專題訓(xùn)練6 導(dǎo)數(shù)的恒成立問題- 2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) (新高考)

專題訓(xùn)練6導(dǎo)數(shù)的恒成立問題一、解答題1．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.2．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)，時(shí)，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．已知函數(shù).（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)，若對任意的，都有恒成立，求的取值范圍.6．已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性﹔（2）若對任意恒有不等式成立，求實(shí)數(shù)的值.7．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）若對任意的，總存在，使得，求的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，求的取值范圍.8．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.9．已知函數(shù)，.（1）若，證明：；（2）若，求的取值范圍.10．已知函數(shù).（1），時(shí)，討論函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性；（2）時(shí)，不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求證：當(dāng)時(shí)，；（2）若在上恒成立，求a的取值范圍.12．已知函數(shù)，，其中，.（1）若函數(shù)無極值，求的取值范圍；（2）當(dāng)?。?）中的最大值時(shí)，求函數(shù)的最小值；（3）若不等式對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.13．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.14．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，對任意的，恒成立，求整數(shù)n的最小值．參考答案1．（1）證明見解析；（2）.【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，又在上單調(diào)遞增，且，，∴存在，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵，∴，，∴，∴在上單調(diào)遞增.（2）解法一：問題等價(jià)于(記為式)在上恒成立，令，，∵，∴要使式在上恒成立，則必須，即，下面證明當(dāng)時(shí)，在上恒成立.∵，∴，∴，易證，∴，∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴，即式在上恒成立.故的取值范圍是.解法二：依題意得在上恒成立，當(dāng)時(shí)，式恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，∵，式等價(jià)于在上恒成立.令，.易證，∴，令，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，令，，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，即的取值范圍是.2．（1）見解析；（2）．【解析】（1）由題知，的定義域?yàn)?，∴．（對函?shù)求導(dǎo)后，由于恒大于0，故對進(jìn)行正負(fù)分類討論，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令得在上有，在上有∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)，，即（*）．令則．①若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)故有即，得，故有．（由（1）可判斷，此不等式為常見不等式，熟記更利于解題）（當(dāng)且僅當(dāng)，即，且時(shí)取等號）（根據(jù)及基本不等式可知需對和的大小分類討論）∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴（*）式成立．②若，令則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．∵∴，使得則當(dāng)時(shí)，，即．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減（構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)并根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷的單調(diào)性）∴，即（*）式不恒成立．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．3．（1）證明見解析；（2）．【解析】證明：（1）因?yàn)椋飘?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為1．因?yàn)?，所以，由得所以在上單調(diào)遞減，則，所以．（2）令令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增即，即，所以時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，則因此時(shí)，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，則因此時(shí)，則﹐不合題意；當(dāng)時(shí)所以在上單調(diào)遞增，則，即綜上知實(shí)數(shù)a的取值范圍為4．（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)為，所以關(guān)于x的方程有兩正根，且，解得：.由可得：，同理：，所以不等式可化為：，把代入，則有：因?yàn)?，且，所以，所以上式可化為：，即只需因?yàn)?，所以令，則，記，則，設(shè)，則，所以單增，當(dāng)時(shí)，有，則，所以單減，，即所以，所以b的范圍是.5．（1）；（2）.【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，可得，即，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的范圍是.（2）因?yàn)閷θ我獾模坏仁胶愠闪?，即在上恒成立，令，則，令，則，所以在上為增函數(shù)，又因?yàn)?，，所以，使得，即，?dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以，由，可得，令，則，又由，所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，所以，即，所以，所以，綜上所述，滿足條件的的取值范圍是.6．（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，可得，單調(diào)遞減，綜上所述：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增，的值域?yàn)?，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，也不符合題意.當(dāng)時(shí)，令可得，即，令，則，所以在單調(diào)遞增，設(shè)存在使得，兩邊同時(shí)取對數(shù)可得則時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，故只需即可，令，，由可得，由可得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，所以，又因?yàn)椋?，由以上證明可知，所以故滿足條件的實(shí)數(shù)的值為.7．（1）；（2）.【解析】（1）對任意的，總存在，使得，則，因?yàn)椋瑒t對任意的恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，不滿足，故；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上沒有最大值，不滿足題意.綜上，的取值范圍為；（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，所以.因?yàn)?，，所?令，，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，則.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.8．（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）解：令，，①當(dāng)時(shí)，則，設(shè)，,在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在上遞增，，；②當(dāng)時(shí)，則，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，；（2）令，，則，由題意得在上恒成立，，，；下證當(dāng)時(shí)，在上成立，，令，只需證明在上成立，（i）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，；（ii）當(dāng)時(shí)，；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.9．（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）若，，即證：，只需證：，設(shè)，則，設(shè)，則，顯然在上單調(diào)遞增，即，即在上單調(diào)遞增，所以即，所以在上單調(diào)遞增，即，所以（2）令，對于，恒成立，則，解得，又因?yàn)樵诤愠闪?，因?yàn)轱@然成立，所以在恒成立，即，解得，故，下面證明：當(dāng)時(shí)，在恒成立令，顯然在單調(diào)遞減；（事實(shí)上，因?yàn)?，所以），則，由（1）問可知，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故在恒成立.綜上：10．（1）在上單減，在上單增；（2）.【解析】（1），時(shí)，，，令，由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單減，在上單增；（2）時(shí)，不等式對恒成立，等價(jià)于對恒成立，令，則，，，令，則對恒成立，從而有在上單增，①時(shí)，，在上單增，，即對恒成立，②時(shí)，，此時(shí)，，，使得，當(dāng)時(shí)，，在上單減，當(dāng)時(shí)，，故對不成立，綜上，的取值范圍是.11．（1）證明見解析；（2）.【解析】解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，從而得證原不等式.（2），令，，，，，故，在上單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故，滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，因，又時(shí)，，所以，使得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上，.12．（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題意知：定義域?yàn)?，，無極值，在上恒成立，，又（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），，即的取值范圍為；（2）由（1）知：，，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，令，則，平方得：，即當(dāng)時(shí)，成立（當(dāng)時(shí)取等號），當(dāng)時(shí)，；（3）由得：，，，，，；令，，令，則，由（2）知：，，在上單調(diào)遞增，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.13．（1）有1個(gè)零點(diǎn)，理由見解析；（2）.【解析】（1）解法一：由題意得，，當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)單調(diào)遞增，而，，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而，∴函數(shù)f(x)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，而，∴函數(shù)f(x)在上有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)f(x)在上有1個(gè)零點(diǎn).（2）令，，則.，，令，因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以在上恒成立，則h(x)為増函數(shù)，即為增函數(shù)①當(dāng)，即時(shí)，，∴g(x)在上為增函數(shù)，，即在上恒成立；②當(dāng)m+2<0，即m<-2時(shí)，，，使，當(dāng)為增函數(shù)；當(dāng)為減函數(shù)，，與在上恒成立相矛盾，不成立.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.14．（1）；（2）1．【解析】(1)設(shè)，令，時(shí)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以，即，在R上遞增，而，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)t的取