直角三角形的性質(zhì)學(xué)案數(shù)學(xué)華東師大版九年級(jí)上冊(cè)

24.2直角三角形的性質(zhì)精品學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.熟練掌握直角三角形的三個(gè)性質(zhì)定理.2.理解倍長(zhǎng)中線法輔助線的添加原理及方法.3.能運(yùn)用直角三角形的三個(gè)性質(zhì)靈活處理相關(guān)的計(jì)算或證明.一、情境導(dǎo)入，自主構(gòu)建1.看到這個(gè)直角三角形你能想到什么？BBCA定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形叫直角三角形．直角三角形可表示為：Rt△ABC兩銳角的關(guān)系：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.三邊關(guān)系（勾股定理）：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.二、獨(dú)立思考，積累經(jīng)驗(yàn)探究：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.2.動(dòng)手操作：任意畫一個(gè)直角三角形，作出斜邊上的中線，并測(cè)量中線與斜邊，你發(fā)現(xiàn)了什么？再畫幾個(gè)直角三角形試一試，你們的發(fā)現(xiàn)相同嗎？AABCD直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：在Rt△ABC中∵CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AD＝BD＝AB.你能驗(yàn)證碼？如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線.求證：CD=12ABEABCDEABCD倍長(zhǎng)中線法：將中線延長(zhǎng)一倍.證明：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE=CD，連結(jié).∵CD是斜邊AB的中線∴AD=BD又∵DE=CD∴四邊形ACBE是平行四邊形.又∵∠ACB=90?∴四邊形ACBE是矩形∴CE=AB∴CD=12CE=1典例分析：例1.如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°.求證：BC=1BBACD方法一：證明：作斜邊上的中線CD則CD=AD=BD=12（在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半）∵∠A=30°∴∠B=60°∴△CDB是等邊三角形∴BC=BD=12方法二：證明：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD=BC，連結(jié)AD易證△ACD≌△ACB（SAS）∴AD=AB∵∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B=60°∴△ADB是等邊三角形∴BD=AB∵CD=BC∴BC=12BACDBACD對(duì)此，你能得出什么結(jié)論？歸納：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.例2.如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．22 B．3 C．23 D．4解：∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD=12AC＝故選：D．解題密碼：運(yùn)用直角三角線的性質(zhì)和三角形的中位線是解答的關(guān)鍵．例3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠ADE＝30°，DF＝2，則BF為（）A．23 B．22 C．43解：∵AF⊥BC，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴AB＝2DF＝4，∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝30°，∴AF=12由勾股定理得，BF=A故選：A．解題密碼：靈活運(yùn)用三角形中位線定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．討論交流：1.已知，如圖，在△ABC中，分別是各邊的中點(diǎn)，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，CH﹣BH=73cm，則△DHE的周長(zhǎng)為解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHB＝90°，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DH=12AB∵分別是的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12AC∵BE＝EC，CH﹣BH=7∴HE=76∴△DHE的周長(zhǎng)＝DH+DE+HE=496（故答案為：496解題密碼：三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．AB的高度，他發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知CD和地面成30°角，CD＝6m，BC＝16m，且此時(shí)測(cè)得1m高的標(biāo)桿在地面的影長(zhǎng)為2m，求AB的長(zhǎng)度．解：作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．則四邊形BFDE是矩形，∴BE＝DF，∵DC＝6m，∠DCF＝30°，∴DF＝3m，∴BE＝DF＝3m，CF=CD2?D∴ED＝BF＝BC+CF＝（16+33）m．∵同一時(shí)刻的光線是平行的，水平線是平行的，∴光線與水平線的夾角相等，又∵標(biāo)竿與影長(zhǎng)構(gòu)成的角為直角，AE與ED構(gòu)成的角為直角，∴AE與影長(zhǎng)DE構(gòu)成的三角形和標(biāo)桿與影長(zhǎng)構(gòu)成的三角形相似，∴AEED解得AE＝（8+323∴AB＝AE+BE＝（11+323答：AB的長(zhǎng)為（11+323解題密碼：作輔助線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用物高與影長(zhǎng)成比例是解答的關(guān)鍵．3.如圖，放置的一副三角板，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，則CD＝3?3解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4．∴BC=A∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°，∴BM=12BC∴CM=B在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM=3∴CD＝CM﹣MD＝3?3故答案為：3?3解題密碼：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃苷勔徽劚竟?jié)課自己的收獲和感受？1.直角三角形的性質(zhì)：兩銳角關(guān)系：直角三角形兩銳角互余.三邊關(guān)系（勾股定理）：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.兩個(gè)一半關(guān)系：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.方法歸納：三角形中出現(xiàn)中點(diǎn)，對(duì)接知識(shí)：中位線中線三線合一倍長(zhǎng)中線證全等四、鞏固深化，能力提升A組1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，則∠A的度數(shù)為（）A．34° B．44° C．124° D．134°解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則∠B+∠A＝90°，∵∠B＝56°，∴∠A＝90°﹣56°＝34°，故選：A．2.如圖，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則△ABC的面積是（）A．3+22 B．1+2 C．22 解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AC于A，交BC于D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=2AC＝22∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE=12CD∴△ABC的面積=12?BC?AE=12×故選：D．B組3.如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，若CD＝2，則AB＝4．解：∵∠ACB＝90°，CD為△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=12∵CD＝2，∴AB＝2CD＝4，故答案為：4．4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．若EF的長(zhǎng)為10，則CD的長(zhǎng)為10．解：∵E，F(xiàn)分別為BC，CA的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=12∴AB＝2EF＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，AB＝20，∴CD=12故答案為：10．C組5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠CEF＝∠CFE；（2）若點(diǎn)E恰好在邊AB的垂直平分線上，判斷△CEF的形狀，并說(shuō)明理由．（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠CEF+∠CBE＝90°，∵CD⊥AB，∴∠BFD+∠ABE＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE