專題02 直線與圓錐曲線位置關(guān)系（弦長(zhǎng)與三角形）（講義）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題

第第頁(yè)專題02直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（弦長(zhǎng)與三角形）知識(shí)點(diǎn)一：直線與橢圓聯(lián)立，求解步驟：第一步：代入消元，聯(lián)立化簡(jiǎn)：第二步：計(jì)算判別式；可直接利用結(jié)論：（范圍、最值問題）第三步：根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式；，第四步：利用，計(jì)算第五步：利用，計(jì)算第六步：利用，，計(jì)算弦中點(diǎn)第七步：利用,計(jì)算弦長(zhǎng)和的面積進(jìn)而計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離第八步:利用,，計(jì)算第九步：利用,計(jì)算知識(shí)點(diǎn)二：弦長(zhǎng)問題（最常用公式，使用頻率最高）知識(shí)點(diǎn)三：弦長(zhǎng)問題設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：知識(shí)點(diǎn)四：圓錐曲線中的三角形的面積1、三角形面積問題直線方程：2、焦點(diǎn)三角形的面積直線過焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)

必考題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1．（1）、（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線所過定點(diǎn)以及方程表示橢圓來(lái)求得的取值范圍.【詳解】直線過定點(diǎn)，所以，解得①.由于方程表示橢圓，所以且②.由①②得的取值范圍是.故選：C（2）、（2022·陜西·統(tǒng)考一模）已知直線與焦點(diǎn)在軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是.【答案】【分析】求出直線所過定點(diǎn)，由定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上，得出參數(shù)范圍，同時(shí)注意橢圓的焦點(diǎn)在軸對(duì)參數(shù)范圍的限制．【詳解】由題意直線恒過定點(diǎn)，要使直線與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則只需要點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，，又焦點(diǎn)在x軸上，..故答案為：．1．（2023·廣東肇慶·肇慶市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)直線方程寫出其所過定點(diǎn)，結(jié)合其與橢圓的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】由直線，則可知其過定點(diǎn)，易知當(dāng)該點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上時(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則，解得且.故答案為：且.2．（2023·重慶北碚·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，直線，若橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)橢圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則可設(shè)直線方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，令，可算出的范圍，又線段的中點(diǎn)也在直線上，結(jié)合韋達(dá)定理可以算出的關(guān)系式，從而得解.【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)，若此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線的方程可以設(shè)為，聯(lián)立，化為，，解得，而，所以，即，代入直線可得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.必考題型二：弦長(zhǎng)問題例2．（1）、（2022·河南鄭州·統(tǒng)考三模）斜率為1的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得弦長(zhǎng)，即可得到最大值.【詳解】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線l的方程為，由消去y得，則，.∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，故選:D.（2）、（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，．若弦長(zhǎng)，則直線的斜率為．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】由題意，直線的斜率不等于零，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消得，恒成立，則，所以，解得，所以直線的斜率為.故答案為：.1．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）斜率為1的直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積是，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】設(shè)直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合的面積求得參數(shù)p，即可求得答案.【詳解】由題意知拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，，設(shè)，則，故，

又點(diǎn)O到直線的距離為，則，即，故，故選：B2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）拋物線具備有趣的光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，會(huì)沿著平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，AB為拋物線的過點(diǎn)F的一條弦，若從點(diǎn)F發(fā)出的光線分別在點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后得到的兩條平行直線之間的距離為5，則．【答案】【分析】首先設(shè)，，，由題意中的光學(xué)性質(zhì)可知，，再聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理即可求直線方程，最后代入弦長(zhǎng)公式.【詳解】由題意知，設(shè)，，，由兩條平行直線之間的距離為5知．易知AB的斜率不為0，設(shè)AB：，由得，∴，，∴，∴，∴AB的方程為，∴．故答案為：必考題型三：中點(diǎn)弦問題例3．（1）、（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則這個(gè)橢圓的方程為．【答案】【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】法一：（直接法）橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓方程為，由，消去，得，設(shè)直線與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為，，則由題意知，解得．所求橢圓方程為．法二：（點(diǎn)差法）橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的方程為．設(shè)直線與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為，，則得，即，又弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，故橫坐標(biāo)為-2，，代入上式得，解得，故所求的橢圓方程為．故答案為：（2）、（2022·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則點(diǎn)F到直線l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法可求出直線的斜率，即得直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，所以，即，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為，，所以直線的斜率，所以直線的方程為，所以焦點(diǎn)到直線的距離，故選：A.1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的一條弦恰好以點(diǎn)為中點(diǎn)，弦的長(zhǎng)為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，得到，，結(jié)合“點(diǎn)差法”求得，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式，列出方程，求得，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程．【詳解】設(shè)，，弦所在直線方程為，則，，也點(diǎn)A，B在拋物線上，可得，兩式相減可得，所以，即，所以弦所在直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，，所以，所以，即，可得，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).若直線l與OM的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)差法代入計(jì)算，可得，再由橢圓的離心率公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得，，兩式相減可得.又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以，所以，所以，，又直線l與OM的斜率之積為，所以，即，所以橢圓C的離心率.故選：D.例4．（2023·江西吉安·江西省峽江中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的長(zhǎng)軸比短軸長(zhǎng)2，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率以及短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的關(guān)系得到方程組，解出即可.（2）設(shè)，利用點(diǎn)差法得，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求出，，代入即可得到直線斜率，最后寫出直線方程即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得．．又橢圓的長(zhǎng)軸比短軸長(zhǎng)2，所以，聯(lián)立方程組，解得所以橢圓的方程為．（2）顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，兩個(gè)方程相減得，即，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，，所以．所以的方程為，即．1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線恰好經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為1．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線經(jīng)過且與直線垂直，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，證明：與的面積之比為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用點(diǎn)差法可求得，結(jié)合，求出，即可求出雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)橹本€與垂直，所以用替換，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，即可得出恒過定點(diǎn)，即可得出與的面積之比【詳解】（1）依題意可知，設(shè)，，則兩式作差可得，即，又當(dāng)時(shí)，直線的斜率為1，所以．又，解得，，所以雙曲線的方程為．（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得消去整理得，則，，則所以，，所以．又因?yàn)橹本€與垂直，所以用替換，得到．當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，直線過點(diǎn)．當(dāng)且，時(shí)，直線的斜率為，所以直線的方程為，令，得，所以直線過點(diǎn)．綜上，直線恒過點(diǎn)．所以與的面積之比為．2．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(1)求直線的方程；(2)若線段的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？判斷并說明理由．【答案】(1)(2)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，理由見解析.【分析】（1）點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦的斜率及方程；（2）求出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立后求出CD點(diǎn)的坐標(biāo)，得到CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，計(jì)算得到，從而得到四點(diǎn)共圓.【詳解】（1）設(shè)，顯然，由題意得：，兩式相減得：，即，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，所以，即直線的斜率為1，所以直線的方程為，整理得：（2）聯(lián)立與，得到：，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，直線AB的垂直平分線為，與聯(lián)立得：，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，則CD的中點(diǎn)為，又，，，所以，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，圓心為，半徑為.必考題型四：三角形問題例5．（1）、（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，若的最大值為3，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】C【分析】由題意，求得，再由公式算得通徑長(zhǎng)度以及當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積【詳解】由的最大值為3，即右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離，得，即，兩邊同時(shí)平方得，所以，．易知當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以.故選：C（2）、（2023·四川綿陽(yáng)·三臺(tái)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且滿足，則的面積為.【答案】【分析】根據(jù)拋物線方程求得拋物線的準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線方程求得橫坐標(biāo)，代入三角形面積公式計(jì)算，從而可求解.【詳解】由拋物線：得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，得，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，又因?yàn)樵趻佄锞€上且，由拋物線定義可得，代入拋物線方程得，所以.故答案為：.1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若的離心率為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)離心率求出雙曲線的漸近線方程，利用兩角差的正切公式求出，再根據(jù)求出的值，由的面積等于的面積，即可求解.【詳解】由的離心率為，可得，則，則的漸近線方程為，則，則，設(shè)漸近線方程為，，則點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則，因?yàn)椋瑒t，即，，易知的面積等于的面積，即．

故選：B.2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在上且滿足（均不與重合），則面積的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．20【答案】C【分析】求出拋物線方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，將直線和拋物線聯(lián)立，求出直線的方程，進(jìn)而寫出面積的表達(dá)式，即可求出最小值.【詳解】在中，焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)關(guān)于直線即的對(duì)稱點(diǎn)為，，解得，∴拋物線的方程為,顯然直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為,且,

設(shè),聯(lián)立,整理可得,,即,且,,又因?yàn)?即,∴,∴即直線的方程為，∴直線恒過點(diǎn)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線與直線的綜合問題，韋達(dá)定理和三角形面積求法，考查學(xué)生的計(jì)算和作圖能力，具有很強(qiáng)的綜合性.例6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為1．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為，，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率為、面積的最大值為1及a，b，c之間的關(guān)系求出a，b，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出直線l的斜率不存在時(shí)的面積，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，然后利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)O到直線l的距離，最后結(jié)合三角形的面積公式即可得解．【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以．因?yàn)槊娣e的最大值為1，所以，又，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，又，可得，此時(shí)直線OP的方程為，與聯(lián)立并求解，得，所以的面積為．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為（），聯(lián)立，得，，即．設(shè)，，則，，所以，．由，得，所以，即，滿足．因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離，所以，綜上，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.1．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記直線過定點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求出的面積.【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式即可得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，