2023~2024學年5-1-2 垂線 學案

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）5.1.2垂線學案一、溫故知新（導）1、兩條直線相交形成幾個角？這些角之間有什么關系？2、如上圖，若∠1=50°，則求∠2=1300，∠3=500，∠4=1300.3、觀察下面圖片，你能找出其中相交的直線嗎？它們有什么特殊的位置關系？這是今天我們要學的內(nèi)容，下面我們來看看今天的學習目標和重難點.學習目標1.理解垂線的有關概念、性質及畫法；2.知道垂線段和點到直線的距離的概念，并會應用其解決問題.學習重難點重點：垂線段最短的性質，點到直線的距離的概念及其簡單應用.難點：對點到直線的距離的概念的理解.二、自我挑戰(zhàn)（思）1、在相交線的模型中，固定木條a，轉動木條b.當b的位置變化時，a、b所成的角∠α也會發(fā)生變化.2、如圖，直線AB與CD相交于點O，當直線AB與CD的夾角∠BOC=90°時，這兩條直線有怎樣特殊的位置關系呢？當兩條直線AB、CD相交所成的四個角中有一個角是直角時，就說直線AB、CD互相垂直.AB與CD的交點O叫做垂足.記作：AB⊥CD于點O，讀作：AB垂直于CD于點O，“⊥”是垂直符號，“┐”是直角符號3、想一想：（1）互相垂直的兩條直線其夾角是多少度？垂直的性質∵AB⊥CD(已知)∴∠AOC=90°(垂直的定義)（2）怎樣判定兩條直線是否垂直？垂線的判定∵∠AOC=90°(已知)∴AB⊥CD(垂直的定義)4、用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？能畫無數(shù)條5、過直線l上一點A畫直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？有且只有一條總結：垂線的畫法：一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上；二移：移動三角尺使已知點落在它的另一條直角邊上；三畫：沿著這條直角邊畫線.6、過直線l外一點B畫直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？有且只有一條結論：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.7、比較線段PO，PA1，PA2，PA3的長短，這些線段中，哪一條最短？從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.結論：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.如圖，點P到直線l的距離為線段PO的長度.三、互動質疑（議、展）1、要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠能使渠道最短?垂線段最短.實例：例如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，∠AOD=125°，求∠COE的度數(shù).解：∵∠AOD=125°又∵∠COB=∠AOD∴∠COB=125°∵OE⊥AB∴∠EOB=90°∵∠COE=∠COB－∠EOB∴∠COE=125°－90°=35°.四、清點戰(zhàn)果（評）今天你是否完成了學習目標？你的困惑解決了沒？五、一戰(zhàn)成名（檢）1、如圖，某地進行城市規(guī)劃，在一條新修公路MN旁有一村莊P，現(xiàn)要建一個汽車站，且有A，B，C，D四個地點可供選擇．若要使汽車站離村莊最近，則選擇在點C處建汽車站的依據(jù)是（）A．兩點之間，線段最短B．兩點確定一條直線C．點到直線的距離D．垂線段最短

1、解：根據(jù)題意得：要使汽車站離村莊最近，則選擇在點C處建汽車站的依據(jù)是垂線段最短．故選：D．2、下列圖形中線段PQ的長度表示點P到直線a的距離的是（）A．B．C．D．2、解：由題意得PQ⊥a,

點P到直線a的距離是垂線段PQ的長．

故選：C．3、如圖，∠1=20°，則∠2的度數(shù)是（）A．40°B．60°C．70°D．80°

3、解：由題意可得：∠1+∠2=90°，

∵∠1=20°，

∴∠2=90°-20°=70°．

故選：C．4、如圖，O為直線AB上一點，OE平分∠BOC，OD⊥OE于點O，若∠BOC=80°，則∠AOD的度數(shù)是

．4、解：∵OD⊥OE于點O，

∴∠DOE=90°，

∴∠AOD+∠BOE=90°，

∵OE平分∠BOC，∠BOC=80°，

∴∠BOE=40°，

∴∠AOD=50°．

故答案為：50°．5、如圖，點O是直線AB上一點，OC是一條射線，且∠BOC=148°，若過點O作射線OD，使OD⊥OC，則∠AOD的度數(shù)為

．5、解：當點D在AB下方時，如圖中D1，

∵∠BOC=148°，

∴∠AOC=180°-148°=32°，

∵OD⊥OC，

∴∠AOD=90°-32°=58°，

當點D在AB上方時，如圖中D2，

∵∠BOC=148°，

∴∠AOC=180°-148°=32°，

∵OD⊥OC，

∴∠AOD=90°+32°=122°，

故答案為：122°或58°．6、如圖，直線AB、CD相交于點O，∠BOD=35°，OE⊥AB．求∠BOC與∠COE的度數(shù)．6、解：∵∠BOD=35°，

∴∠BOC=180°-∠BOD=145°，

∵OE⊥AB，

∴∠BOE=90°，

∴∠COE=∠BOC-∠BOE=145°-90°=55°．六、用（一）必做題1、如圖，某污水處理廠要從A處把處理過的水引入排水渠BC，為了節(jié)約用料，鋪設垂直于排水渠的管道AP．這種鋪設方法蘊含的數(shù)學原理是（）A．兩點確定一條直線B．垂線段最短C．過一點可以作無數(shù)條直線D．兩點之間，線段最短1、解：為了節(jié)約用料，鋪設垂直于排水渠的管道AP．這種鋪設方法蘊含的數(shù)學原理是垂線段最短．

故選：B．2、下列說法錯誤的個數(shù)（）

①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②平面內(nèi)，互相垂直的兩條直線一定相交；

③有公共頂點且相等的角是對頂角；④直線外一點到已知直線的垂線段，叫做這點到直線的距離；A．1個B．2個C．3個D．4個

2、解：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故正確，不合題意；

②平面內(nèi)，互相垂直的兩條直線一定相交，故正確，不合題意；

③有公共頂點且相等的角不一定是對頂角，故錯誤，符合題意；

④直線外一點到已知直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，故錯誤，符合題意；

∴錯誤的個數(shù)為2個，

故選：B．3、如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD，垂足為O，若∠BOD=40°，則∠AOE的大小為（）A．50°B．120°C．130°D．140°

3、解：∵OE⊥CD，

∴∠BOD+∠BOE=90°，

∵∠BOD=40°，

∴∠BOE=90°-∠BOD=50°，

∵∠BOE+∠AOE=180°，

∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-50°=130°．

故選：C．4、如圖，直線AB與直線EF相交，交點為O，CD⊥AB，OG平分∠EOB，若∠AOF=60°，則∠DOG的度數(shù)為

．

4、解：∵CD⊥AB，

∴∠BOD=90°，

∵∠AOF=60°，

∴∠BOE=∠AOF=60°，

∵OG平分∠BOE，

∴∠BOG=12∠BOE=30°，

∴∠DOG=∠BOG+∠BOD=30°+90°=120°．

5、已知點O在直線AB上，以點O為端點的兩條射線OC、OD互相垂直，若∠AOC=40°，則∠BOD的度數(shù)是．

5、解：∵點O在直線AB上，

∴∠AOB=180°，

∵OC⊥OD，

∴∠COD=90°，

如圖1，

∵∠AOC=40°，

∴∠BOD=180°-90°-40°=50°，

如圖2，

∵∠AOC=40°，

∴∠AOD=90°-40°=50°，

∴∠BOD=180°-50°=130°，

綜上所述：∠BOD的度數(shù)是50°或130°．

故答案為：50°或130°．（二）選做題6、給下面命題的說理過程填寫依據(jù)．

已知：如圖，O是直線AB上的一點，OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB的平分線．對OD⊥OE說明理由．

理由：因為∠DOC=12∠AOC（）

∠COE=12∠COB（）

所以∠DOC+∠COE=12∠AOC+12∠COB=12（∠AOC+∠COB）（）

所以∠DOE=12∠AOB=12×°=90°（兩角和的定義）

所以OD⊥OE（7、如圖，直線AB，CD相交于點O，OM⊥AB．

（1）若∠1=40°，∠2=30°，求∠NOD的度數(shù)；

（2）如果ON與CD互相垂直，那么∠1=∠2嗎？請說明理由．

7、解：（