，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解答】解：2ab與2a不是同類項(xiàng)，不能進(jìn)行加減計(jì)算，故A錯(cuò)誤；根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加可知：a2?a3＝a5，故B錯(cuò)誤；3a2b÷a＝3ab，故C錯(cuò)誤；根據(jù)平方差公式可得：（a+2）（2﹣a）＝4﹣a2，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（3分）某幾何體是由四個(gè)大小相同的小立方塊拼成，其俯視圖如圖所示，圖中數(shù)字表示該位置上的小立方塊個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】先細(xì)心觀察原立體圖形中正方體的位置關(guān)系，從左面看去，一共兩列，左邊有1個(gè)小正方形，右邊有2個(gè)小正方形，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)選出答案．【解答】解：從左面看去，一共兩列，左邊有1個(gè)小正方形，右邊有2個(gè)小正方形，左視圖是：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的三視圖，掌握左視圖是從左面看到的圖形是關(guān)鍵．4．（3分）某中學(xué)開展“讀書節(jié)活動(dòng)”，該中學(xué)某語(yǔ)文老師隨機(jī)抽樣調(diào)查了本班10名學(xué)生平均每周的課外閱讀時(shí)間，統(tǒng)計(jì)如表：每周課外閱讀時(shí)間（小時(shí)）2468學(xué)生數(shù)（人）2341下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．眾數(shù)是1 B．平均數(shù)是4.8 C．樣本容量是10 D．中位數(shù)是5【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)樣本容量的定義對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)中位數(shù)的定義對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，所以A選項(xiàng)符合題意；B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（2×2+4×3+6×4+8×1）＝4.8，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．樣本容量為10，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．也考查了總體、樣本容量、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)．5．（3分）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情況，下列說(shuō)法中正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【分析】先確定a、b、c的值，在計(jì)算b2﹣4ac即可．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝，∴b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式，一元二次方程中根的判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式等于0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式小于0，方程無(wú)解．6．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，連接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．56° B．33° C．28° D．23°【分析】先由平角定義求得∠AOD＝56°，再利用圓周角定理可求∠ACD．【解答】解：∵∠BOD＝124°，∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD＝∠AOD＝28°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是圓周角定理的應(yīng)用，利用平角定義求得∠AOD＝56°是解決本題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．【分析】先連接OC，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和圖形，可以得到陰影部分的面積等于扇形BOC的面積，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：連接OC，如圖所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四邊形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四邊形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S陰影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（3分）向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深h與注水量v的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)題意，從水瓶的構(gòu)造形狀上看，從底部到頂部的變化關(guān)系為：開始寬，逐漸細(xì)小，再變寬，再?gòu)暮瘮?shù)的圖象上看，即可得解．【解答】解：依據(jù)題意，從水瓶的構(gòu)造形狀上看，從底部到頂部的變化關(guān)系為：開始寬，逐漸細(xì)小，再變寬．則注入的水量V隨水深h的變化關(guān)系為：先慢再快，最后又變慢．那么從函數(shù)的圖象上看，C對(duì)應(yīng)的圖象變化為先快再慢，最后又變快，不符合．A、B對(duì)應(yīng)的圖象中間沒有變化，只有D符合條件．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的定義及函數(shù)的圖象的關(guān)系，抓住變量之間的變化關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（3分）近年來(lái)，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線a為全程10千米的普通道路，路線b包含快速通道，全程7千米，走路線b比路線a平均速度提高40%，時(shí)間節(jié)省10分鐘，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設(shè)走路線a的平均速度為x千米/小時(shí)，依題意，可列方程為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)走兩條路線速度間的關(guān)系，可得出走路線b的平均速度為（1+40%）x千米/時(shí)，利用時(shí)間＝路程÷速度，結(jié)合走路線b比走路線a全程少用10分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解答】解：∵走路線b的平均車速比走路線a能提高40%，且走路線a的平均速度為x千米/時(shí)，∴走路線b的平均速度為（1+40%）x千米/時(shí)．根據(jù)題意得：﹣＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點(diǎn)，且3＜m＜4，下列四個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若拋物線過點(diǎn)（1，4），則﹣1＜a＜；④若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實(shí)數(shù)根，則4ac﹣b2≥12a，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①根據(jù)題意得出開口向下，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，即可判b＞0，c＞0，則abc＜0；②根據(jù)對(duì)稱軸是直線x＝﹣＞1，計(jì)算﹣b＜2a，由拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），得到a﹣b+c＝0，即可得到3a+c＞0；③由待定系數(shù)法確定拋物線y＝ax2+2x+2﹣a，根據(jù)題意拋物線為y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，即可得出﹣am＝2﹣a，則m＝＝1﹣，根據(jù)3＜m＜4，即可得出關(guān)于a的不等式，解得即可；④拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）與直線y＝3有交點(diǎn)，即可得出，求得4ac﹣b2≤12a．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，且3＜m＜4，∴對(duì)稱軸x＝＞1，∴對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；∵﹣＞1，a＜0，∴﹣b＜2a，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＞0，故②正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），點(diǎn)（1，4），∴，解得，∵拋物線y＝ax2+2x+2﹣a，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點(diǎn)，∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，∴﹣am＝2﹣a，∴m＝＝1﹣，∵3＜m＜4，∴3＜1﹣＜4，∵a＜0，∴﹣1＜a＜，故③正確；∵若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實(shí)數(shù)根，∴拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）與直線y＝3有交點(diǎn)，∴，∴4ac﹣b2≤12a，故④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對(duì)應(yīng)題目的橫線上．每小題4分，共24分）11．（4分）若式子有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x＞3．【分析】根據(jù)記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：x﹣3＞0，解得：x＞3，故答案為：x＞3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．12．（4分）廣元市聚焦“1345”發(fā)展戰(zhàn)略和“十四五”規(guī)劃，牢牢牽住重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)“牛鼻子”，《2023年廣元市重點(diǎn)項(xiàng)目名單》共編列項(xiàng)目300個(gè)，其中生態(tài)環(huán)保項(xiàng)目10個(gè)，計(jì)劃總投資約45億元，將45億這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為4.5×109．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：45億＝4500000000＝4.5×109．故答案為：4.5×109．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖，a∥b，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF，分別交直線a，b于點(diǎn)C，D，連接AC，若∠CDA＝34°，則∠CAB的度數(shù)為56°．【分析】由作圖可知CD垂直平分線段AB，推出CA＝CB，再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)求解．【解答】解：由作圖可知CD垂直平分線段AB，∴CA＝CB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD，∵a∥b，∴∠ADC＝∠BCD＝34°，∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣68°）＝56°．故答案為：56°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，平行線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．14．（4分）在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，因此我們稱這個(gè)三角形為“楊輝三角”，根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三個(gè)數(shù)為21．【分析】根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出（a+b）8的展開式中第三項(xiàng)．【解答】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)（a+b）3的第三項(xiàng)系數(shù)為3＝1+2；（a+b）4的第三項(xiàng)系數(shù)為6＝1+2+3；（a+b）5的第三項(xiàng)系數(shù)為10＝1+2+3+4；不難發(fā)現(xiàn)（a+b）n的第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），因?yàn)榈诎诵袨椋╝+b）7，∴（a+b）7展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)是1+2+3+…+6＝21，∴第八行從左到右第三個(gè)數(shù)為為21．故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，通過觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題的能力．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）．【分析】設(shè)C（a，0），結(jié)合A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，通過解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，過C點(diǎn)作CD∥y軸交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，利用平行線的性質(zhì)可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入計(jì)算可求解a值，進(jìn)而可求解．【解答】解：設(shè)C（a，0），∴OC＝a，∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC，過C點(diǎn)作CD∥y軸交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，∴，CD＝BC，∴，∴，解得a＝0（舍去）或a＝，∴C（，0），故答案為：（，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)的綜合運(yùn)用，作適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，∠ACB＝45°，半徑為2的⊙O與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)t＝PE+PF，則t的取值范圍是2≤t≤4+2．【分析】設(shè)半徑為2的⊙O與角的兩邊相切于M，N，連接OM，ON，延長(zhǎng)NO交CB于D，求得∠CND＝∠OMD＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CDN＝45°，求得OD＝2，得到CN＝DN＝2+2，如圖1，延長(zhǎng)EP交BC于Q，推出△ECQ與△PFQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CE＝EQ，PQ＝PF，求得t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ，當(dāng)EQ與⊙O相切且點(diǎn)P在圓心的右側(cè)時(shí)，t有最大值，連接OP，則四邊形ENOP是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EN＝OP＝2，求得t＝4+2；如圖2，當(dāng)EQ與⊙O相切且點(diǎn)P在圓心的，左側(cè)時(shí)，t有最小值，同理可得t＝2，于是得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)半徑為2的⊙O與角的兩邊相切于M，N，連接OM，ON，延長(zhǎng)NO交CB于D，∴∠CND＝∠OMD＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CND是等腰直角三角形，∴∠CDN＝45°，∵ON＝OM＝2，∴OD＝2，∴CN＝DN＝2+2，如圖1，延長(zhǎng)EP交BC于Q，∵EQ⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠EQC＝45°，∴△ECQ與△PFQ是等腰直角三角形，∴CE＝EQ，PQ＝PF，∴t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ，當(dāng)EQ與⊙O相切且點(diǎn)P在圓心的右側(cè)時(shí)，t有最大值，連接OP，則四邊形ENOP是正方形，∴EN＝OP＝2，∴t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ＝CE＝CN+EN＝2+2＝4+2；如圖2，當(dāng)EQ與⊙O相切且點(diǎn)P在圓心的，左側(cè)時(shí)，t有最小值，同理可得t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ＝CE＝CN﹣EN＝2，故t的取值范圍是2≤t≤4+2，故答案為：2≤t≤4+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程，共96分）17．（6分）計(jì)算：+|﹣2|+20230﹣（﹣1）1．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式＝+2﹣+1+1＝+2﹣+1+1＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．18．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（+）÷，其中x＝+1，y＝．【分析】直接利用分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝?＝?＝，當(dāng)x＝+1，y＝時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確化簡(jiǎn)分式是解題關(guān)鍵．19．（8分）如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形紙片沿邊BC上的高AD剪成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形．（1）畫出這個(gè)平行四邊形（畫出一種情況即可）；（2）根據(jù)（1）中所畫平行四邊形求出兩條對(duì)角線長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的判定可得；（2）分三種情況討論，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）如圖①以AB為對(duì)角線，如圖②以AD為對(duì)角線，如圖③以BD為對(duì)角線；（2）∵AB＝AC＝BC＝4，AD⊥BC，∴BD＝DC＝2，∴AD＝2，如圖①所示：四邊形ACBD是矩形，則其對(duì)角線AB的長(zhǎng)為4；如圖②所示：AD＝2，連接BC，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，則EC＝2，BE＝2BD＝4，∴BC＝2；如圖③所示：過點(diǎn)A作AE⊥CB，交CB延長(zhǎng)線于E，連接AC，∴BD＝2，由題意可得：AE＝2，EC＝2BE＝4，∴AC＝＝＝2，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．20．（9分）為進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某校開展以“文化、科技、體育、藝術(shù)、勞動(dòng)”為主題的活動(dòng)，其中體育活動(dòng)有“一分鐘跳繩”比賽項(xiàng)目，為了解學(xué)生“一分鐘跳繩”的能力，體育老師隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試并將測(cè)試成績(jī)作為樣本，繪制出如圖所示的頻數(shù)分布直方圖（從左到右依次為第一到第六小組，每小組含最小值，不含最大值）和扇形統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息解答下列問題：（1）求第四小組的頻數(shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）若“一分鐘跳繩”不低于160次的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，本校學(xué)生共有1260人，請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生“一分鐘跳繩”成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；（3）若“一分鐘跳繩”不低于180次的成績(jī)?yōu)闈M分，經(jīng)測(cè)試某班恰有3名男生1名女生成績(jī)?yōu)闈M分，現(xiàn)要從這4人中隨機(jī)抽取2人去參加學(xué)校組織的“一分鐘跳繩”比賽，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是男生的概率．【分析】（1）先利用第二次的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再計(jì)算出第四小組的頻數(shù)，然后補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）用1260乘以樣本中第5組和第6組的頻率即可；（3）畫樹狀圖為展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出兩名都是男生的結(jié)果數(shù)．然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12÷20%＝60（人），所以第四小組的頻數(shù)為60﹣6﹣12﹣18﹣10﹣4＝10，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖為：（2）1260×＝294（人），所以估計(jì)該校學(xué)生“一分鐘跳繩”成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)294人；（3）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩名都是男生的結(jié)果數(shù)為6，所以所選2人都是男生的概率＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了統(tǒng)計(jì)圖．21．（9分）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬(wàn)戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長(zhǎng)度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120°，當(dāng)其中一片風(fēng)葉OB與塔干OD疊合時(shí)，在與塔底D水平距離為60米的E處，測(cè)得塔頂部O的仰角∠OED＝45°，風(fēng)葉OA的視角∠OEA＝30°．（1）已知α，β兩角和的余弦公式為：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，請(qǐng)利用公式計(jì)算cos75°；（2）求風(fēng)葉OA的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)兩角和的余弦公式把75°角分成兩個(gè)特殊角30°和45°，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值代入求值即可；（2）過點(diǎn)A作AF⊥OE于F，先判斷△AOE是等腰三角形，然后解直角三角形的方法先求出OF的長(zhǎng)，再求出OA的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）由題意得：cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°＝；（2）由題意得：∠OED＝45°，DE＝60米，∴OE＝米，∠DOE＝45°，∴∠AOE＝120°﹣45°＝75°，又∵∠OEA＝30°．∴∠OAE＝75°，∴EA＝OE＝米，如圖，過點(diǎn)A作AF⊥OE于F，在Rt△AEF中，∠AEF＝30°，AE＝米，∴EF＝米，∴OF＝（）米，在Rt△AOF中，cos∠AOF＝，∵∠AOF＝75°，OF＝（）米，∴OA＝米．【點(diǎn)評(píng)】本題是解直角三角形的應(yīng)用綜合題，主要考查仰角俯角問題，特殊角的銳角三角函數(shù)值，深入理解題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵．22．（10分）某移動(dòng)公司推出A，B兩種電話計(jì)費(fèi)方式．計(jì)費(fèi)方式月使用費(fèi)/元主叫限定時(shí)間/min主叫超時(shí)費(fèi)/（元/min）被叫A782000.25免費(fèi)B1085000.19免費(fèi)（1）設(shè)一個(gè)月內(nèi)用移動(dòng)電話主叫時(shí)間為tmin，根據(jù)上表，分別寫出在不同時(shí)間范圍內(nèi)，方式A，方式B的計(jì)費(fèi)金額y1，y2關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）若你預(yù)計(jì)每月主叫時(shí)間為350min，你將選擇A，B哪種計(jì)費(fèi)方式，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你根據(jù)月主叫時(shí)間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計(jì)費(fèi)方式．【分析】（1）設(shè)方式A的計(jì)費(fèi)金額y1（元），方式B的計(jì)費(fèi)金額y2（元），根據(jù)表格即可得出y1和y2的函數(shù)解析式；（2）將t＝350分別代入（1）中求得的函數(shù)解析式中，在比較大小即可得到結(jié)果；（3）令y1＝108，求出此時(shí)的t值，再以此分析即可求解．【解答】解：（1）設(shè)方式A的計(jì)費(fèi)金額y1（元），方式B的計(jì)費(fèi)金額y2（元），根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，當(dāng)0≤t≤200時(shí)，y1＝78；當(dāng)t＞200時(shí)，y1＝78+0.25（t﹣200）＝0.25t+28；當(dāng)0≤t≤500時(shí)，y2＝108；當(dāng)t＞500時(shí)，y2＝108+0.19（t﹣500）＝0.19t+13；綜上，，；（2）選擇方式B計(jì)費(fèi)，理由如下：當(dāng)每月主叫時(shí)間為350min時(shí)，y1＝0.25×350+28＝115.5，y2＝108，∵115.5＞108，∴選擇方式B計(jì)費(fèi)；（3）令y1＝108，得0.25t+28＝108，解得：t＝320，∴當(dāng)0≤t＜320時(shí)，y1＜108＜y2，∴當(dāng)0≤t＜320時(shí)，方式A更省錢；當(dāng)t＝320，方式A和B的付費(fèi)金額相同；當(dāng)t＞320，方式B更省錢．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，利用表格數(shù)據(jù)正確得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．23．（10分）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+6的圖象與反比例函數(shù)y＝（m＞0）的圖象交于A（3，4），B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，將直線AB沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)D，E．（1）求k，m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接AD，CD，求△ACD的面積．【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝kx+6y＝（m＞0）求出k、m的值即可；把y＝0代入直線AB的解析式，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；（2）延長(zhǎng)DA交x軸于點(diǎn)F，先求出AB平移后的關(guān)系式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出AD的解析式，得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)S△ACD＝S△CDF﹣S△CAF求出結(jié)果即可．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+6的圖象與反比例函數(shù)y＝（m＞0）的圖象交于A（3，4），B兩點(diǎn)，∴4＝3k+6，4＝，∴k＝﹣，m＝12，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣，反比例函數(shù)的解析式為y＝，把y＝0代入y＝﹣得：0＝﹣，解得x＝9，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（9，0）；（2）延長(zhǎng)DA交x軸于點(diǎn)F，將直線AB沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后解析式為y＝﹣+3＝﹣x+9，由，解得，∴D（，8），設(shè)直線AD的解析式為y＝ax+b，把A、D的坐標(biāo)代入得，解得，∴直線AD的解析式為y＝﹣+12，令y＝0，則0＝﹣+12，解得x＝，∴F（，0），∴CF＝9﹣＝，∴S△ACD＝S△CDF﹣S△CAF＝﹣＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，整理掌握待定系數(shù)法以及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．24．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，OF⊥BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠BCD＝∠BOE；（2）若sin∠CAB＝，AB＝10，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCD＝90°，求得∠OCB+∠BCD＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB＝∠OBC，等量代換得到∠BCD＝∠BOE；（2）過B作BH⊥CD于H，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC＝6，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BOE＝∠CAB，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BH＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD＝90°，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∵OF⊥BC，∴∠BEO＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD＝∠BOE；（2）解：過B作BH⊥CD于H，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵sin∠CAB＝＝，AB＝10，∴BC＝6，∵OF⊥BC，∴AC∥OF，∴∠BOE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠BOE，∴∠BAC＝∠BCD，∴sin∠CAB＝sin∠DCB＝＝，∴BH＝，∵OC⊥CD，BH⊥CD，∴BH∥OC，∴△BDH∽△ODC，∴，∴，解得BD＝，故BD的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（12分）如圖1，已知線段AB，AC，線段AC繞點(diǎn)A在直線AB上方旋轉(zhuǎn)，連接BC，以BC為邊在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC＝30°．（1）若∠BDC＝90°，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，連接DE，用等式表示線段AC與DE的數(shù)量關(guān)系是AC＝DE；（2）如圖2，在（1）的條件下，若DE⊥AB，AB＝4，AC＝2，求BC的長(zhǎng)；（3）如圖3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，當(dāng)AD的值最大時(shí)，求此時(shí)tan∠CBA的值．【分析】（1）證明△ABE∽△CBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，∠DBE＝∠CBA，進(jìn)而證明△ABC∽△EBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）求出AE＝2，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，在Rt△AEF中，由直角三角形的性質(zhì)求得EF，AF，進(jìn)而求得BF的長(zhǎng)，根據(jù)（1的結(jié)論，得出，在Rt△BFD中，勾股定理求得BD，進(jìn)而根據(jù)△ABC∽△EBD，即可求出案．（3）如圖所示，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB＝90°，∠EBA＝30°，連接BE，EA，ED，EC，同（1）可得△BDE∽△BCA，求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出D在以E為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，AD的值最大，進(jìn)而求得，，根據(jù)△ABC∽△EBD得出∠BDE＝∠BCA，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，由直角三角形的性質(zhì)分別求得AF，CF，然后求出BF，最后根據(jù)正切的定義即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BDC中，∠DBC＝30°，在Rt△BAE中，∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，∴△ABE∽△CBD，∠DBE+∠EBC＝∠ABC+∠EBC，，∴，∠DBE＝∠CBA，∴△ABC∽△EBD，∴，∴，故答案為：AC＝DE；（2）在Rt△BAE，∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，AB＝4，∴AE＝AB?sin∠EBA＝AB＝2，∠BAE＝60°，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，如圖所示，∴，，∴BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，由（1）可得，∴，∴，在Rt△BFD中，，∵△ABC∽△EBD，∴，∴，即；（3）如圖所示，以AB為邊在AB