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文檔簡介
2021年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題
第I卷(共24分)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)
1.剪紙是我國古老的民間藝術(shù),下列四個剪紙圖案為軸對稱圖形的是()
W
D.
【答案】C
【解析】
【分析】過一個圖形的一條直線,把這個圖形分成可以完全重合的兩個部分,這個圖形就叫
做軸對稱圖形;根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可.
【詳解】解:A、不軸對稱圖形,本選項不符合題意;
B、不是軸對稱圖形,本選項不符合題意;
C、是軸對稱圖形,本選項符合題意;
D、不是軸對稱圖形,本選項不符合題意.
故選:C.
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊
后可重合.
2.下列各數(shù)為負分?jǐn)?shù)的是()
A.11B.----C.0D.y/^
2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)負分?jǐn)?shù)的定義,在正分?jǐn)?shù)前面加負號的數(shù)叫做負分?jǐn)?shù),即可判斷.
【詳解】解:A、-1是負整數(shù),故本選項不符合題意;
B、是負分?jǐn)?shù),故本選項符合題意;
2
C、0是整數(shù),故本選項不符合題意;
D、73是無理數(shù),故本選項不符合題意;
故選:B.
【點睛】本題主要考查了負分?jǐn)?shù)的概念,解題的關(guān)鍵是要熟練掌握負分?jǐn)?shù)的定義.
3.如圖所示的幾何體,其左視圖是()
【答案】A
【解析】
【分析】左視圖:從左邊看幾何體,看到的平面圖形即是左視圖,能看到的棱用實線表示,
不能看到的用虛線,根據(jù)左視圖的含義可得答案.
【詳解】解:從左邊看過去,可以看到這個幾何體的兩個面,兩個面都是長方形,
兩個長方形是上下兩個長方形,中間的棱可以看到,
所以左視圖是:
故選:A
【點睛】本題考查的是簡單幾何體的三視圖,掌握“從左邊看幾何體,畫左視圖”是解題的
關(guān)鍵.
4.2021年3月5日,李克強總理在政府工作報告中指出,我國脫貧攻堅成果舉世矚目,5575
萬農(nóng)村貧困人口實現(xiàn)脫貧.5575萬=55750000,用科學(xué)記數(shù)法將55750000表示為()
A.5575xlO4B.55.75xlO5C.5.575xlO7D.
0.5575xlO8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義“把一個大于10的數(shù)表示成ax10"的形式(其中a是整數(shù)
位只有一位的數(shù),即。大于或等于1且小于10,〃是正整數(shù)),這樣的記數(shù)方法叫做科學(xué)記
數(shù)法”進行解答即可得.
【詳解】解:55750000=5.575x1()7,
故選C.
【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法,解題的關(guān)鍵是熟記科學(xué)記數(shù)法的定義.
5.如圖,將線段AB先繞原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,再向下平移4個單位,得到線段
A'3',則點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)是()
A.(1,—6)B.(-1,6)C,(1,-2)D.
(T-2)
【答案】D
【解析】
【分析】先求出A點繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的坐標(biāo)為(-1,2),再求向下平移4個單位后
的點的坐標(biāo)即可.
【詳解】解:如圖連接OA將。4點繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90。,得到點2),A"向下平
移4個單位,得到4(-1,-2);
【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化,能夠根據(jù)題意得出旋轉(zhuǎn)、平移后的點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,A3是OO的直徑,點E,。在0。上,點A是EC的中點,過點A畫。。的切
連接EC.若NA£>6=58.5°,則NACE的度數(shù)為()
A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出根據(jù)圓周角定理
得至|JNAC8=9O°,進而求出N84C,根據(jù)垂徑定理得到BA,EC,進而得出答案.
【詳解】解:是。。的切線,
:.BA±AD,
':ZADB=5S.5°,
:.ZB=90°-ZADB=3l.5°,
,:AB是。。的直徑,
,ZACB=90°,
.".ZBAC=90o-ZB=58.5°,
??,點A是弧EC的中點,
:.BA±EC,
:.ZACE=90°-ZBAC=31.5°,
故選:B.
【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理,掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點
的半徑是解題的關(guān)鍵.
7.如圖,在四邊形紙片ABCZ)中,AD//BC,AB=10,4=60。.將紙片折疊,使點
8落在邊上的點G處,折痕為E/L若NBFE=45。,則8尸的長為()
A.5B.3#>C.56D.岸
【答案】C
【解析】
【分析】過點A作A”_L8c于”,由折疊知識得:ZBFG=90°,再由銳角三角函數(shù)可
得AH=56,然后根據(jù)A。/ABC,可證得四邊形AHFG是矩形,即可求解.
【詳解】解:過點A作A”_LBC于",
?;NBFE=45。,
ZBFG=90°,
在RMABH中,AB=10,NB=60°,
A"=sin3xAB=sin60°xl0=—xlO=5>/3
2
-,-AD//BC,
ZGAH=ZAHB=90°,
ZGAH=ZAHB=ZBFG=90°,
四邊形A”FG是矩形,
:.FG=AH=56,
BF=GF=573.
故選:C.
【點睛】本題主要考查了折疊變換,解直角三角形,矩形的判定和性質(zhì),熟練掌握相關(guān)知識
點是解題的關(guān)鍵.
8.已知反比例函數(shù)y=2的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=5+a和二次函數(shù)
X
y=o?+bx+c在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象得出b<0,逐一分析四個選項,根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口
以及對稱軸與y軸的關(guān)系,拋物線與y軸的交點,即可得出“、氏c的正負,由此即可得出
一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限,再與函數(shù)圖象進行對比即可得出結(jié)論.
【詳解】解:???反比例函數(shù)的圖象在二、四象限,
:.b<0,
A、?.?二次函數(shù)圖象開口向上,對稱軸在),軸右側(cè),交y軸的負半軸,
Z?<0,c<0,
一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、四象限,A錯誤;
B、;二次函數(shù)圖象開口向下,對稱軸在),軸右側(cè),
.'.a<0,b>0,
.?.與人<0矛盾,B錯誤;
c、?.?二次函數(shù)圖象開口向下,對稱軸在),軸右側(cè),
:.a<0,h>0,
.?.與。<0矛盾,C錯誤;
D、?.?二次函數(shù)圖象開口向上,對稱軸在y軸右側(cè),交y軸的負半軸,
.,.a<0,b<0,c<0,
,一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、四象限,D正確.
故選:D.
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),根據(jù)函數(shù)圖象與
系數(shù)的關(guān)系進行判斷是解題的關(guān)鍵,同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想.
第II卷(共96分)
二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)
9.計算:氓+1>啦=.
【答案】5
【解析】
【分析】先運用乘法分配律展開,再利用二次根式的乘法法則計算即可,
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算,掌握運算法則是關(guān)鍵.
10.在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球,每個球除顏色外完全相同.搖勻后從
中摸出一個球,記下顏色后再放回袋中.不斷重復(fù)這一過程,共摸球100次.其中有40次
摸到黑球,估計袋中紅球的個數(shù)是.
【答案】6
【解析】
【分析】估計利用頻率估計概率可估計摸到黑球的概率為益,然后根據(jù)概率公式構(gòu)建方
程求解即可.
【詳解】解:設(shè)袋中紅球的個數(shù)是x個,根據(jù)題意得:
4_40
4+x-100'
解得:x=6,
經(jīng)檢驗:尸6是分式方程的解,
即估計袋中紅球的個數(shù)是6個.
故答案為:6.
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率,解題的關(guān)鍵是熟練掌握大量重復(fù)試驗時,事件發(fā)生
的頻率在某個固定位置左右擺動,并且擺動的幅度越來越小,根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理,可
以用頻率的集中趨勢來估計概率,這個固定的近似值就是這個事件的概率用頻率估計概率得
到的是近似值,隨試驗次數(shù)的增多,值越來越精確.
11.列車從甲地駛往乙地.行完全程所需的時間f(h)與行駛的平均速度y(km/h)之間的反
比例函數(shù)關(guān)系如圖所示.若列車要在2.5h內(nèi)到達,則速度至少需要提高到
_________km/h.
【解析】
k
【分析】由設(shè)/=一,再利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式,把f=2.5h代入函數(shù)解析式
v
求解U的值,結(jié)合圖象上點的坐標(biāo)含義可得答案.
k
【詳解】解:由題意設(shè)「=一,
V
把(200,3)代入得:4="=200x3=600,
600
t=----,
v
當(dāng)f=2.5h時,u==240km/h,
所以列車要在2.5h內(nèi)到達,則速度至少需要提高到240km/h,
故答案為:240km/h.
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用,掌握利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式是
解題的關(guān)鍵.
12.已知甲、乙兩隊員射擊的成績?nèi)鐖D,設(shè)甲、乙兩隊員射擊成績的方差分別為S,1蹬,
則足一般.(填“>"、"="、“<”)
【答案】>
【解析】
【分析】先計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再計算它們的方差,即可得出答案.
【詳解】解:甲射擊的成績?yōu)椋?,7,7,7,8,8,9,9,9,10,
乙射擊的成績?yōu)椋?,7,7,8,8,8,8,9,9,10,
則X甲-x(6+7x3+8x2+9x3+10)=8,
-1
x乙=-x(6+7x2+8x4+9x2+10)=8,
10
222222
/.51P=—x[(6-8)+3x(7-8)+2x(8-8)+3x(9-8)+(10-8)]
10
1
=—x[4+3+3+4]
-1.4;
Sz.2=—x[(6-8)2+2x(7-8)2+4x(8-8)2+2x(9-8)2+(10-8)2]
10
=—x14+2+2+4J
10
=1.2;
V1.4>1.2,
*'?S甲2>S乙?,
故答案為:>.
【點睛】題主要考查了平均數(shù)及方差的知識.方差的定義:一般地設(shè)n個數(shù)據(jù),汨,尬,…心
1-
的平均數(shù)為1,則方差群=-I(XI-%)2+(及7)2+…+)2],它反映了一組數(shù)據(jù)的
n
波動大小,方差越大,波動性越大,反之也成立.
13.如圖,正方形ABCO內(nèi)接于。。,PA,PD分別與。。相切于點A和點。,PO的
延長線與8c的延長線交于點E.已知AB=2,則圖中陰影部分的面積為.
【答案】5—萬
【解析】
【分析】連接AC,0D,根據(jù)已知條件得到AC是。。的直徑,NAO£>=90。,根據(jù)切線的性
質(zhì)得到/匕1。=/「。。=90。,得到△CCE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得
到PE=342,根據(jù)梯形和圓的面積公式即可得到答案.
【詳解】解:連接AC,0D,
?.?四邊形BCO是正方形,
ZB=90°,
.?.AC是。。的直徑,ZAOD=90°,
'.'PA,PD分別與。。相切于點A和點。,
:.ZPAO=ZPDO=90°,
四邊形AODP是矩形,
,/OA=OD,
矩形40DP是正方形,
ZP=90°,AP=AO,AC//PE,
:.NE=/ACB=45。,
/XCDE是等腰直角三角形,
':AB=2,
.??AC=2AO=2狡,OE=08=20,
:.AP=PD=A0=y/2,
:.PE=3O,
;?圖中陰影部分的面積
=L(AC+PE)?AP—,40?.?=_LQa+3及)x及一,(及)2.?=5—萬
2222
故答案為:5-n.
【點睛】本題考查了正多邊形與圓,正方形的性質(zhì),切線的性質(zhì),等腰直角三角形的判定和
性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
14.已知正方形A8C。的邊長為3,E為CD上一點,連接AE并延長,交8C的延長線于
點、F,過點。作。G_LAE,交AF于點H,交BF于點G,N為EF的中點、,M為BD
【答案】2M
【解析】
[分析]由正方形的性質(zhì),可得A點與C點關(guān)于對稱,則有MN+CM=MN+AM>AN,
所以當(dāng)A、M、N三點共線時,MN+CM的值最小為AN,先證明△QCG~4FCE,再由
S入ncc1CD1
=~,可得---=一,分別求出DE=1,CE=2,CF=6,即可求出AN.
Sc"CE4CF2
【詳解】解:,?,四邊形43CO是正方形,
??.A點與C點關(guān)于8。對稱,
.?.CM=AM,
/.MN+CM=MN+AM,AN,
???當(dāng)4、M、N三點共線時,MN+CM的值最小,
9:AD//CF,
:.ZDAE=ZF,
???ZDAE+ZDEH=90°t
?;DG_LAF,
,NCDG+/DEH=90。,
:?NDAE=NCDG,
:.ZCDG=ZF,
:?△DCG~2FCE,
..$4DCG=J_
S△尸CE4
?CD1
??=—f
CF2
?.?正方形邊長為3,
:.CF=6,
':AD//CF,
ADDE1
^F~^E~2,
:.DE=\,CE=2,
在對△(?£:尸中,EgCU+CF2,
二EF=4爰+?=2亞,
是反的中點,
EN=M,
在R/Z\A£?E中,EA^AD^DE2,
AE=d乎+F=V10,
AN=2M,
??.MN+MC的最小值為2廂.
故答案為:2JIU-
【點睛】本題考查軸對稱求最短距離,熟練掌握正方形的性質(zhì),用軸對稱求最短距離的方法,
靈活應(yīng)用三角形相似、勾股定理是解題的關(guān)鍵.
三、作圖題(本大題滿分4分)
15.己知:NO及其一邊上的兩點A,B.
求作:RSABC,使NC=90°,且點CN。內(nèi)部,ZBAO=ZO.
oB
【答案】見解析
【解析】
【分析】先在NO的內(nèi)部作ND4B=N。,再過B點作的垂線,垂足為C點.
【詳解】解:如圖,為所作.
O
【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖:解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)
合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.
四、解答題(本大題共9小題,共74分)
,,..(2x+1)x1-1
16.(1)計算:I-----I-----;
1-2%<3
(2)解不等式組:\-ix-2,并寫出它的整數(shù)解.
----<1
I4
Y-4-1
【答案】(1)-~-;(2)-l<x<2,整數(shù)解為-1,0,1
X—1
【解析】
[分析】(1)根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式即可;
(2)首先分別求出兩個不等式的解集,注意不等式②要改變不等號方向,再利用不等式取解
集的方法,即可求出解集。
【詳解】(1)解:原式=『±2五1+二21
XX
(x+1)2X
XU-DU+1)
x+1
X—1
(2)解:解不等式①得:x>-l,
解不等式②得:x<2,
不等式組的解集為-l<x<2.
,不等式組的整數(shù)解為-1,0,1.
【點睛】本題考查的主要知識點是分式的混合運算順序、運算法則化以及一元一次不等式組
的解法,解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運算順序、運算法則和一元一次不等式組的解法.
17.為踐行青島市中小學(xué)生“十個一”行動,某校舉行文藝表演,小靜和小麗想合唱一首
歌.小靜想唱《紅旗飄飄》,而小麗想唱《大海啊,故鄉(xiāng)》.她們想通過做游戲的方式來決定
合唱哪一首歌,于是一起設(shè)計了一個游戲:下面是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,每個轉(zhuǎn)盤被分
成面積相等的幾個扇形.同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,若兩個指針指向的數(shù)字之積小于4,則合唱《大
海啊,故鄉(xiāng)》,否則合唱《紅旗飄飄》;若指針剛好落在分割線上,則需要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.請
用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平.
A轉(zhuǎn)盤
【答案】不公平,見解析
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與數(shù)字之積小于4
的情況,再利用概率公式求出合唱《大海啊,故鄉(xiāng)》和合唱《紅旗飄飄》的概率,然后進行
比較,即可得出答案.
【詳解】解:根據(jù)題意畫樹狀圖如下:
開始
123
/TV.
123412341234
?共有12種等可能的結(jié)果,其中數(shù)字之積小于4的有5種結(jié)果,
...合唱《大海啊,故鄉(xiāng)》的概率是2,
12
7
???合唱《紅旗飄飄》的概率是一,
12
,57
?—〈—,
1212
游戲不公平.
【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率,概率
相等就公平,否則就不公平.
18.某校數(shù)學(xué)社團開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動,準(zhǔn)備測量一棟大樓8C的高度.如
圖所示,其中觀景平臺斜坡£>£的長是20米,坡角為37。,斜坡。E底部。與大樓底端C
的距離C£>為74米,與地面8垂直的路燈AE的高度是3米,從樓頂5測得路燈AE項
端A處的俯角是42.6°.試求大樓8c的高度.
3431734
(參考數(shù)據(jù):sin37°,2,cos37°?-,tan37°a-,sin42.6°儀一,cos42.6°?—,
5542545
【答案】96米
【解析】
【分析】延長AE交CD延長線于M,過A作AN1.BC于N,則四邊形AMCN是矩形,得
NC=AM,AN=MC,由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長,得出AN的長,然后由銳角
三角函數(shù)求出BN的長,即可求解.
【詳解】延長AE交8于點例,
過點A作交BC于點N,
由題意得,ZAMC=/NCM=ZANC=90。,
...四邊形AMCN為矩形,
:.NC=AM,NA=CM.
在用中,NEMD=90°,
.EMDM
sinZ.EDM=-----,cosNEDM=-------,
EDED
Asin37°=—,cos370=—
2020
3
EM=20-sin37°*20x—=12,
5
4
ZW=20-cos370=20x—=16.
5
在心△BN4中,ZBNA=90°,
BN
:.tan4BAN=——
AN
“c/°BN
/.tan42.6=---------,
74+16
9
BA^=90tan42.6°?90x—=81,
10
BC=BN+AE+£M=81+3+12=96.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,坡度坡角問題,根據(jù)題意作出
輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
19.在中國共產(chǎn)黨成立一百周年之際,某校舉行了以“童心向黨”為主題的知識競賽活
動.發(fā)現(xiàn)該校全體學(xué)生的競賽成績(百分制)均不低于60分,現(xiàn)從中隨機抽取〃名學(xué)生的
競賽成績進行整理和分析(成績得分用x表示,共分成四組),并繪制成如下的競賽成績分
組統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.其中“90<%<100”這組的數(shù)據(jù)如下:
90,92,93,95,95,96,96,96,97,100.
競賽成績分組統(tǒng)計表
組別競賽成績分組頻數(shù)平均分
160<x<70865
270<x<80a75
380<x<90h88
490<x<1001095
競賽成績扇形統(tǒng)計圖競賽成績扇形統(tǒng)計圖
請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)。=—;
(2)“90Wx〈100”這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是分;
(3)隨機抽取的這"名學(xué)生競賽成績的平均分是分;
(4)若學(xué)生競賽成績達到96分以上(含96分)獲獎,請你估計全校1200名學(xué)生中獲獎的
人數(shù).
【答案】(1)12;(2)96;(3)82.6;(4)120人
【解析】
【分析】(1)先由1組的信息求解總?cè)藬?shù),再利用總?cè)藬?shù)乘以24%,可得。的值;
(2)由90WXW100這一組出現(xiàn)次數(shù)最多的是:96分,從而可得答案;
(3)先求解。的值,再求解50人的總得分,再除以總?cè)藬?shù)即可得到答案;
(4)由1200乘以96分及96分以上的學(xué)生的占比即可得到答案.
【詳解】解:(1)由扇形圖可得:1組頻數(shù)為8人,占比16%,
所以總?cè)藬?shù)為:8+16%=50人,
由2組占24%,
所以:a=50x24%=12,
故答案為:12
(2)由90<x<100這一組的數(shù)據(jù)為:90,92,93,95,95,96,96,96,97,100.
出現(xiàn)次數(shù)最多的是:96分,
所以這一組的眾數(shù)為:96分,
故答案為:96
(3)由扇形圖可得:3組占:1-20%—16%—24%=40%,
所以〃=50x40%=20人,
所以隨機抽取的這50名學(xué)生競賽成績的平均分:
媼(8x65+12x75+20x88+10x95)=82.6分,
故答案為:82.6
(4)由4組成績可得96分及96分以上的學(xué)生有5人,
所以全校1200名學(xué)生中獲獎的人數(shù)為:1200*2=120人.
50
【點睛】本題考查的是從扇形圖與頻數(shù)分布表中獲取信息,頻數(shù)與頻率,利用樣本估計總體,
眾數(shù)的含義,加權(quán)平均數(shù)的計算,熟悉扇形圖與頻數(shù)分布表之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
20.某超市經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液,進貨時發(fā)現(xiàn),甲品牌洗衣液每瓶的進價比乙品牌
4
高6元,用1800元購進甲品牌洗衣液的數(shù)量是用100元購進乙品牌洗衣液數(shù)量的銷售
時,甲品牌洗衣液的售價為36元/瓶,乙品牌洗衣液的售價為28元/瓶.
(1)求兩種品牌洗衣液的進價;
(2)若超市需要購進甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶,且購進兩種洗衣液的總成本不超
過3120元,超市應(yīng)購進甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶,才能在兩種洗衣液完全售出后所
獲利潤最大?最大利潤是多少元?
【答案】(1)甲品牌洗衣液進價為30元/瓶,乙品牌洗衣液進價為24元/瓶;(2)購進甲品
牌洗衣液40瓶,乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大,最大利潤是560元
【解析】
【分析】(1)設(shè)甲品牌洗衣液每瓶的進價是x元,則乙品牌洗衣液每瓶的進價是(片6)元,
4
根據(jù)數(shù)量=總價+單價,結(jié)合用1800元購進乙品牌洗衣液數(shù)量的彳,即可得出關(guān)于x的分式
方程,解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)可以購買加瓶乙品牌洗手液,則可以購買(100-機)瓶甲品牌洗手液,根據(jù)總價=單
價x數(shù)量,結(jié)合總費用不超過1645元,即可得出關(guān)于,〃的一元一次不等式,解之即可得出〃?
的取值范圍,再取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論.
【詳解】解:(1)設(shè)甲品牌洗衣液進價為X元/瓶,則乙品牌洗衣液進價為(%-6)元/瓶,
180041800
由題意可得,-----=---------,
x5x—6
解得x=30,
經(jīng)檢驗x=30是原方程的解.
答:甲品牌洗衣液進價為30元/瓶,乙品牌洗衣液進價為24元/瓶.
(2)設(shè)利潤為y元,購進甲品牌洗衣液加瓶,
則購進乙品牌洗衣液(120-租)瓶,
由題意可得,30加+24(120)43120,
解得m<40.
由題意可得,y=(36-30)zn+(28-24)(120-m)=2m+480,
Vk=2>0,y隨加的增大而增大,
當(dāng)相=40時,y取最大值,y最大值=2x40+480=560.
答:購進甲品牌洗衣液40瓶,乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大,最大利潤是560元.
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用,一次函數(shù)的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵
是靈活運用所學(xué)知識解決問題.
21.如圖,在nABCD中,E為8邊的中點,連接8E并延長,交A。的延長線于點尸,
延長皮)至點G,使DG=DE,分別連接AE,AG,FG.
(1)求證:ABCEMFDE;
(2)當(dāng)BE平分NABC時,四邊形是什么特殊四邊形?請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)矩形,見解析
【解析】
【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)證明=利用中點的性質(zhì)證明OE=CE,
結(jié)合對頂角相等,從而可得結(jié)論;
(2)先證明結(jié)合GO=QE,證明四邊形AEFG是平行四邊形,再利用等腰三
角形的性質(zhì)證明從而可得結(jié)論.
【詳解】(1)證明:?..四邊形ABC。是平行四邊形,
AAD//BC,:.ZDFE=ZCBE
又?:£為CO邊的中點,
/.DE=CE
,:/FED=ZBEC,ZDFE=ZCBE,DE=CE,
:.ABCE=AFDE
(2)答:四邊形A£FG是矩形,理由如下:
V四邊形A6CO是平行四邊形,
:.AD=BC,
???/\FDE=ABCE,
:.BC=FD,FE=EB,
FD=AD,
?:GD=DE,
:.四邊形AEFG是平行四邊形.
?/平分NA8C,
/CBF=ZABF.
又;ZAFB=ZFBC,
:.ZABF^ZAFB,
/?AB=AF
又「FE=EB,
;?AEA.FE,
:.ZAEF=90°,
.??YAEFG是矩形
【點睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)與判定,矩形的判定,
等腰三角形的判定與性質(zhì),掌握“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”是證題的關(guān)鍵.
22.科研人員為了研究彈射器的某項性能,利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關(guān)數(shù)
據(jù).無人機上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升,此時,在地面用彈射器(高度不
計)豎直向上彈射一個小鋼球(忽路空氣阻力),在1秒時,它們距離地面都是35米,在6
秒時,它們距離地面的高度也相同.其中無人機離地面高度以(米)與小鋼球運動時間x(秒)
之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示;小鋼球離地面高度內(nèi)(米)與它的運動時間x(秒)之間的函
(1)直接寫出川與X之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求出力與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)小鋼球彈射1秒后直至落地時,小鋼球和無人機的高度差最大是多少米?
2
【答案】(1)y=5x+30;(2)y2=-5x+40x;(3)70米
【解析】
【分析】(1)先設(shè)出一次函數(shù)的解析式,再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;
(2)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;
(3)當(dāng)1〈爛6時小鋼球在無人機上方,因此求當(dāng)6〈爛8時,無人機在小鋼球的上
方,因此求)土",然后進行比較判斷即可.
【詳解】解:(1)設(shè)M與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y尸質(zhì)+〃,
?.?函數(shù)圖象過點(0,30)和(1,35),
k=5
解得
6=30,
與x之間的函數(shù)關(guān)系式為X=5無+30.
(2):x=6時,x=5x6+30=60,
???力的圖象是過原點的拋物線,
設(shè)為=加+bx,
2
點(1,35),(6,60)在拋物線y2=ax+bx!..
。+力=35a+b=35
36a+6。=606。+6=10’
a=-5
解得《
6=40
2
y2=-5x+40x.
答:內(nèi)與x的函數(shù)關(guān)系式為%=-5/+40X.
(3)設(shè)小鋼球和無人機的高度差為>米,
由一5/+40%=0得玉=0或%=8
①1時,
尸必一弘
=-5x2+40x-5x-30
=-5X2+35X-30
:Q=-5<0,,拋物線開口向下,
又:1<xW6,
7125
???當(dāng)尤=一時,V的最大值為——;
24
②6<xW8時,
=5x+30+5x2-40x
=5X2-35X+30
(7?125
=5x——----,
I2j4
:a=5>0,.?.拋物線開口向上,
7
又?.?對稱軸是直線》=—,
2
7
當(dāng)龍〉一時,》隨》的增大而增大,
2
V6<x<8,
.?.當(dāng)x=8時,y的最大值為70.
??旦7。,
4
高度差的最大值為70米.
答:高度差的最大值為70米.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的應(yīng)用,關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)實際情況判斷無人機和
小鋼球的高度差.
23.問題提出:
最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個?(整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角
形.)
問題探究:
為了探究規(guī)律,我們先從最簡單的情形入手,從中找到解決問題的方法,最后得出一般性的
結(jié)論.
(1)如表①,最長邊長為1的整數(shù)邊三角形,顯然,最短邊長是1,第三邊長也是1.按照
(最長邊長,最短邊長,第三邊長)的形式記為(1,1,1),有1個,所以總共有1X1=1個整
數(shù)邊三角形.
表①
最長邊長最短邊長(最長邊長,最短邊長,第三邊長)整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式
11(1,1,1)11個11x1
(2)如表②,最長邊長為2的整數(shù)邊三角形,最短邊長是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊之和
大于第三邊,當(dāng)最短邊長為1時,第三邊長只能是2,記為(2,1,2),有1個;當(dāng)最短邊長
為2時,顯然第三邊長也是2,記為(2,2,2),有1個,所以總共有1+I=lx2=2個整數(shù)
邊三角形.
表②
最長邊長最短邊長(最長邊長,最短邊長,第三邊長)整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式
1(2J2)1
1x2
22個1
2(2,2,2)1
(3)下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:
表③
最長邊長最短邊長(最長邊長,最短邊長,第三邊長)整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式
1(3,1,3)1
2x2
32(3,2,2),(3,2,3)22個2
3(3,3,3)1
(4)下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:
表④
最長邊長最短邊長(最長邊長,最短邊長,第三邊長)整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式
1(4L4)1
2x3
43個2
2(4,2,3),(4,2,4)2
3(4,3,3),(4,3,4)2
4(4,4,4)1
(5)請在表⑤中總結(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況并填空:
表⑤
最長邊長最短邊長(最長邊長,最短邊長,第三邊長)整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式
1(5,1,5)1
2(5,2,4),(5,2,5)2
53————
4(5,4,4),(5,4,5)2
5(5,5,5)1
問題解決:
(1)最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有個.
(2)在整數(shù)邊三角形中,設(shè)最長邊長為〃,總結(jié)上述探究過程,當(dāng)〃為奇數(shù)或〃為偶數(shù)時,
整數(shù)邊三角形個數(shù)的規(guī)律一樣嗎?請寫出最長邊長為〃的整數(shù)邊三角形的個數(shù).
(3)最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有個.
拓展延伸:
在直三棱柱中,若所有棱長均為整數(shù),則最長棱長為9的直三棱柱有個.
【答案】問題探究:見解析;問題解決:(1)12;(2)當(dāng)及為奇數(shù)時,整數(shù)邊三角形個數(shù)為
史U;當(dāng)“為偶數(shù)時,整數(shù)邊三角形個數(shù)為+(3)4160;拓展延伸:295
44
【解析】
【分析】問題探究:
根據(jù)(1)(2)(3)(4)的具體推算,總結(jié)出相同的規(guī)律,按規(guī)律填好表格即可;
問題解決:
(1)由最長邊長分別為1,2,3,4,5總結(jié)出能反應(yīng)規(guī)律的算式,再根據(jù)規(guī)律直接寫出最
長邊長為6時的三角形的個數(shù):
(2)分兩種情況討論:當(dāng)〃為奇數(shù),當(dāng)〃為偶數(shù),再從具體到一般進行推導(dǎo)即可;
⑶當(dāng)最長邊長,:128時,〃為偶數(shù),再代入一進行計算,即可得到答案;
拓展延伸:
分兩種情況討論:當(dāng)9是底邊的棱長時,由最長邊長為9的三角形個數(shù)有:
日包=@=25個,當(dāng)9是側(cè)棱長時,底邊三角形的最長邊可以為1,2,3,4,5,6,
44
7,8,底邊三角形共有:1+2+4+6+9+12+16+20=70個,從而可得答案.
【詳解】解:問題探究:
最長邊長最短邊長(最長邊長,最短邊長,第三邊長)整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式
53(5,3,3),(5,3,4),(5,3,5)33個33x3
問題解決:
(1)最長邊長為1的三角形有:1x1個,
最長邊長為2的三角形有:1x2個,
最長邊長為3的三角形有:2x2個,
最長邊長為4的三角形有:2x3個,
最長邊長為5的三角形有:3x3個,
所以最長邊長為6的三角形有:3x4=12個,
故答案為:12
(2)由(1)得:
最長邊長為1的三角形有:1X1=『=山個,
2J
3+1
最長邊長為3的三角形有:2x2=2?=個,
F
最長邊長為5的三角形有:3x3=32=(21個,
I2)
所以當(dāng)〃為奇數(shù)時,整數(shù)邊三角形個數(shù)為如上;
4
22+2
最長邊長為2的三角形有:1x2=-x——個,
22
44+2
最長邊長為4的三角形有:2x3=-x——個,
22
最長邊長為6的三角形有:3x4=9x&±2個,
22
所以當(dāng)〃為偶數(shù)時,整數(shù)邊三角形個數(shù)為小〃+2).
4
(3)當(dāng)最長邊長〃=128時,〃為偶數(shù),
可得此時的三角形個數(shù)為:〃5+2)=128(128+2)=64X130=4160.
42
故答案為:4160
拓展延伸:
當(dāng)9是底邊的棱長時,
最長邊長為9的三角形個數(shù)有:9±D1=UW=25個,
44
而直三棱柱的高分別為:1,2,3,4,5,6,7,8,9,
所以這樣的直三棱柱共有:25x9=225個,
當(dāng)9是側(cè)棱長時,底邊三角形的最長邊可以為1,2,3,4,5,6,7,8,
底邊三角形共有:1+2+4+6+9+12+16+20=70個,
所以這樣的直三棱柱共有:70個,
綜上,滿足條件的直三棱柱共有225+70=295個.
故答案為:295.
【點睛】本題考查的是學(xué)生的閱讀理解能力,探究規(guī)律的方法,并運用規(guī)律解決問題,同時
考查了立體圖形的含義,三角形的三邊關(guān)系,弄懂題意,掌握探究方法,運用規(guī)律的能力都
是解題的關(guān)鍵.
24.已知:如圖,在矩形ABCO和等腰心△ADE中,AB=8cm,A£)=A£=6cm,
Na4E=90°.點P從點3出發(fā),沿84方向勻速運動.速度為lcm/s;同時,點。從點D
出發(fā),沿05方向勻速運動,速度為lcm/s.過點。作QA///8E,交A。于點",交DE
于點M,過點。作QN//8C,交CO于點N.分別連接PQ,PM,設(shè)運動時間為
r(s)(0</<8).
解答下列問題:
(2)設(shè)五邊形PMDNQ的面積為S(cm,,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)=時,求f的值;
(4)若PM與A。相交于點W,分別連接QW和EW.在運動過程中,是否存在某一時
刻/,使NAWE=NQWD?若存在,求出,的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)—s;(2)S=—VH---1;(3)t=—;(4)存,t——s
9255112
【解析】
【分
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