江西省撫州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年江西省撫州實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的倒數(shù)是(

)A. B. C.3 D.2.下列美麗的圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是(

)

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.下列計(jì)算正確的是(

)A. B.

C. D.4.如圖是將正方體切去一個(gè)角后形成的幾何體，則該幾何體的左視圖為(

)A.

B.

C.

D.5.某中學(xué)對(duì)九年級(jí)6個(gè)班的學(xué)生騎自行車上學(xué)的情況進(jìn)行了調(diào)查，得到各班騎自行車上學(xué)的人數(shù)數(shù)據(jù)為5，10，10，12，14，對(duì)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.平均數(shù)是10 B.眾數(shù)是10 C.中位數(shù)是11 D.方差是6.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，且于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.

B.

C.圖中與相似的三角形共有5個(gè)

D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.分解因式：______.8.一個(gè)細(xì)菌的直徑為米，把數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為______.9.已知a，b是一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則________.10.一副三角板按如圖所示的方式放置，它們的直角頂點(diǎn)A，D分別在另一個(gè)三角板的斜邊上，且，則的度數(shù)為______.11.如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)P，則的值為______.

12.如圖，矩形ABCD中，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，，P是矩形上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)，沿的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)P的長為______.

三、解答題：本題共11小題，共84分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。13.本小題6分

計(jì)算：

求不等式組的解集．14.本小題6分

先化簡，再求值：，其中15.本小題6分

小聰從家到學(xué)校需要中途轉(zhuǎn)車，從家到站臺(tái)M有A，B，C三路車小聰中途乘A，B，C三路車的可能性相同，到了站臺(tái)M后通常轉(zhuǎn)乘D路或E路車到學(xué)校小聰乘D路、E路車的可能性相同

“小聰從家到學(xué)校要乘坐A路車”是______事件；

請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求小聰乘坐A路、E路車到學(xué)校的概率．16.本小題6分

圖1、圖2均為圓心角為的扇形、請(qǐng)按要求用無刻度的直尺完成下列作圖．

在圖1中、點(diǎn)M是的中點(diǎn)、請(qǐng)作出線段AB的垂直平分線；

在圖2中、點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N又是的三等分點(diǎn)，請(qǐng)作出線段0B的垂直平分線．

17.本小題6分

某超市以3元/本的價(jià)格購進(jìn)某種筆記本若干，然后以每本5元的價(jià)格出售，每天可售出20本．通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種筆記本的售價(jià)每降低元，每天可多售出4本，為保證每天至少售出50本，該超市決定降價(jià)銷售．

若將這種筆記本每本的售價(jià)降低x元，則每天的銷售量是______本；用含x的代數(shù)式表示

要想銷售這種筆記本每天贏利60元，該超市需將每本的售價(jià)降低多少元？18.本小題8分

已知點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為均在正比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作軸于D，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，連接

當(dāng)時(shí)，求直線AC的解析式；

是否存在一個(gè)m，使得，若存在，求出m的值，不存在，說明理由.19.本小題8分

為增強(qiáng)學(xué)生環(huán)保意識(shí).實(shí)施垃圾分類管理.某中學(xué)舉行了“垃圾分類知識(shí)競賽“并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的競賽成績繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

根據(jù)所給信息，解答下列問題.

______，______.

請(qǐng)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組所在扇形的圓心角的度數(shù).

已知該中學(xué)有3500名學(xué)生，請(qǐng)估算該中學(xué)學(xué)生知識(shí)競賽成績低于80分的人數(shù).

知識(shí)競賽成績頻數(shù)分布表：組別成績分?jǐn)?shù)人數(shù)A300BaC150D200Eb

20.本小題8分

如圖是一種簡易臺(tái)燈，在其結(jié)構(gòu)圖中燈座為伸出部分不計(jì)，A、C、D在同一直線上．量得，，，，燈桿CD長為40cm，燈管DE長為

求DE與水平桌面所在直線所成的角；

求臺(tái)燈的高點(diǎn)E到桌面的距離，結(jié)果精確到

參考數(shù)據(jù)：，，，，，

21.本小題9分

如圖，M，N是以AB為直徑的上的點(diǎn)，且，弦MN交AB于點(diǎn)C，BM平分，于點(diǎn)

求證：MF是的切線；

若，，求CM的長．22.本小題9分

如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．

若是“準(zhǔn)互余三角形”，，，則______；

如圖①，在中，，，若AD是的平分線，不難證明是“準(zhǔn)互余三角形”．試問在邊BC上是否存在點(diǎn)異于點(diǎn)，使得也是“準(zhǔn)互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出BE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖②，在四邊形ABCD中，，，，，且是“準(zhǔn)互余三角形”，求對(duì)角線AC的長．

23.本小題12分

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，規(guī)定：拋物線的伴隨直線為例如：拋物線的伴隨直線為，即

在上面規(guī)定下，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，伴隨直線為______，拋物線與其伴隨直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為______和______；

如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點(diǎn)A，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與x軸交于點(diǎn)C，

①若，求m的值；

②如果點(diǎn)是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積記為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求m的值．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：的倒數(shù)是

故選：

乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，由此即可得到答案．

本題考查倒數(shù)，關(guān)鍵是掌握倒數(shù)的定義．2.【答案】C

【解析】解：第一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；

第二個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；

第三個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；

第四個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．

故選：

根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．

本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3.【答案】B

【解析】解：A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、，故此選項(xiàng)正確；

C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：

直接利用整式的混合運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案．

此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了三視圖的知識(shí)，掌握主視圖是從物體的正面看得到的視圖，左視圖是從物體的左面看得到的視圖，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖是解題的關(guān)鍵．找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在視圖中．

【解答】

解：從左面看所得到的圖形是正方形，切去部分的棱能看到，用實(shí)線表示，

故選5.【答案】C

【解析】解：A、平均數(shù)是，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

B、出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

眾數(shù)是10，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

C、把這些數(shù)從小到大排列為：5，9，10，10，12，14，則中位數(shù)是，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；

D、方差為：，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

故選：

根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義和公式分別進(jìn)行計(jì)算即可．

本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)；一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．6.【答案】C

【解析】解：A、，

∽，

，

，

，故A正確，不符合題意；

B、過D作交AC于N，

，，

四邊形BMDE是平行四邊形，

，

，

，

于點(diǎn)F，，

，

，

，故B正確，不符合題意；

C、圖中與相似的三角形有，，，，共有5個(gè)，故C錯(cuò)誤，符合題意．

D、設(shè)，由∽，有

，故D正確，不符合題意．

故選：

由，又，所以，故A正確，不符合題意；

過D作交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出，得到，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故B正確，不符合題意；

根據(jù)相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；

由∽，得到CD與AD的大小關(guān)系，根據(jù)正切函數(shù)可求的值，故D錯(cuò)誤，符合題意．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7.【答案】

【解析】解：

故答案為：

首先提取公因式a，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案．

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵．8.【答案】

【解析】解：數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，

故答案為：

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．9.【答案】5

【解析】解：，b是一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

，，

故答案為：

根據(jù)一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系可得出、，將其代入中，即可求出結(jié)論．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根據(jù)一元二次方程的解結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出、是解題的關(guān)鍵．10.【答案】

【解析】解：，

，

，

故答案為：

根據(jù)得出，進(jìn)而得出即可．

此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)得出的度數(shù)和三角形外角性質(zhì)分析．11.【答案】2

【解析】解：如圖，連接BE，

四邊形BCED是正方形，

，，，，

，

根據(jù)題意得：，

∽，

：：：3，

：：2，

，

在中，，

，

故答案為：2

首先連接BE，由題意易得，∽，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得DP：：3，即可得PF：：：2，在中，即可求得的值，繼而求得答案．

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12.【答案】4或8或

【解析】解：如圖，連接DF，AE，DE，取DF的中點(diǎn)O，連接OA、以O(shè)為圓心畫交CD于

四邊形ABCD是矩形，

，

，，，，

，

，

易知，

是等邊三角形，

，

，，，

故答案為4或8或

如圖，連接DF，AE，DE，取DF的中點(diǎn)O，連接OA、以O(shè)為圓心畫交CD于只要證明，即可推出，，解決問題．

本題考查矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的有關(guān)知識(shí)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．13.【答案】解：原式；

由①得：；

由②得：；

所以不等式組的解集是：

【解析】根據(jù)整式負(fù)指數(shù)冪，絕對(duì)值的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；

先求出每個(gè)不等式的解集，再找出不等式組的解集即可．

本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算和解一元一次不等式組的應(yīng)用，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．14.【答案】解：

，

當(dāng)時(shí)，原式

【解析】根據(jù)分式的加減法和乘法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．

本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．15.【答案】隨機(jī)

【解析】解：“小聰從家到學(xué)校要乘坐A路車”是隨機(jī)事件，

故答案為：隨機(jī)；

畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有6種等可能結(jié)果，其中小聰乘坐A路、E路車到學(xué)校的有1種結(jié)果，

小聰乘坐A路、E路車到學(xué)校的概率為

根據(jù)隨機(jī)事件的概念求解可得；

畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算可得．

此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16.【答案】解：如圖，直線OM即為所求．

作直線OM，連接AB交OM于K，作直線NK，直線NK即為所求．

理由：連接ON，BN，點(diǎn)N又是的三等分點(diǎn)，

，

，

是等邊三角形，

，

，

，

，，

，

，

，

，

垂直平分線段

【解析】作直線OM即可．

作直線OM，連接AB交OM于K，作直線NK，直線NK即為所求．

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．17.【答案】

【解析】解：將這種筆記本每本的售價(jià)降低x元，則每天的銷售量是本；

故答案為：；

設(shè)這種筆記本每本降價(jià)x元，

根據(jù)題意得：，

，

解得：或，

當(dāng)時(shí)，銷售量是；

當(dāng)時(shí)，銷售量是

每天至少售出50本，

答：超市應(yīng)將每本的銷售價(jià)降低1元．

銷售量=原來銷售量+下降銷售量，據(jù)此列式即可；

根據(jù)銷售量每本利潤=總利潤列出方程求解即可．

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)售價(jià)和銷售量的關(guān)系，以利潤做為等量關(guān)系列方程求解．18.【答案】解：點(diǎn)，在正比例函數(shù)的圖象上，

，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，

反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，

，

則反比例函數(shù)的解析式為，

點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為正比例函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，

代入，求得縱坐標(biāo)為1，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

設(shè)直線AC的解析式為，

把，代入得，

解得：，，

直線AC的解析式為；

，

，

解得負(fù)值已舍去

即存在m，使得

【解析】根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；

先求得B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得，則，然后根據(jù)三角形面積公式得到，解方程求得m的軸．

本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．19.【答案】30050

【解析】解：樣本容量為，

則，，

故答案為：300，50；

扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組所在扇形的圓心角的度數(shù)為；

人，

答：估計(jì)該中學(xué)學(xué)生知識(shí)競賽成績低于80分的有175人．

先根據(jù)D組人數(shù)及其所占百分比求出樣本容量，用樣本容量乘以B組圓心角度數(shù)占周角比例可得a的值，根據(jù)各組人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)可得b的值；

用乘以C組人數(shù)所占比例即可；

用總?cè)藬?shù)乘以樣本中E組人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例即可．

本題考查頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，掌握統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)量關(guān)系是正確解答的前提．20.【答案】解：如圖所示：過點(diǎn)D作，過點(diǎn)D作交AB的延長線于點(diǎn)N，，交AB的延長線于點(diǎn)M，

由題意可得，四邊形DNMF是矩形，

則，

，，

，

，

即DE與水平桌面所在直線所成的角為；

如圖所示：，，，

，則，

燈桿CD長為40cm，

，

，

則，

燈管DE長為15cm，

，

解得：，

故臺(tái)燈的高為：

【解析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．

直接作出平行線和垂線進(jìn)而得出的值；

利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DN以及EF的值，進(jìn)而得出答案．21.【答案】證明：連接OM，

，

，

平分，

，

，

，

，

，即，

是的切線；

如圖，連接AN，ON

，

是直徑，，

，

，

，

∽

【解析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求OC的長是本題的關(guān)鍵．

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義證得，得出，即可證得，即可證得結(jié)論；

由勾股定理可求AB的長，可得AO，BO，ON的長，由勾股定理可求CO的長，通過證明∽，可得，即可求CM的長．22.【答案】；

如圖①中，

在中，，，

，

是“準(zhǔn)互余三角形”，

也是“準(zhǔn)互余三角形”，

只有，

，

，，

∽，可得，

，

如圖②中，將沿BC翻折得到

，，，

，，

，

、B、F共線，

，

只有，

，，

∽，

，設(shè)，

則有：，

或舍棄，

，

在中，

【解析】解：是“準(zhǔn)互余三角形”，，，

，

解得，，

故答案為：；

見答案.

見答案.

【分析】

根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”的定義構(gòu)建方程即可解決問題；

只要證明∽，可得，由此即可解決問題；

如圖②中，將沿BC翻折得到只要證明∽，可得，設(shè)，則有：，推出或舍棄，再利用勾股定理求出AC即可；

本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、“準(zhǔn)互余三角形”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用翻折變換添加輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用已知模型構(gòu)建輔助線解決問題，屬于中考?jí)狠S題．23.【答案】；；；；

①拋物線解析式為，

其伴隨直線為，即，

聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，

，，

在中，令可解得或，