中考數(shù)學專題復習《圖形的旋轉(zhuǎn)》測試卷-附帶答案

第頁中考數(shù)學專題復習《圖形的旋轉(zhuǎn)》測試卷-附帶答案學校:___________班級:___________姓名:___________考號:___________一．選擇題（共5小題）1．如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰CD以D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連AE、CE，則△ADE的面積是（）A．1 B．2 C．3 D．不能確定2．如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應點B'的坐標是（）A．（﹣1，2+） B．（﹣，3） C．（﹣，2+） D．（﹣3，）3．如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應點B'的坐標是（）A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）4．如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，BE＝4，EC＝8，將正方形邊AB沿AE折疊到AF，延長EF交DC于G，連接AG，F(xiàn)C，現(xiàn)在有如下4個結(jié)論：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD邊上的一點，AM：MD＝1：2．將△BMA沿BM對折至△BMN，連接DN，則DN的長是（）A． B． C．3 D．二．填空題（共12小題）6．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝7，點D是邊BC上一點，點H是線段AD上點，連接BH、CH．當∠BHD＝60°，∠AHC＝90°時，AH＝．7．如圖，已知點A（0，3），B（4，0），點C在第一象限，且AC＝5，BC＝10，則直線OC的函數(shù)表達式為．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點（B點除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為．9．如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠ACB＝45°，D為AB邊上一動點（不與點B重合），以CD為邊長作正方形CDEF，連接BE，則△BDE的面積的最大值等于．10．如圖，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，連接BF，DE．若△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，當∠ABF最大時，S△ADE＝．11．如圖，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝13，AE＝AF＝12，連接BF，DE．若△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，當∠ABF最大時，S△ADE＝．12．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，若∠EBF＝45°，則△EDF的周長等于．13．如圖，在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AH⊥EF，垂足為H，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，若BE＝2，DF＝3，則AH的長為．14．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是．15．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE＝DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為4，則線段DH長度的最小值是．16．如圖，將邊長為6的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上），使點B落在AD邊上的點M處（點M不與A，D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，連接MB，當點M在邊AD上移動時，有下列結(jié)論：①BM＝EF；②0＜PF＜3；③∠AMB＝∠BMP；④△PDM的周長隨之改變．其中正確結(jié)論的序號是（把你認為正確的結(jié)論的序號都填上）．17．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點E為BC邊上一個動點，連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A落在點P處，當點P在矩形ABCD外部時，連接PC、PD．若△DPC為直角三角形，則BE的長為．三．解答題（共11小題）18．在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是邊BC上一點，將△ABD沿AD折疊得到△AED，連接BE．（1）特例發(fā)現(xiàn)如圖1，當m＝1，AE落在直線AC上時．①求證：∠DAC＝∠EBC；②填空：的值為；（2）類比探究如圖2，當m≠1，AE與邊BC相交時，在AD上取一點G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于點H．探究的值（用含m的式子表示），并寫出探究過程；（3）拓展運用在（2）的條件下，當m＝，D是BC的中點時，若EB?EH＝6，求CG的長．19．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM＝BN；（2）將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當點M恰好在AB邊上時，求證：AM2+BM2＝2OM2；②當點A，M，N在同一條直線上時，若OA＝4，OM＝3，請直接寫出線段AM的長．20．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如圖1：連AM，BN，求證：△AOM≌△BON；（2）若將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，當點N恰好在AB邊上時，求證：BN2+AN2＝2ON2；②當點A，M，N在同一條直線上時，若OB＝4，ON＝3，請直接寫出線段BN的長．21．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度數(shù)；（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）若AB＝1，點E在四邊形ABCD內(nèi)部運動，且滿足AE2＝BE2+CE2，求點E運動路徑的長度．22．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接EC，則：（1）①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關系是．拓展探究：（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關系，并說明理由；解決問題：（3）如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請直接寫出線段AD的長度．23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若點P是△ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值．24．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°（1）如圖1，當AB＝AC＝2，求BC的值；（2）如圖2，當AB＝AC，點P是△ABC內(nèi)一點，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度數(shù)；（3）如圖3，當AC＝4，AB＝（CB＞CA），點P是△ABC內(nèi)一動點，則PA+PB+PC的最小值為．25．已知在△ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將△AOC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到△EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關系是；（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．26．如圖，在正方形ABCD中，點E是AB邊上一點，以DE為邊作正方形DEFG，DF與BC交于點M，延長EM交GF于點H，EF與CB交于點N，連接CG．（1）求證：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN＝，求的值；（3）已知正方形ABCD的邊長為1，點E在運動過程中，EM的長能否為？請說明理由．27．在正方形ABCD中，點E是直線AB上動點，以DE為邊作正方形DEFG，DF所在直線與BC所在直線交于點H，連接EH．（1）如圖1，當點E在AB邊上時，延長EH交GF于點M，EF與CB交于點N，連接CG，①求證：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）當正方形ABCD的邊長為4，AE＝1時，請直接寫出EH的長．28．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，設BE＝x．（1）當AM＝時，求x的值；（2）隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值；（3）設四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式，并求出S的最小值．參考答案一．選擇題（共5小題）1．解：如圖所示，作EF⊥AD交AD延長線于F，作DG⊥BC，∵CD以D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，∴∠EDF+∠CDF＝90°，DE＝CD，又∵∠CDF+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠EDF，在△DCG與△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF＝CG，∵AD＝2，BC＝3，∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，∴EF＝1，∴△ADE的面積是：×AD×EF＝×2×1＝1．故選：A．2．解：如圖，作B′H⊥y軸于H．由題意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴A′H＝A′B′＝1，B′H＝，∴OH＝3，∴B′（﹣，3），故選：B．3．解：如圖，過點B′作B′H⊥y軸于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，∴OH＝2+1＝3，∴B′（﹣，3），故選：A．4．解：如圖，連接DF．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，設GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正確，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE+EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，易知△GFC不是等邊三角形，顯然FG≠FC，故②錯誤，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF，GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正確，∵S△ECG＝×6×8＝24，F(xiàn)G：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝×24＝，故④錯誤，故選：B．5．解：連接AN交BM于點O，作NH⊥AD于點H．如圖：∵AB＝6，AM：MD＝1：2．∴AM＝2，MD＝4．∵四邊形ABCD是正方形．∴BM＝．根據(jù)折疊性質(zhì)，AO⊥BM，AO＝ON．AM＝MN＝2．∴．∴＝．∴AN＝．∵NH⊥AD．∴AN2﹣AH2＝MN2﹣MH2．∴．∴．∴．∴．∴DN＝．故選：D．二．填空題（共11小題）6．解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，∴∠ABH＝∠CAH，在△ABE和△CAH中，∴△ABE≌△CAH（AAS），∴BE＝AH，AE＝CH，∵∠AHE＝∠BHD＝60°，∴∠HAE＝∠HBF＝30°，∴AH＝2HE，AE＝HE，BH＝2HF，BF＝HF，∴AH＝AE＝CH，在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝72，解得AH＝2，故答案為2．7．解：如圖，連接AB，作CD⊥x軸于點D，∴AB＝＝＝5，∵AC＝5，BC＝10，∴AB2+BC2＝52+102＝125＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠AOB＝∠BDC＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBD，∴△ABO∽△BCD，∴，即，解得：BD＝6，CD＝8，則OD＝10，∴點C的坐標為（10，8），設直線OC的函數(shù)表達式為y＝kx，將點C（10，8）代入，得：10k＝8，即k＝，∴直線OC的函數(shù)表達式為y＝x，故答案為：y＝x．8．解：過點C作CG⊥BA于點G，作EH⊥AB于點H，作AM⊥BC于點M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，∴△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，設BD＝x，則DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，當x＝4時，△BDE面積的最大值為8．故答案為8．9．解：如圖，過點E作EM⊥BA于M，過點C作CN⊥BA交BA的延長線于N，過點A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，AC＝2，∴AH＝CH＝AC?cos45°＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝10，AH＝，∴BH＝＝＝3，∴BC＝BH+CH＝4，∵S△ACB＝?BC?AH＝?AB?CN，∴CN＝4，在Rt△ACN中，AN＝＝＝2，∴BN＝BA+AN＝12，設BD＝x，則DN＝12﹣x，∵四邊形EFCD是正方形，∴DE＝DC，∠EDC＝∠EMD＝∠DNC＝90°，∴∠EDM+∠ADC＝90°，∠ADC+∠DCN＝90°，∴∠EDM＝∠DCN，∴△EMD≌△DNC（AAS），∴EM＝DN＝12﹣x，∴S△DBE＝?BD?EM＝?x?（12﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣6）2+18，∵﹣＜0，∴當x＝6時，△BDE的面積的最大，最大值為18．故答案為18．10．解：作DH⊥AE于H，如圖，∵AF＝4，當△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)時，點F在以A為圓心，4為半徑的圓上，∴當BF為此圓的切線時，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE?DH＝×3×4＝6．故答案為6．11．解：過D作DH⊥AE于H，如圖所示：∵AF＝12，∴當△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)時，點F在以A為圓心，12為半徑的圓上，∴當BF為此圓的切線時，∠ABF最大，∴BF⊥AF，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝5，∴S△ADE＝AE?DH＝×12×5＝30，故答案為：30．12．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠BAE＝∠C＝90°，∴把△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△BCG，如圖，∴BG＝BE，CG＝AE，∠GBE＝90°，∠BAE＝∠C＝90°，∴點G在DC的延長線上，∵∠EBF＝45°，∴∠FBG＝∠EBG﹣∠EBF＝45°，∴∠FBG＝∠FBE，在△FBG和△EBF中，，∴△FBG≌△FBE（SAS），∴FG＝EF，而FG＝FC+CG＝CF+AE，∴EF＝CF+AE，∴△DEF的周長＝DF+DE+CF+AE＝CD+AD＝2+2＝4故答案為：4．13．解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF＝AG，∠DAF＝∠BAG．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°．又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°．∴∠BAG+∠BAE＝45°．∴∠GAE＝∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．∵AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB＝AH，GE＝EF＝5．設正方形的邊長為x，則EC＝x﹣2，F(xiàn)C＝x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝25．解得：x1＝6．x2＝﹣1（舍去）∴AB＝6．∴AH＝6．故答案為：6．14．解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中點O，連接OH、OD，則OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根據(jù)三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解為點H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運動當O、H、D三點共線時，DH長度最小）故答案為：﹣1．15．解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中點O，連接OH、OD，則OH＝AO＝AB＝2，在Rt△AOD中，OD＝＝2，根據(jù)三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．故答案為：2﹣2．16．解：作FG⊥AB于G，如圖所示：則∠EGF＝90°，GF＝BC＝AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠A＝90°，∴∠ABM+∠AMB＝90°，由折疊的性質(zhì)得：BM⊥EF，BE＝ME，∠EMN＝∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠GEF＝∠ABM+∠AMB＝90°，∴∠AMB＝∠GEF，在△ABM和△GFE中，，∴△ABM≌△GFE（AAS），∴BM＝EF，①正確；若點M與A重合，則C與D重合，P與D重合，PF＝3；當M與D重合時，N與C重合，P與C重合，EF與AC重合，CF＝0；∵點M不與A，D重合，∴0＜PF＜3，②正確；∵BE＝ME，∴∠ABM＝∠EMB，∵∠ABC＝∠EMN＝90°，∴∠AMB＝∠BMP，③正確；設AM＝x，則MD＝6﹣x．由折疊性質(zhì)可知，EM＝BE＝6﹣AE，在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，即AE2+x2＝（6﹣AE）2，整理得：AE2+x2＝36﹣12AE+AE2，∴AE＝（36﹣x2），又∵∠EMP＝90°，∴∠AME+∠DMP＝90°．∵∠AME+∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠DMP．又∵∠A＝∠D，∴△PDM∽△MAE．∴＝，∴△PDM的周長＝△MAE的周長?＝（6+x）?＝12．∴△PDM的周長保持不變，④不正確；故答案為：①②③．17．解：①如圖1中，當∠PDC＝90°時，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠PDC＝180°，∴A、D、P共線，∵EA＝EP，∠AEP＝90°，∴∠EAP＝45°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°，∵∠B＝90°∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴BE＝AB＝3．②如圖2中，當∠DPC＝90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設BE＝x，∵∠AEB+∠PEF＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠PEF，在△ABE和△EFP中，，∴△ABE≌△EFP，∴EF＝AB＝3，PF＝HC＝BE＝x，∴CF＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2，∵∠DPH+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠DPH＝∠PCH，∵∠DHP＝∠PHC，∴△PHD∽△CHP，∴PH2＝DH?CH，∴（x﹣2）2＝x（3﹣x），∴x＝或（舍棄），∴BE＝，綜上所述，當△PDC是直角三角形時，BE的值為3或．故答案為3或．三．解答題（共11小題）18．解（1）①如圖1，延長AD交BE于F，由折疊知，∠AFB＝90°＝∠ACB，∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°，∵∠ADC＝∠BDF，∴∠DAC＝∠EBC；②由①知，∠DAC＝∠EBC，∵m＝1，∴AC＝BC，∵∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（ASA），∴CD＝CE，∴＝1，故答案為1．（2）如圖2，延長AD交BE于F，由（1）①知，∠DAC＝∠EBC，∵∠ACG＝∠BCE，∴△ACG∽△BCE，∴＝m；（3）由折疊知，∠AFB＝90°，BF＝FE，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD，∴DF是△BCE的中位線，∴DF∥CE，∴∠BEC＝∠BFD＝90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，由（2）知，△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝90°，＝＝2m＝，∴＝tan∠GAC＝＝，設CG＝x，則AG＝x，BE＝2x，∴AG＝CE，∴△AGH≌△ECH（AAS），∴AH＝EH，GH＝CH，∴GH＝x，在Rt△AGH中，根據(jù)勾股定理得，AH＝＝x，∵EB?EH＝6，∴2x?x＝6，∴x＝或x＝﹣（舍），即CG＝．19．（1）證明：如圖1，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM＝BN；（2）①證明：如圖2，連接BN，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，∴∠MBN＝90°，∴MB2+BN2＝MN2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴AM2+BM2＝2OM2；②解：如圖3，當點N在線段AM上時，連接BN，設BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝3，AB＝4，∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，解得：x＝，∴AM＝BN＝，如圖4，當點M在線段AN上時，連接BN，設BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝3，AB＝4，∴（x+3）2+x2＝（4）2，解得：x＝，∴AM＝BN＝，綜上所述，線段AM的長為或．20．（1）證明：如圖1中，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∵AO＝BO，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS）．（2）①證明：如圖2中，連接AM．同法可證△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，∵∠OAB＝∠B＝45°，∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，∴MN2＝AN2+AM2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴NB2+AN2＝2ON2．②如圖3﹣1中，設OA交BN于J，過點O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，∵∠AJN＝∠BJO，∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，∴MN＝3，MH＝HN＝OH＝，∴AH＝＝＝，∴BN＝AM＝MH+AH＝．如圖3﹣2中，同法可證AM＝BN＝．21．解：（1）如圖1中，在四邊形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°．（2）如圖2中，結(jié)論：DB2＝DA2+DC2．理由：連接BD．以BD為邊向下作等邊三角形△BDQ．∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，∵AB＝BC，DB＝BQ，∴△ABD≌△CBQ（SAS），∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，∴∠DCQ＝90°，∴DQ2＝DC2+CQ2，∵CQ＝DA，DQ＝DB，∴DB2＝DA2+DC2．（3）如圖3中，連接AC，將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABR，連接RE．則△AER是等邊三角形，∵EA2＝EB2+EC2，EA＝RE，EC＝RB，∴RE2＝RB2+EB2，∴∠EBR＝90°，∴∠RAE+∠RBE＝150°，∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°，∴∠BEC＝150°，∴點E的運動軌跡在O為圓心的圓上，在⊙O上取一點K，連接KB，KC，OB，OC，∵∠K+∠BEC＝180°，∴∠K＝30°，∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，∴點E的運動路徑＝＝．22．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴AC＝BC＝EC+CD；故答案為：60°，AC＝DC+EC；（2）BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）作AE⊥CD于E，連接AD，∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴點B，C，A，D四點共圓，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝1，AE＝4，∴AD＝或AD＝4．23．解：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，如圖所示，則∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP＝PP′，∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2，∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝AB?cos∠BAC＝2×cos30°＝2×＝，∴CB′＝＝＝，故答案為：．24．解：（1）如圖1中，作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝PC，在Rt△ACP中，∵AC＝2，∠C＝30°，∴PC＝AC?cos30°＝，∴BC＝2PC＝2．（2）如圖2中，將△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△QAC．∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∴PA＝AQ＝2，PB＝QC＝，∵∠PAQ＝120°，∴PQ＝2，∴PQ2+PC2＝QC2，∴∠QPC＝90°，∵∠APQ＝30°，∴∠APC＝30°+90°＝120°．（3）如圖3中，將△BCP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CB′P′，連接PP′，AB′，則∠ACB′＝90°．∵PA+PB+PC＝PA+PP′+P′B′，∴當A，P，P′，B′共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值＝AB′的長，由AB＝，AC＝4，∠C＝30°，可得BC＝CB′＝3，∴AB′＝＝．故答案為．25．解：（1）結(jié)論：AE＝CF．理由：如圖1中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（3）如圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OE＝OA，∵OA＝OD，∴OE＝OA＝OD＝5，∴∠AED＝90°，∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，∴＝，∴△AOE∽△COF，∴＝，∵CF＝OA＝5，∴＝，∴AE＝，∴DE＝＝＝．26．（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFM＝∠GFM＝45°，在△EFM和△GFM中，∴△EFM≌△GFM（SAS），∴EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，在△EFH和△GFN中，，∴△EFH≌△GFN（ASA），∴HF＝NF，∵tan∠MEN＝＝，∴GF＝EF＝3HF＝3NF，∴GH＝2HF，作NP∥G