2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測試專題33平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教師版

專題33平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一、【知識梳理】【考綱要求】1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．【考點預(yù)測】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0．【常用結(jié)論】1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.4.已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).【方法技巧】1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算．2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．3.向量的坐標(biāo)表示把點與數(shù)聯(lián)系起來，引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體．4.平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．二、【題型歸類】【題型一】平面向量基本定理的應(yīng)用【典例1】在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b B.eq\f(1,3)a－eq\f(13,12)bC.－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b D.－eq\f(1,3)a＋eq\f(13,12)b【解析】eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b.故選C.【典例2】在△ABC中，點P是AB上一點，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，則t的值為________.【解析】如圖所示.∵A，M，Q三點共線，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up6(→))，又∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝\f(1,3)t，,1－x＝\f(2,3)t，))解得t＝eq\f(3,4).【典例3】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)【解析】因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(8,5)eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，所以λ＝－eq\f(4,5)，μ＝eq\f(8,5)，所以λ＋μ＝eq\f(4,5).故選D.【題型二】平面向量的坐標(biāo)運算【典例1】已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))【解析】∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).故選D.【典例2】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A.eq\f(6,5)B.eq\f(8,5)C．2D.eq\f(8,3)【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0,0)．不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,2)，∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝eq\f(8,5).故選B.【典例3】向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)等于()A．1 B．2C．3 D．4【解析】以向量a和b的交點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形邊長為1)，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))∴eq\f(λ,μ)＝eq\f(－2,－\f(1,2))＝4.故選D.【題型三】利用向量共線求參數(shù)【典例1】已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b與b共線，則x的值為________．【解析】∵a＝(2,1)，b＝(x，－1)，∴a－b＝(2－x,2)，又∵a－b與b共線，∴(2－x)×(－1)－2x＝0，∴x＝－2.【典例2】已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三點共線，則k的值是()A．－eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．因為A，B，C三點共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).故選A.【題型四】利用向量共線求向量或點的坐標(biāo)【典例1】在△ABC中，已知點O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC交于點M，則點M的坐標(biāo)為________．【解析】因為點O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，所以點Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，同理點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))).設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x，y－5)，而eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2)))，因為A，M，D三點共線，所以eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))共線，所以－eq\f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，而eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,4)))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－0，3－\f(5,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))，因為C，M，B三點共線，所以eq\o(CM,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線，所以eq\f(7,4)x－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋4y＝20，,7x－16y＝－20，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(12,7)，,y＝2，))所以點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2)).【典例2】已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標(biāo)原點，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為________.【解析】法一由O，P，B三點共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4，4λ).又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，3)，所以點P的坐標(biāo)為(3，3).法二設(shè)點P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，4)，且eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點P的坐標(biāo)為(3，3).三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】已知在Rt△ABC中，A＝eq\f(π,2)，AB＝3，AC＝4，P為BC上任意一點(含B，C)，以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點，設(shè)eq\o(AQ,\s\up6(→))＝aeq\o(AB,\s\up6(→))＋beq\o(AC,\s\up6(→))，則a＋b的最大值為()A.eq\f(13,12) B．eq\f(5,4)C.eq\f(17,12) D．eq\f(19,12)【解析】根據(jù)題設(shè)條件建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0，4)，B(3，0)，易知點Q運動的區(qū)域為圖中的兩條線段DE，GF與兩個半圓圍成的區(qū)域(含邊界)，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝aeq\o(AB,\s\up6(→))＋beq\o(AC,\s\up6(→))＝(3a，4b)，設(shè)z＝a＋b，則b＝z－a，所以eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(3a，4z－4a)．設(shè)Q(x，y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3a，,y＝4z－4a，))消去a，得y＝－eq\f(4,3)x＋4z，則當(dāng)點P運動時，直線y＝－eq\f(4,3)x＋4z與圓相切時，直線的縱截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延長交每個圓的公切線于點R，則|AQ|＝eq\f(12,5)，|AR|＝eq\f(17,5)，所以點A到直線y＝－eq\f(4,3)x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距離為eq\f(17,5)，所以eq\f(|－12z|,\r(32＋42))＝eq\f(17,5)，解得z＝eq\f(17,12)，即a＋b的最大值為eq\f(17,12).故選C.【訓(xùn)練二】(多選)已知向量e1，e2是平面α內(nèi)的一組基向量，O為α內(nèi)的定點，對于α內(nèi)任意一點P，當(dāng)eq\o(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2時，則稱有序?qū)崝?shù)對(x，y)為點P的廣義坐標(biāo)．若點A，B的廣義坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，關(guān)于下列命題正確的是()A．線段AB的中點的廣義坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))B．A，B兩點間的距離為eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)C．向量eq\o(OA,\s\up6(→))平行于向量eq\o(OB,\s\up6(→))的充要條件是x1y2＝x2y1D．向量eq\o(OA,\s\up6(→))垂直于eq\o(OB,\s\up6(→))的充要條件是x1x2＋y1y2＝0【解析】由中點的意義知A正確；只有在e1，e2互相垂直時，兩點間的距離公式B才正確，B錯誤；由向量平行的充要條件得C正確；只有e1，e2互相垂直時，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))垂直的充要條件為x1x2＋y1y2＝0，D不正確．故選AC.【訓(xùn)練三】已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD為角平分線．(1)求AD的長度；(2)過點D作直線交AB，AC的延長線于不同兩點E，F(xiàn)，且滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))，求eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的值，并說明理由．【解析】(1)根據(jù)角平分線定理：eq\f(DB,DC)＝eq\f(AB,AC)＝2，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(4,9)－eq\f(4,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(4,9)，所以AD＝eq\f(2,3).(2)因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3x)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(2,3y)eq\o(AF,\s\up6(→))，因為E，D，F(xiàn)三點共線，所以eq\f(1,3x)＋eq\f(2,3y)＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝3.【訓(xùn)練四】如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動點，且P，G，Q三點共線．(1)設(shè)eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，將eq\o(OG,\s\up6(→))用λ，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))表示；(2)設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(OB,\s\up6(→))，求證：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)是定值．【解析】(1)解eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→)).(2)證明由(1)得eq\o(OG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1－λ)xeq\o(OA,\s\up6(→))＋λyeq\o(OB,\s\up6(→))，因為G是△OAB的重心，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→)).又eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λx＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)為定值．【訓(xùn)練五】如圖，在△OBC中，點A是線段BC的中點，點D是線段OB上一個靠近點B的三等分點，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AO,\s\up6(→))＝b.(1)用向量a與b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))，判斷C，D，E三點是否共線，并說明理由．【解析】(1)因為點A是線段BC的中點，點D是線段OB上一個靠近點B的三等分點，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BO,\s\up6(→)).因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AO,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BO,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→)))＝eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)a＋eq\f(1,3)b.(2)C，D，E三點不共線．理由如下：因為eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(3,5)eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋b－eq\f(3,5)b＝a＋eq\f(2,5)b，由(1)知eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)a＋eq\f(1,3)b，所以不存在實數(shù)λ，使得eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→)).所以C，D，E三點不共線．【訓(xùn)練六】如圖，在同一個平面內(nèi)，三個單位向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))滿足條件：eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為α，且tanα＝7，eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為45°.若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，求m＋n的值.【解析】以O(shè)為原點，eq\o(OA,\s\up6(→))的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由tanα＝7知α為銳角，則sinα＝eq\f(7\r(2),10)，cosα＝eq\f(\r(2),10)，故cos(α＋45°)＝－eq\f(3,5)，sin(α＋45°)＝eq\f(4,5).∴點B，C的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)，\f(7\r(2),10)))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)，\f(7\r(2),10))).又eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)，\f(7\r(2),10)))＝m(1，0)＋neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－\f(3,5)n＝\f(\r(2),10)，,\f(4,5)n＝\f(7\r(2),10)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5\r(2),8)，,n＝\f(7\r(2),8).))∴m＋n＝eq\f(5\r(2),8)＋eq\f(7\r(2),8)＝eq\f(3\r(3),2).四、【強(qiáng)化測試】【單選題】1.已知向量a，b滿足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2，1)，則b＝()A．(1，2) B．(1，－2)C．(－1，2) D．(－1，－2)【解析】因為a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2，1)②，所以②－①得3b＝(－3，6)，所以b＝(－1，2)．故選C.2.設(shè)向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，若向量a＝－3e1－e2與b＝e1－λe2共線，則λ＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－3 D．3【解析】方法一：因為a與b共線，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－eq\f(1,3).故選B.方法二：因為向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，故由a與b共線可得，eq\f(1,－3)＝eq\f(－λ,－1)，解得λ＝－eq\f(1,3).故選B.3.已知OB是平行四邊形OABC的一條對角線，O為坐標(biāo)原點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若點E滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，則點E的坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))【解析】易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，則C(－1，－1)，設(shè)E(x，y)，則3eq\o(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).故選A.4.已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)【解析】如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點的坐標(biāo)為(1，0)，C點的坐標(biāo)為(0，2)，因為∠DAB＝60°，所以設(shè)D點的坐標(biāo)為(m，eq\r(3)m)(m≠0)．eq\o(AD,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3).故選A.5.設(shè)向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且a與b的方向相反，則實數(shù)m的值為()A．－2 B．1C．－2或1 D．m的值不存在【解析】向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，因為a∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或m＝1.當(dāng)m＝1時，a＝(1,2)，b＝(1,2)，a與b的方向相同，舍去；當(dāng)m＝－2時，a＝(－2,2)，b＝(1，－1)，a與b的方向相反，符合題意.故選A.6.如圖，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)a B.eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)b D.eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a【解析】eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a.故選D.7.已知等邊三角形ABC的邊長為4，O為三角形內(nèi)一點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△AOB的面積是()A.4eq\r(3) B.eq\f(8\r(3),3)C.eq\f(4\r(3),3) D.2eq\r(3)【解析】根據(jù)題意，設(shè)AB邊的中點為D，因為△ABC是等邊三角形，則CD⊥AB.由AB的中點為D，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，又由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，則O是CD的中點，又△ABC的邊長為4，則AD＝2，CD＝2eq\r(3)，則OD＝eq\r(3)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3).故選D.8.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分別是AB，AD上的動點，且滿足2|eq\o(AM,\s\up6(→))|＋|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝1，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))，則2x＋3y的最小值為()A.48 B.49 C.50 D.51【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).設(shè)M(m，0)，N(0，n)，因為2|eq\o(AM,\s\up6(→))|＋|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝1，所以2m＋n＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤m≤\f(1,2)，0≤n≤1)).因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(4,m)，y＝eq\f(3,n)，所以2x＋3y＝eq\f(8,m)＋eq\f(9,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,m)＋\f(9,n)))(2m＋n)＝25＋eq\f(8n,m)＋eq\f(18m,n)≥25＋24＝49，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(8n,m)＝eq\f(18m,n)，即m＝eq\f(2,7)，n＝eq\f(3,7)時取等號.故選B.【多選題】9.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m可以是()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1【解析】各選項代入驗證，若A，B，C三點不共線即可構(gòu)成三角形．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，則A，B，C三點即可構(gòu)成三角形.故選ABD.10.已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段OA的中點，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→)) D．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))【解析】如圖所示，設(shè)BC的中點為E，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).故選AC．11.設(shè)a是已知的平面向量且a≠0，關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題(向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線)，則真命題是()A．給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋cB．給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μcC．給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μcD．給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc【解析】∵向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，∴b≠0，c≠0，給定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即為所求的向量c，故總存在向量c，使a＝b＋c，故A正確；當(dāng)向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，無論λ取何值，向量λb都平行于x軸，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μc的縱坐標(biāo)一定為4，故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯誤；因為λ和μ為正數(shù)，所以λb和μc代表與原向量同向的且有固定長度的向量，這就使得向量a不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D錯誤．故選AB.12.如圖，B是AC的中點，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則下列結(jié)論中正確的是()A．當(dāng)x＝0時，y∈[2,3]B．當(dāng)P是線段CE的中點時，x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(5,2)C．若x＋y為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點P的軌跡是一條線段D．當(dāng)P在C點時，x＝1，y＝2【解析】當(dāng)eq\o(OP,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(OB,\s\up6(→))時，點P在線段BE上，故1≤y≤3，故A中結(jié)論錯誤；當(dāng)P是線段CE的中點時，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EP,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(5,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，故B中結(jié)論正確；當(dāng)x＋y為定值1時，A，B，P三點共線，又P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點，故P的軌跡是一條線段，故C中結(jié)論正確；因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝2，D錯誤．故選BC.【填空題】13.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.【解析】由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb.因為a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))14.已知點A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且點P在直線x－2y＝0上，則λ的值為________．【解析】設(shè)P(x，y)，則由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又點P在直線x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).15.在△AOB中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，D為OB的中點，若eq\o(DC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則λμ的值為________．【解析】因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，因為D為OB的中點，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(4,5)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(3,10)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(4,5)，μ＝－eq\f(3,10)，則λμ的值為－eq\f(6,25).16.已知O為坐標(biāo)原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－2，－1)，若2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝________.【解析】設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)，由2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2＝－3，,2y－4＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))故|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq\f(\r(2),2).【解答題】17.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b共線；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值．【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)方法一∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).方法二eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq\f(3,2).18.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))方法二∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．19.如圖，在△ABC中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求△ABM與△ABC的面積之比；(2)若N為AB中點，eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(CN,\s\up6(→))交于點P，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，求x＋y的值.【解析】(1)在△ABC中，由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，得4eq\o(AM,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即3(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))，即3eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，即點M是線段BC上的靠近B的四等分點，∴△ABM與△ABC的面積之比為eq\f(1,4).(2)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3λ,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3λ,2)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(λ,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵N，P，C三點共線，∴eq\f(3λ,2)＋eq\f(λ,4)＝1，解得λ＝eq\f(4,7)，x＝eq\f(3λ,4)＝eq\f(3,7)，y＝eq\f(1,4)λ＝eq\f(1,7)，故x＋y＝eq\f(4,7).20.如圖，已知平面內(nèi)有三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→