2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第08講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教師版

《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》達(dá)標(biāo)檢測(cè)[A組]—應(yīng)知應(yīng)會(huì)1．化簡(jiǎn)的結(jié)果為A． B． C． D．【分析】先計(jì)算系數(shù)，然后利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算求解．【解答】解：．故選：．2．若指數(shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：指數(shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，，故選：．3.函數(shù)在區(qū)間，上的最小值是A． B． C． D．2【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值．【解答】解：函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，，（1），故函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，故選：．4．已知，且（1）（3），則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，，【分析】由題意利用函數(shù)的單調(diào)性，求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：，且（1）（3），，故選：．5．已知，且，，，則關(guān)于函數(shù)，說法正確的是A．函數(shù)，都單調(diào)遞增 B．函數(shù)，都單調(diào)遞減 C．函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 D．函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【分析】根據(jù)題意，分析可得，據(jù)此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若，則，則，而，故函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；故選：．6．如圖所示，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象只可為A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸首先排除、選項(xiàng)，結(jié)合二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出答案．【解答】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)可知，同號(hào)且不相等則二次函數(shù)的對(duì)稱軸可排除與，又因?yàn)槎魏瘮?shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)，正確．故選：．7．設(shè)，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得，最后根據(jù)冪函數(shù)是上的增函數(shù)，得，即得本題的答案．【解答】解：，且，因此，排除、兩項(xiàng)又函數(shù)是上的增函數(shù)，可得故選：．8．通過科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：地震時(shí)釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為．已知2011年甲地發(fā)生里氏9級(jí)地震，2019年乙地發(fā)生里氏7級(jí)地震，若甲、乙兩地地震釋放能量分別為，，則和的關(guān)系為A． B． C． D．【分析】先把數(shù)據(jù)代入已知解析式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：根據(jù)題意得：①，②，①②得，，所以，即，故選：．9．若，則有A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷在定義域上是增函數(shù)，得出，化為即可．【解答】解：，，設(shè)函數(shù)，則，在定義域上是增函數(shù)；又，即，，即．故選：．10．（多選）若實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式中可能成立的是A． B． C． D．【分析】構(gòu)造，，易知，是遞增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象，得出結(jié)論．【解答】解：由，設(shè)，，易知，是遞增函數(shù)，畫出，的圖象如下：綠色，藍(lán)色的分別是，的圖象，根據(jù)圖象可知：當(dāng)，1時(shí)，，，（a）（b）可能成立；故正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕╝）（b）可能成立，正確；當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋╝）（b），所以不可能成立，故選：．11．計(jì)算：．【分析】按照分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則算得即可．【解答】解：．故答案為：．12．函數(shù)，的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為．【分析】解析式中的指數(shù)，求出的值，再代入解析式求出的值，即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：由于函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)，令，可得，求得，故函數(shù)，則它的圖象恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為13．關(guān)于的不等式的解集為．【分析】由題意利用函數(shù)的單調(diào)性，根式的性質(zhì)，可得，由此求得的范圍．【解答】解：關(guān)于的不等式，即，求得，故答案為：，．14．已知實(shí)數(shù)，滿足等式，下列五個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤．其中可能成立的關(guān)系式有．【分析】分別畫出函數(shù)，的圖象．根據(jù)實(shí)數(shù)，滿足等式，即可判斷出下列五個(gè)關(guān)系式中正確的結(jié)論．【解答】解：分別畫出函數(shù)，的圖象．根據(jù)實(shí)數(shù)，滿足等式，下列五個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤．其中可能成立的關(guān)系式有①②⑤．故答案為：①②⑤．15．已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，如果（3）（1），那么（8）（4）（請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫“”，“”或“”【分析】由（3）（1）可求，然后代入求值即可比較大?。窘獯稹拷猓涸O(shè)且，（3）（1），，，（8），（4），（8）（4），故答案為：16．已知點(diǎn)在函數(shù)且圖象上，對(duì)于函數(shù)定義域中的任意，，有如下結(jié)論：①；②；③；④上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是．【分析】求出指數(shù)函數(shù)的解析式，利用指數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)判斷①、②，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷③，根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則和基本不等式判斷④．【解答】解：點(diǎn)在函數(shù)且圖象上，，解得：，，①，故①正確；②，故②錯(cuò)誤；③，在遞增，故，故③錯(cuò)誤；④故④正確；故答案為：①④．17．計(jì)算下列各式（式中字母均是正數(shù)）．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：（Ⅰ）原式；（Ⅱ）原式．18．已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值比最小值大2，求實(shí)數(shù)的值．【分析】對(duì)于指數(shù)函數(shù)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，求出最值，作差求出即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，（1），（2），由題意知，解得，（舍棄），故的值為：2．19．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并用定義加以證明；（Ⅱ）記，若在區(qū)間上有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)．運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意取值、作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；（Ⅱ）由于在區(qū)間上有意義，則，即在上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出值域，即可得到的范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)．設(shè)，則．由于，則，又，則，則，即有，即，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)；（Ⅱ）由于在區(qū)間上有意義，則，即在上恒成立，即在上恒成立，由于，則有．20．已知函數(shù)且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)的解析式以及，求得的值．（Ⅱ）由題意可得，函數(shù)的圖象和直線有交點(diǎn)，故有，求得的范圍．（Ⅲ）由題意可得當(dāng)時(shí)，恒成立．令，則，且．利用單調(diào)性求得，從而可得的范圍．【解答】解：（Ⅰ）對(duì)于函數(shù)，由，求得，故．（Ⅱ）若函數(shù)有零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象和直線有交點(diǎn)，，求得．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立．令，則，且．由于在上單調(diào)遞減，，．21．某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下，測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常．排氣后4分鐘測(cè)得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為為濃度單位，一個(gè)表示百萬分之一），再過4分鐘又測(cè)得濃度為．由檢驗(yàn)知該地下車庫一氧化碳濃度與排氣時(shí)間（分鐘）存在函數(shù)關(guān)系，為常數(shù)）．（1）求，的值（2）若空氣中一氧化碳濃度不高于為正常，問至少排氣多少分鐘，這個(gè)地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)？【分析】（1）利用待定系數(shù)法，解得即可．（2）由題意，構(gòu)造不等式，解得即可．【解答】解：（1）函數(shù)，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，，解得，，（2）由（1）得，，解得．故至少排氣32分鐘，這個(gè)地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)．[B組]—強(qiáng)基必備1．設(shè)函數(shù)，，為非零實(shí)數(shù)），且（a），（b），若且，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)（a），（b）得到，的關(guān)系，即可得到的最小值．【解答】解：由（a），（b），得，兩式相減，得，所以，若，則（a），（b）成立時(shí)，，與且矛盾，不符合條件，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值．故選：．2．已知函數(shù)（1）試求函數(shù)，，的最大值；（2）若存在，使成立，試求的取值范圍；（3）當(dāng)，且，時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．【分析】（1）把代入到中化簡(jiǎn)得到的解析式求出的最大值即可；（2）可設(shè)，存在使得，討論求出解集，讓大于其最小，小于其最大即可得到的取值范圍；（3）不等式恒成立即為恒成立即要，根據(jù)二次函數(shù)求最值