高三一輪總復習理科數(shù)學課時跟蹤檢測86雙曲線

[課時跟蹤檢測][基礎達標]1．(2017屆合肥質檢)若雙曲線C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1與C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4eq\r(5)，則b＝()A．2 B．4C．6 D．8解析：由題意得eq\f(b,a)＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝4eq\r(5)?c＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5)?b＝4，故選B.答案：B2．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±2x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±eq\f(\r(2),2)x解析：由條件e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝3，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.故選B.答案：B3．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點為F1，F(xiàn)2，且C上點P滿足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4，則雙曲線C的離心率為()A.eq\f(\r(10),2) B．eq\r(5)C.eq\f(5,2) D．5解析：依題意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝eq\r(|PF2|2＋|PF1|2)＝5，因此該雙曲線的離心率e＝eq\f(|F1F2|,|PF2|－|PF1|)＝5.答案：D4．(2017屆長春質檢)過雙曲線x2－eq\f(y2,15)＝1的右支上一點P，分別向圓C1：(x＋4)2＋y2＝4和圓C2：(x－4)2＋y2＝1作切線，切點分別為M，N，則|PM|2－|PN|2的最小值為()A．10 B．13C．16 D．19解析：由題可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2答案：B5．(2018屆河南六市第一次聯(lián)考)已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則雙曲線的離心率為()A．2 B．4C.eq\r(13) D．eq\r(15)解析：由題意，設|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，則BF1⊥BF2.∵|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a.又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝eq\f(c,a)＝答案：C6．(2018屆合肥市第二次質量檢測)雙曲線M：x2－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點分別為F1、F2，記|F1F2|＝2c，以坐標原點O為圓心，c為半徑的圓與曲線M在第一象限的交點為P，若|PF1|＝c＋2，則點P的橫坐標為()A.eq\f(\r(3)＋1,2) B．eq\f(\r(3)＋2,2)C.eq\f(\r(3)＋3,2) D．eq\f(3\r(3),2)解析：由點P在雙曲線的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，則|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋eq\r(3).易知△POF2為等邊三角形，則xP＝eq\f(c,2)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，選項A正確．答案：A7．(2018屆湖南十校聯(lián)考)設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與直線x＝eq\f(a2,c)分別交于A，B兩點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點．若60°<∠AFB<90°，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．解析：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，x＝eq\f(a2,c)時，y＝±eq\f(ab,c)，不妨設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，－\f(ab,c)))，因為60°<∠AFB<90°，所以eq\f(\r(3),3)<kFB<1，所以eq\f(\r(3),3)<eq\f(\f(ab,c),c－\f(a2,c))<1，所以eq\f(\r(3),3)<eq\f(a,b)<1，所以eq\f(1,3)<eq\f(a2,c2－a2)<1，所以1<e2－1<3，所以eq\r(2)<e<2.答案：(eq\r(2)，2)8．若點P是以A(－3,0)，B(3,0)為焦點，實軸長為2eq\r(5)的雙曲線與圓x2＋y2＝9的一個交點，則|PA|＋|PB|＝________.解析：不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PA|>|PB|.因為點P是雙曲線與圓的交點，所以由雙曲線的定義知，|PA|－|PB|＝2eq\r(5)，①又|PA|2＋|PB|2＝36，②聯(lián)立①②化簡得2|PA|·|PB|＝16，所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2eq\r(13).答案：2eq\r(13)9．(2017年全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________．解析：∵|AM|＝|AN|＝b，∠MAN＝60°，∴△MAN是等邊三角形，∴在△MAN中，MN上的高h＝eq\f(\r(3),2)b.∵點A(a,0)到漸近線bx－ay＝0的距離d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(ab,c)，∴eq\f(ab,c)＝eq\f(\r(3),2)b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)10．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線的離心率e的最大值為________．解析：由雙曲線定義知|PF1|－|PF2|＝2a又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝eq\f(8,3)a，|PF2|＝eq\f(2,3)a，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)＝eq\f(17,8)－eq\f(9,8)e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，當F1、P、F2三點共線時，即∠F1PF2＝π時，cos∠F1PF2有最小值為－1，∴cos∠F1PF2＝eq\f(17,8)－eq\f(9,8)e2≥－1，解得1<e≤eq\f(5,3)，即e的最大值為eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)11．設A，B分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右頂點，|AB|＝4eq\r(3)，焦點到漸近線的距離為eq\r(3).(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線y＝eq\f(\r(3),3)x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝teq\o(OD,\s\up6(→))，求t的值及點D的坐標．解：(1)由題意知a＝2eq\r(3)，∵一條漸近線為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0.∴由焦點到漸近線的距離為eq\r(3)，得eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq\r(3).又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.將直線方程y＝eq\f(\r(3),3)x－2代入雙曲線方程eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1得x2－16eq\r(3)x＋84＝0，則x1＋x2＝16eq\r(3)，y1＋y2＝eq\f(\r(3),3)(x1＋x2)－4＝12.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\o\al(2,0),12)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))∴t＝4，點D的坐標為(4eq\r(3)，3)．12．已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線C經過A(－7，5)，B(－1，－1)兩點．(1)求雙曲線C的方程；(2)設直線l：y＝x＋m交雙曲線C于M，N兩點，且線段MN被圓E：x2＋y2－12x＋n＝0(n∈R)三等分，求實數(shù)m，n的值．解：(1)設雙曲線C的方程是λx2＋μy2＝1(λμ<0)，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(49λ＋25μ＝1，,λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2，))所以雙曲線C的方程是2y2－x2＝1.(2)將l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1，得x2＋4mx＋(2m2Δ＝(4m)2－4(2m2設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點P(x0，y0)，則x1＋x2＝－4m所以x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－2m，y0＝x0＋m＝－m，所以P(－2m，－m又圓心E(6,0)，依題意kPE＝－1，故eq\f(m,6＋2m)＝－1，即m＝－2.將m＝－2代入①得x2－8x＋7＝0，解得x1＝1，x2＝7，所以|MN|＝eq\r(1＋12)|x1－x2|＝6eq\r(2).故直線l截圓E所得弦長為eq\f(1,3)|MN|＝2eq\r(2).又E(6,0)到直線l的距離d＝2eq\r(2)，所以圓E的半徑R＝eq\r(2\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(10)，所以圓E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0.所以m＝－2，n＝26.[能力提升]1．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，點(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個頂點．(1)求雙曲線的方程；(2)經過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求|AB|.解：(1)∵雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，點(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個頂點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦點為F2(3,0)，∴經過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－3)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3，))得5x2＋6x－27＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(6,5)，x1x2＝－eq\f(27,5).所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,5))))＝eq\f(16\r(3),5).2．已知橢圓C1的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點，O為坐標原點．(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2，求k的取值范圍．解：(1)設雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則a2＝4－1＝3