高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)送分題 題型專題（六）算法、復(fù)數(shù)、推理與證明用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

題型專題(六)算法、復(fù)數(shù)、推理與證明1．復(fù)數(shù)的除法復(fù)數(shù)的除法一般是先將分母實數(shù)化，即分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)再進(jìn)一步化簡．2．復(fù)數(shù)運算中常見的結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[題組練透]1．(2016·全國丙卷)若z＝1＋2i，則＝()A．1B．－1C．iD．－i解析：選C因為z＝1＋2i，則z＝1－2i，所以＝(1＋2i)(1－2i)＝5，則＝eq\f(4i,4)＝i.故選C.2．(2016·廣州模擬)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(3＋i,1－i)，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選D∵z＝eq\f(3＋i,1－i)＝eq\f(（3＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(2＋4i,2)＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z所對應(yīng)的點(1，－2)在第四象限．3．(2016·武昌調(diào)研)已知(1＋2i)z＝4＋3i(其中i是虛數(shù)單位，z是z的共軛復(fù)數(shù))，則z的虛部為()A．1B．－1C．iD．－i解析：選A因為z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(（4＋3i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，所以z＝2＋i，故選A.4．(2016·河南六市聯(lián)考)已知i為虛數(shù)單位，a∈R，若eq\f(2－i,a＋i)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z＝2a＋eq\r(2)i的模等于()A.eq\r(2)B.eq\r(11)C.eq\r(3)D.eq\r(6)解析：選C由題意得，eq\f(2－i,a＋i)＝ti，t≠0，∴2－i＝－t＋tai，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t＝2，,ta＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－2，,a＝\f(1,2)，))∴z＝2a＋eq\r(2)i＝1＋eq\r(2)i，|z|＝eq\r(3)，故選C.[技法融會]復(fù)數(shù)問題的解題思路(1)以復(fù)數(shù)的基本概念、幾何意義、相等的條件為基礎(chǔ)，結(jié)合四則運算，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式列方程或方程組解決問題．(2)若與其他知識結(jié)合考查，則要借助其他的相關(guān)知識解決問題.利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法要注意的3個問題(1)要選擇準(zhǔn)確的表示累計的變量；(2)要注意在哪一步結(jié)束循環(huán)；(3)完整執(zhí)行每一次循環(huán)，防止執(zhí)行程序不徹底，造成錯誤．[題組練透]1．(2016·全國乙卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x＝0，y＝1，n＝1，則輸出x，y的值滿足()A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝5x解析：選C輸入x＝0，y＝1，n＝1，運行第一次，x＝0，y＝1，不滿足x2＋y2≥36；運行第二次，x＝eq\f(1,2)，y＝2，不滿足x2＋y2≥36；運行第三次，x＝eq\f(3,2)，y＝6，滿足x2＋y2≥36，輸出x＝eq\f(3,2)，y＝6.由于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))在直線y＝4x上，故選C.2．(2015·湖南高考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n＝3，則輸出的S＝()A.eq\f(6,7)B.eq\f(3,7)C.eq\f(8,9)D.eq\f(4,9)解析：選B第一次循環(huán)：S＝eq\f(1,1×3)，i＝2；第二次循環(huán)：S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)，i＝3；第三次循環(huán)：S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)，i＝4，滿足循環(huán)條件，結(jié)束循環(huán)．故輸出S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7))＝eq\f(3,7).3．(2016·河南六市聯(lián)考)運行如圖所示的程序，若結(jié)束時輸出的結(jié)果不小于3，則t的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))解析：選B依次運行程序框圖中的語句可得，n＝2，x＝2t，a＝1；n＝4，x＝4t，a＝3；n＝6，x＝8t，a＝3.此時結(jié)束循環(huán)，輸出的ax＝38t≥3，則8t≥1，t≥eq\f(1,8)，故選B.4．(2016·河北五校聯(lián)考)如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是S＝720，則判斷框內(nèi)應(yīng)填的是()A．i≤7B．i>7C．i≤9D．i>9解析：選B第一次運行，i＝10，滿足條件，S＝1×10＝10，i＝9；第二次運行，i＝9滿足條件，S＝10×9＝90，i＝8；第三次運行，i＝8滿足條件，S＝90×8＝720，i＝7；此時不滿足條件，輸出的S＝720.故條件應(yīng)為i＝8，9，10滿足，i＝7不滿足，所以條件應(yīng)為i>7.[技法融會]1．解答程序框圖(流程圖)問題的方法(1)首先要讀懂程序框圖，要熟練掌握程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)，特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)，在累加求和、累乘求積、多次輸入等有規(guī)律的科學(xué)計算中，都有循環(huán)結(jié)構(gòu)．(2)準(zhǔn)確把握控制循環(huán)的變量，變量的初值和循環(huán)條件，弄清在哪一步結(jié)束循環(huán)；弄清循環(huán)體和輸入條件、輸出結(jié)果．(3)對于循環(huán)次數(shù)比較少的可逐步寫出，對于循環(huán)次數(shù)較多的可先依次列出前幾次循環(huán)結(jié)果，找出規(guī)律．2．(易錯提醒)循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩個注意點：(1)注意區(qū)分計數(shù)變量與循環(huán)變量．(2)注意哪一步結(jié)束循環(huán).1．合情推理的解題思路(1)在進(jìn)行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論．(2)在進(jìn)行類比推理時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后通過類比，推導(dǎo)出類比對象的性質(zhì)．(3)歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理關(guān)鍵是看共性．2．類比推理和歸納推理在近幾年高考題中未單獨考查，學(xué)生在復(fù)習(xí)時，應(yīng)重點關(guān)注歸納推理．[題組練透]1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系的格點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)處：點(1，0)處標(biāo)b1，點(1，－1)處標(biāo)b2，點(0，－1)處標(biāo)b3，點(－1，－1)處標(biāo)b4，點(－1，0)處標(biāo)b5，點(－1，1)處標(biāo)b6，點(0，1)處標(biāo)b7，…，以此類推，則b963處的格點的坐標(biāo)為________．解析：觀察已知點(1，0)處標(biāo)b1，即b1×1，點(2，1)處標(biāo)b9，即b3×3，點(3，2)處標(biāo)b25，即b5×5，…，由此推斷點(n，n－1)處標(biāo)b(2n－1)×(2n－1)，因為961＝31×31時，n＝16，故b961處的格點的坐標(biāo)為(16，15)，從而b963處的格點的坐標(biāo)為(16，13)．答案：(16，13)2．(2016·貴陽模擬)已知不等式1＋eq\f(1,4)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,16)<eq\f(7,4)，照此規(guī)律總結(jié)出第n個不等式為________________________________．解析：由已知，三個不等式可以寫成1＋eq\f(1,22)<eq\f(2×2－1,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(2×3－1,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(2×4－1,4)，所以照此規(guī)律可得到第n個不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2（n＋1）－1,n＋1)＝eq\f(2n＋1,n＋1).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2n＋1,n＋1)[技法融會]破解歸納推理題的思維步驟(1)發(fā)現(xiàn)共性，通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特殊的共性或一般規(guī)律)；(2)歸納推理，把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題(猜想)；(3)檢驗，得結(jié)論，對所得的一般性命題進(jìn)行檢驗．一般地，“求同存異”“逐步細(xì)化”“先粗后精”是求解由特殊結(jié)論推廣到一般結(jié)論型創(chuàng)新題的基本技巧．一、選擇題1．(2016·全國乙卷)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：選B∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，故選B.2．(2016·鄭州模擬)設(shè)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則eq\f(2,z)－z＝()A．iB．2－iC．1－iD．0解析：選D因為eq\f(2,z)－z＝eq\f(2,1＋i)－1＋i＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故選D.3．(2016·湖北八校聯(lián)考)有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾乙猜測：3號選手不可能得第一名；觀眾丙猜測：1，2，6號選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4，5，6號選手都不可能獲得第一名．比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結(jié)果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：選D若甲猜測正確，則4號或5號得第一名，那么乙猜測也正確，與題意不符，故甲猜測錯誤，即4號和5號均不是第一名．若丙猜測正確，那么乙猜測也正確，與題意不符，故僅有丁猜測正確，所以選D.4．(2016·福建質(zhì)檢)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若要使輸出的y的值等于3，則輸入的x的值可以是()A．1B．2C．8D．9解析：選C由程序框圖可知，其功能是運算分段函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤1，,3x，1<x≤2，,log2x，x>2，))因為y＝3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x2－1＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<x≤2，,3x＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>2，,log2x＝3，))解得x＝－2或x＝8，故選C.5．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1－i，z2＝a＋2i，若eq\f(z2,z1)的虛部是實部的2倍，則實數(shù)a的值為()A．6B．－6C．2D．解析：選Aeq\f(z2,z1)＝eq\f(a＋2i,1－i)＝eq\f(（a＋2i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(a－2＋（2＋a）i,2)，故該復(fù)數(shù)的實部是eq\f(a－2,2)，虛部是eq\f(a＋2,2).由題意，知eq\f(a＋2,2)＝2×eq\f(a－2,2).解得a＝6.故選A.6．(2016·廣東3月測試)若z＝(a－eq\r(2))＋ai為純虛數(shù)，其中a∈R，則eq\f(a＋i7,1＋ai)＝()A．iB．1C．－iD．－1解析：選C∵z為純虛數(shù)，∴a＝eq\r(2)，∴eq\f(a＋i7,1＋ai)＝eq\f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq\f(（\r(2)－i）（1－\r(2)i）,（1＋\r(2)i）（1－\r(2)i）)＝eq\f(－3i,3)＝－i.7．(2016·南昌一模)從1，2，3，4，5，6，7，8中隨機(jī)取出一個數(shù)為x，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于40的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,8)D.eq\f(1,2)解析：選B依次執(zhí)行程序框圖中的語句，輸出的結(jié)果分別為13，22，31，40，49，58，67，76，所以輸出的x不小于40的概率為eq\f(5,8).8．(2016·鄭州質(zhì)檢)某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是()A．2014B．2015C．2016D．2017解析：選D分析程序框圖可知，當(dāng)i為偶數(shù)時，S＝2017，當(dāng)i為奇數(shù)時，S＝2016，而程序在i＝0時跳出循環(huán)，故輸出的S＝2017，故選D.9．(2016·長春質(zhì)檢)運行如圖所示的程序框圖，則輸出的S值為()A.eq\f(29－1,29)B.eq\f(29＋1,29)C.eq\f(210－1,210)D.eq\f(210,210＋1)解析：選A由程序框圖可知，輸出的結(jié)果是首項為eq\f(1,2)，公比也為eq\f(1,2)的等比數(shù)列的前9項和，即為eq\f(29－1,29)，故選A.10．(2016·全國丙卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a＝4，b＝6，那么輸出的n＝()A．3B．4C．5D．6解析：選B程序運行如下：開始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.第1次循環(huán)：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第2次循環(huán)：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第3次循環(huán)：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第4次循環(huán)：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.此時，滿足條件s>16，退出循環(huán)，輸出n＝4.故選B.11．(2016·山西模擬)運行如圖所示的程序框圖，若輸出的點恰有5次落在直線y＝x上，則判斷框中可填寫的條件是()A．i>6B．i>7C．i>8D．i>9解析：選D依次執(zhí)行程序框圖中的語句：x＝1，y＝1，i＝2，輸出(1，1)(1次)；x＝0，y＝1，i＝3，輸出(0，1)；x＝－1，y＝0，i＝4，輸出(－1，0)；x＝0，y＝0，i＝5，輸出(0，0)(2次)；x＝1，y＝1，i＝6，輸出(1，1)(3次)；x＝0，y＝1，i＝7，輸出(0，1)；x＝－1，y＝0，i＝8，輸出(－1，0)；x＝0，y＝0，i＝9，輸出(0，0)(4次)；x＝1，y＝1，i＝10，輸出(1，1)(5次)，此時跳出循環(huán)，故判斷框中可填寫的條件是“i>9？”，故選D.12．(2016·石家莊一模)如圖所示的數(shù)陣中，用A(m，n)表示第m行的第n個數(shù)，則依此規(guī)律A(8，2)為()eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,10)eq\f(1,12)eq\f(1,10)eq\f(1,15)eq\f(1,22)eq\f(1,22)eq\f(1,15)eq\f(1,21)eq\f(1,37)eq\f(1,44)eq\f(1,37)eq\f(1,21)…A.eq\f(1,45)B.eq\f(1,86)C.eq\f(1,122)D.eq\f(1,167)解析：選C由數(shù)陣知A(3，2)＝eq\f(1,6＋6)，A(4，2)＝eq\f(1,6＋6＋10)，A(5，2)＝eq\f(1,6＋6＋10＋15)，…，則A(8，2)＝eq\f(1,6＋6＋10＋15＋21＋28＋36)＝eq\f(1,122)，選項C正確．二、填空題13．(2016·山西模擬)若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(（2＋i）2,z)＝i，則z＝________.解析：由題意得，z＝eq\f(（2＋i）2,i)＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i.答案：4－3i14．(2016·山東高考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為3，則輸出的S的值為________．解析：第一次循環(huán)：S＝eq\r(2)－1，1＜3，i＝2；第二次循環(huán)：S＝eq\r(3)－1，2＜3，i＝3；第三次循環(huán)：S＝eq\r(4)－1＝1，3≥3，輸出S＝1.答案：115．在平面幾何中：△ABC的∠C的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中(如圖)，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是________．解析：由類比推理的概念可知，平面中線段的比可轉(zhuǎn)化為空間中面積的比，由此可得：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)16．(2016·山東高考)觀察下列等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(4,3)×1×2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,5)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,5)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,5)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(4,3)×2×3；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,7)))