16.2 二次根式的乘除（解析版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十六章二次根式》16.2二次根式的乘除知識點一知識點一二次根式的乘法●●二次根式的乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.用字母表示為：a?b=a?b（a≥0，b≥0◆1、法則中的被開方數(shù)a,b既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須是非負數(shù).◆2、當(dāng)二次根式外有因數(shù)（式）時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即根號外因數(shù)（式）之積作為根號外因數(shù)（式），被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)，即ma?nb=mnab（a≥0，b≥0）.◆3、二次根式相乘的結(jié)果是一個二次根式或一個有理式.知識點二知識點二積的算術(shù)平方根●●積的算術(shù)平方根性質(zhì)：a?b=a?b（a≥0，b≥0）◆1、該性質(zhì)的實質(zhì)是逆用二次根式的乘法法則，其成立的前提條件是：積中的每個因數(shù)（式）都必須是非負數(shù)，即公式中的a和b必須滿足a≥0，b≥0，應(yīng)用此性質(zhì)可以化簡二次根式.◆2、在進行化簡計算時，先將被開方數(shù)進行因數(shù)（式）分解，然后將能開得盡方的因數(shù)（式）開方后移到根號外.知識點三知識點三二次根式的除法●●二次根式的除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.用字母表示為：ab=ab（a≥0，b◆1、法則中的被開方數(shù)a,b既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須是非負的且b不為0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要條件．◆2、當(dāng)二次根式外有因數(shù)（式）時，可類比單項式除以單項式的法則進行計算，將根號外因數(shù)（式）之商作為根號外因數(shù)（式），被開方數(shù)之商作為被開方數(shù)，即manb=mnab（a◆3、若商的被開方數(shù)中含有完全平方因數(shù)，應(yīng)運用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)進行化簡．知識點四知識點四商的算術(shù)平方根商的算術(shù)平方根性質(zhì)：ab=ab（a≥0，b＞0）◆1、該性質(zhì)成立的前提條件是：公式中的a和b必須滿足a≥0，b＞0，因為分母不能為0，所以b＞0.◆2、該性質(zhì)的實質(zhì)是逆用二次根式的除法法則，應(yīng)用此性質(zhì)可以達到化簡二次根式的目的，在化簡被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（分式）的二次根式時，先將其化為ab（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性質(zhì)，分子和分母同時乘一個適當(dāng)?shù)囊蚴剑シ帜钢械母柤纯芍R點五知識點五最簡二次根式◆1、最簡二次根式概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．◆2、最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．題型一利用二次根式的乘法法則進行計算題型一利用二次根式的乘法法則進行計算【例題1】（2022秋?鄲城縣月考）下列計算正確的是（）A．45×25=85 B．53×42C．43×22=75 D．53×4【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．【解答】解：A.45×25=B.53×42=20C.43×22=8D.53×42=20故選：D．【點評】此題主要考查了二次根式的乘法，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉1、運用二次根式的乘法法則進行計算時，被開方數(shù)的積中有開得盡方的一定要開方;2、當(dāng)二次根式外有因數(shù)（式）時，就把根號外因數(shù)（式）相乘的積作為積中根號前的系數(shù)，把所有被開方數(shù)相乘的積作為被開方數(shù).【變式1-1】（2022秋?綏化期末）計算:22A．12 B．26 C．62 D【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．【解答】解：22×3故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式的乘法，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋?社旗縣期中）計算12A．16 B．±16 C．4 D．±4【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．【解答】解：原式==16＝4．故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022秋?普陀區(qū)期中）下列等式中，一定成立的是（）A．（a）2＝a B．a(chǎn)2=C．a(chǎn)2+b2=a+b 【分析】根據(jù)二次根的性質(zhì)及二次根式的乘法的法則進行分析即可．【解答】解：A、（a）2＝a一定成立，故A符合題意；B、當(dāng)a＜0時，a2=-a，故C、(a+b)2=a+b（a+b≥0D、ab=a?b（a≥0，b故選：A．【點評】本題主要考查二次根式的乘法，二次根式的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．【變式1-4】計算:（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算就是被開方數(shù)相乘，然后再開方.【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式=【點評】此題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．題型二直接運用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡題型二直接運用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡【例題2】化簡下列各題：27（2）50（3）332（4）7×112；（5）18y3（y≥0）；（6）16a2b5（【分析】應(yīng)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的前提是將被開方數(shù)寫成非負數(shù)的乘積的形式.【解答】解：（1）27=3×（2）50=52（3）332=122（4）7×112=28（5）18y3=3（6）16a2b5＝4【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練逆用二次根式的運算法則即積的算術(shù)平方根的性質(zhì)．解題技巧提煉利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡時要注意三點：一是公式中的限制條件，若積中的因數(shù)（式）不是非負數(shù)應(yīng)先將其化為非負數(shù)，再運用公式化簡；二是被開方法數(shù)一定是乘積的形式；三是二次根式中的隱含條件的挖掘.【變式2-1】（2022?河北）下列正確的是（）A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 【分析】根據(jù)4+9=13判斷A選項；根據(jù)ab=a?b（a≥0，b≥0）判斷B選項；根據(jù)a2=|a【解答】解：A、原式=13B、原式=4×C、原式=(92D、0.72＝0.49，故該選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握ab=a?b（a≥0，b【變式2-2】給出下面四種解答過程，其中運算正確的是（）A．(-25)×(-16)=-25×-16=（﹣5）×B．(-25)×(-16)=±25×16=±（5）×（C．(-25)×(-16)=25×16D．352-212【分析】算術(shù)平方根的含義和求法，逐項判斷即可．【解答】解：∵(-25)×(-16)≠∴選項A不符合題意；∵(-25)×(-16)=25×16∴選項B不符合題意；∵(-25)×(-16)=25×16∴選項C符合題意；∵352-21∴選項D不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根的含義和求法，要熟練掌握．【變式2-3】（2021春?饒平縣校級期中）若a＜0，b＞0，則化簡a2A．a(chǎn)bab B．﹣abb C．a(chǎn)bb D．a(chǎn)b2b【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進行化簡即可．【解答】解：a2b3=|ab|故選：B．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記二次根式的性質(zhì)．【變式2-4】設(shè)5=a，6=b，用含a，b的式子表示A．0.3ab B．3ab C．0.1ab2 D．0.1a2b【分析】首先，把2.7化為270100的形式；然后繼續(xù)將上式化簡，得到含有5，6【解答】解：2.7=270=5×6×=3＝0.3ab．故選：A．【點評】此題主要考查二次根式的化簡，關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)與乘法法則．【變式2-5】（2022春?臨邑縣期末）閱讀與思考：請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．在學(xué)習(xí)完實數(shù)的相關(guān)運算之后，某數(shù)學(xué)興趣小組提出了一個有趣的問題：兩個數(shù)的積的算術(shù)平方根與這兩個數(shù)的算術(shù)平方根的積存在什么關(guān)系？小聰和小明分別用自己的方法進行了驗證：小聰：4×25=100=10，4×25=小明：（4×25）2＝4×25＝100．（4×25）2＝（2×5）2＝這就說明4×25和4×25都是4×25的算術(shù)平方根，而4×25的算術(shù)平方根只有一個，所以任務(wù)：（1）猜想：當(dāng)a≥0，b≥0時，ab和a×（2）運用以上結(jié)論．計算：①16×36；②49×121；（3）解決實際問題：已知一個長方形的長為100，寬為49，求這個長方形的面積．【分析】（1）由題意可得當(dāng)a≥0，b≥0時，ab=（2）根據(jù)法則計算①16×36=16×36（3）由長方形的面積可求S=100【解答】解：（1）當(dāng)a≥0，b≥0時，ab=例如：∵4×9=6，4×∴4×9=（2）：①16×36=16＝4×6＝24；②49×121=49＝7×11＝77；（3）∵長方形的長為100，寬為49，∴S=100×答：這個長方形的面積為70．【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握二次根式的化簡與運算是解題的關(guān)鍵．題型三二次根式的乘法運算及化簡題型三二次根式的乘法運算及化簡【例題3】計算．（1）36×210；（2）418×3223；【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法運算即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式的乘法運算即可求出答案．（3）根據(jù)二次根式的乘法運算即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝3×2×＝660＝1215．（2）原式＝4×32＝122＝123．（3）原式＝315×3＝9×15＝135【點評】本題考查二次根式的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的乘法運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．解題技巧提煉二次根式的乘法運算的實質(zhì)是對法則a?b=a?b（a≥0，b≥0）【變式3-1】計算或化簡：（1）5×20；（2）（3）57×321；（4）（5）32x?6x3y5；（【分析】（1）直接利用二次根式的乘法運算計算得出答案；（2）直接利用利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；（3）直接利用二次根式的乘法運算計算得出答案；（4）直接利用二次根式的乘法運算計算得出答案；（5）直接利用二次根式的乘法運算計算得出答案；（6）直接利用二次根式的乘法運算計算得出答案．【解答】解：（1）5×20=5(2)2＝a2a?22a＝4a2；（3）57＝157×21＝15×73＝1053；（4）2=23×23=23×2×3×＝46；（5）32x?＝32＝312＝6xy23y；（6）57=(57-43)×(57+43)＝1014．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式3-2】計算下列各題：（1）23×12×143．（2）（3）﹣5827×113×54（5）3220×（-15）×（-1348）；（6）4m5【分析】（1）（2）（3）（4）（5）把二次根式外面的數(shù)和里面的數(shù)分別相乘，再把結(jié)果化為最簡二次根式即可；（6）4m5n2+8m4【解答】解：（1）2＝2×＝2×=12×＝33．（2）135?23?（＝2×（-12=-48＝﹣43；（3）﹣58＝﹣58=-40（4）(-4)×=4×＝2×5=130（5）3220×（-15）=32×（﹣1）×（-=1＝60；（6）4=4＝2m2nm+2n．【點評】本題考查的是二次根式的乘除法，在解答此類題目時要注意結(jié)果化為最簡二次根式．題型四利用二次根式的除法法則進行計算題型四利用二次根式的除法法則進行計算【例題4】（2022秋?洛寧縣月考）計算11A．3 B．3 C．12 D．【分析】根據(jù)二次根式的除法的法則進行運算，再化簡即可．【解答】解：1=3=3=9＝3．故選：B．【點評】本題主要考查二次根式的除法，二次根式的化簡，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．解題技巧提煉二次根式的除法運算的過程中能約分的要先約分，最后的結(jié)果要運用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡.【變式4-1】（2022春?萊西市期中）下列運算中正確的是（）A．25?35=65 B．(23)2=6 C．6÷【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則、二次根式的性質(zhì)分別化簡，進而判斷得出答案．【解答】解：A.25?35=30B．（23）2＝12，故此選項不合題意；C.6÷2D.63=2故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算法則、二次根式的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2022春?東莞市期中）計算8a÷A．2 B．6a C．2 D．4a【分析】直接利用二次根式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：8a÷2a故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的除法運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式4-3】計算：（1）72÷2（2）12（3）320÷32223【分析】（1）利用二次根式的除法法則進行計算，結(jié)果化為最簡二次根式；（2）利用二次根式的除法法則進行計算，結(jié)果化為最簡二次根式．【解答】解：（1）72÷=72=36＝6，（2）原式==12×=8=2（3）原式＝（3÷32＝220×＝230＝2×=30（4）11=4=4×5=2【點評】本題考查二次根式的混合運算，掌握ab=ab（a≥0，題型五直接運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡題型五直接運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡【例題5】化簡：（1）516；（2）313；（3）18a(a＞0)；（4）9y8x【分析】根據(jù)二次根式乘除法的運算法則，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行化簡計算．【解答】解：（1）原式==5（2）原式==10×3=30（3）原式==3（4）原式==3【點評】本題考查二次根式的乘除法運算，理解二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式乘除法運算法則是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉直接利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡時，若分母中含有開不盡方的因數(shù)（式），可根據(jù)分式的基本性質(zhì)，先將分式中的分子、分母同時乘一個不為0的數(shù)（式），使分母變?yōu)橐粋€完全平方數(shù)（式），然后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡.【變式5-1】（2022春?懷仁市期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①ab?ba=1；②ab=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根據(jù)題意得出a，b的值，進而利用二次根式的性質(zhì)化簡求出即可．【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴①ab?ba=1，正確；②ab=故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-2】化簡：（1）12136；（2）（3）81x225y2（x≥0，y＞0）．（4）9x64y2（【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案；（3）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案．（4）運用二次根式商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，開平方化簡，但注意字母的取值范圍．【解答】解：（1）12136（2）11（3）81x225y2（x≥0=9x（4）9x=9x=3【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2022秋?虹口區(qū)校級期中）已知a＜0，那么-4abA．2b-ab B．-2bab C．-2【分析】根據(jù)a＜0，-4ab＞0，得出b【解答】解：∵a＜0，-4ab∴b＞0，∴原式=2故選：D．【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-4】（2022秋?靜安區(qū)校級期中）已知xy＜0，化簡二次根式-xyA．x B．-x C．-x D．【分析】首先依據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)可得到﹣xy2≥0，由此可得到x的取值范圍，然后依據(jù)xy＜0可得到y(tǒng)的取值范圍；接下來，依據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【解答】解：由題意可知﹣xy2≥0．因為y2＞0，所以﹣x≥0，所以x≤0，又因為xy＜0，所以x＜0，y＞0，所以-xy故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件以及二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式5-5】（2022春?武隆區(qū)校級期中）把二次根式a-1A．--a B．-a C．-a D【分析】先根據(jù)被開方數(shù)判斷a的符號，然后確定二次根式a-1【解答】解：∵-1a∴a＜0，∴二次根式a-1a∴二次根式a-1a化簡為故選：A．【點評】本題考查了二次根式的化簡以及二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)確定a的符號．題型六二次根式的乘除混合運算題型六二次根式的乘除混合運算【例題6】（2021秋?嘉定區(qū)期中）計算：23【分析】先把二次根式外面的數(shù)移到里面，再從左到右依次計算即可．【解答】解：原式==4=4=100=10【點評】本題考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的乘除法的運算法則是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉二次根式的乘除法混合運算與整式的乘除法混合運算的方法相同，整式乘除法的法則和公式在二次根式乘除法中仍然適用，在運算時要注意運算符號和運算的順序，若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)要將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).【變式6-1】（2022秋?即墨區(qū)校級月考）計算16÷A．4 B．2 C．7 D．±2【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則化簡，進而得出答案．【解答】解：原式==4＝2．故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2022?惠陽區(qū)校級開學(xué)）計算：（1）12÷（2）12（3）12【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進行計算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進行計算即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進行計算即可．【解答】解：（1）12＝23÷33×＝2×＝22；（2）1=5=5=1＝1；（3）126×412=1＝336＝3×6＝18．【點評】本題考查了二次根式的乘除法，能正確根據(jù)二次根式的乘除法法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022秋?閔行區(qū)校級期中）計算：2x1x÷34【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則計算得出答案．【解答】解：原式==x=x【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式6-4】（2022秋?奉賢區(qū)期中）計算2b【分析】根據(jù)二次根式的乘除法則及二次根式的化簡進行運算．【解答】解：原式=-=-9=-9ba2=-9a【點評】本題考查了二次根式乘除法則及二次根式的化簡，熟悉發(fā)則是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2022秋?虹口區(qū)校級月考）化簡：13-x【分析】根據(jù)二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)與化簡計算方法進行計算即可得出答案．【解答】解：∵-x2y＞0，-y∴x＜0，y＜0，原式=-43=-43xy＝﹣8|x2|?|y|．＝﹣8x2?（﹣y）＝8x2y．【點評】本題主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)與化簡的方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．題型七去掉分母中的二次根號題型七去掉分母中的二次根號【例題7】把下列各式中的分母化去：（1）2348；（2）3a+2；（3）25-3；【分析】（1）分母是348，先化簡，再分母有理化；（2）分母a+2的有理化因式仍是a+2；（3）分母5-3的有理化因式是（4）分子x﹣y可以分解成(x【解答】解：（1）23（2）3a+2（3）25（4）x-yx【點評】此題考查分母有理化，分母有理化是化簡二次根式的一種重要方法．分母有理化時，應(yīng)結(jié)合題目的具體特點，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ忸}技巧提煉去掉分母中的根號一般分為三步：“一移”，即將分子、分母中能開得盡方的因數(shù)（式）移到根號外；“二乘”，即將分子、分母同時乘分母的有理化因數(shù)（式）；“三化”，即化簡計算.【變式7-1】化去下列各式中分母中的根號：（1）72；（2）2（3）36x（x＞0）；（4）22a2b（a＞0（5）113；（6）3x2y（x＞0，【分析】分別根據(jù)分母有理化化簡即可．【解答】解：（1）72（2）218（3）36x（4）22（5）113（6）3x【點評】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡，確定出分母有理化因式是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022春?平橋區(qū)校級期末）下列各式中，與3-5A．3-5 B．3+5 C．5 D【分析】將無理數(shù)化成有理數(shù)的方法之一是利用平方差公式，根據(jù)這一解題技巧逐一判斷各選項即可求解．【解答】解：根據(jù)（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（3+5）（3-5）＝32﹣（5）2＝9﹣5＝4為有理數(shù)，故選：B．【點評】本題考查了有理化的基本公式，解題關(guān)鍵在于熟記（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【變式7-3】（2022秋?長寧區(qū)校級期中）在下列各式中，二次根式a-b的有理化因式（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)+b C．a(chǎn)-b D【分析】二次根式a-b的有理化因式就是與原式相乘可以將原式中的根號化去的式子，即可得出答案．【解答】解：A.a+b?B.(aC.a-b?D.(a故選：C．【點評】本題主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟練利用定義得出是解題關(guān)鍵．【變式7-4】二次根式的除法運算通?？梢圆捎没シ帜钢械母柕姆椒▉磉M行．例如32=3×22×2=62（1）23（2）35（3）aba【分析】（1）先把分母化成最簡二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式化簡即可；（2）分子分母直接乘以分母的有理化因式化簡即可；（3）先把分母化成最簡二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式化簡即可．【解答】解：（1）2=2=2=20=2=5（2）3=(3=57-12=19-4（3）ab=ab=ab(a=ab(a=a【點評】本題考查二次根式化簡，分母有理化等知識，解題的關(guān)鍵是掌握分母有理化的方法．【變式7-5】化去式子x-2+x2-4【分析】若直接分母有理化比較麻煩，根據(jù)本題特點，分子、分母分別分解因式，然后約分．【解答】解：x-2+x【點評】此題考查分母有理化，分母有理化是化簡二次根式的一種重要方法．分母有理化時，應(yīng)結(jié)合題目的具體特點，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ}型八最簡二次根式的識別題型八最簡二次根式的識別【例題8】（2021秋?射洪市校級月考）下列根式中，屬最簡二次根式的是（）A．27 B．x2+1 C．12 【分析】依據(jù)最簡二次根式的概念對各選項進行判斷即可．二次根式的被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；分母中不含有根號．我們把滿足上述條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【解答】解：A．27=33B．x2C．12D．a(chǎn)2b=|a故選：B．【點評】此題主要考查了最簡二次根式，能夠正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉判斷一個二次根式是不是最簡二次根式，就看它是否滿足下面的兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．這兩個條件缺一不可.【變式8-1】（2021秋?金山區(qū)期末）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A．9a B．3a3 C．a(chǎn)+12 【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義對各選項進行分析即可．【解答】解：A、9a=3aB、3a3=C、a+12D、a2故選：D．【點評】本題考查的是最簡二次根式，熟知最簡二次根式的條件是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022?南崗區(qū)校級開學(xué)）將下列二次根式化為最簡二次根式后，被開方數(shù)與2的被開方數(shù)不同的是（）A．12 B．18 C．50 D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可求出答案．【解答】解：A、原式=122B、原式＝32，被開方數(shù)與2的被開方數(shù)相同，故此選項不符合題意；C、原式＝52，被開方數(shù)與2的被開方數(shù)相同，故此選項不符合題意；D、原式＝23，被開方數(shù)與2的被開方數(shù)不同，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡二次根式的定義．【變式8-3】（2022秋?長寧區(qū)校級期中）二次根式中：a2+b2、0.5、4a、x3y【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．【解答】解：0.5=4a=2a，x3y=|a2故答案為：a2【點評】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．【變式8-4】（2022?鄭州二模）若x-2是最簡二次根式，寫出一個符合條件的x的值：．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)得到x的取值范圍，寫一個符合題意的x的值即可．【解答】解：∵x﹣2≥0，∴x≥2，故答案為：4（答案不唯一）．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式8-5】（2022秋?羅湖區(qū)校級期中）下列實數(shù)（1）6；（2）2；（3）15（4）x2+1；（5A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義進行判斷即可．【解答】解：（1）6是最簡二次根式；（2）2是整數(shù)，不是二次根式；（3）15=5（4）x2（5）12-3=2+3綜上所述，最簡二次根式有：6，x2故選：C．【點評】本題考查最簡二次根式，分母有理化，掌握最簡二次根式的定義是正確判斷的前提．題型九化二次根式為最簡二次根式題型九化二次根式為最簡二次根式【例題9】（2022春?靈寶市期中）把下列二次根式化簡最簡二次根式：（1）32；（2）40；（3）1.5；（4）43【分析】（1）把32寫成16×2，然后化簡；（2）把40寫成4×10，然后化簡；（3）先把小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后把分母有理化；（4）分子分母都乘以3，然后化簡．【解答】解：（1）32=16×2=（2）40=4×10=（3）1.5=（4）43【點評】此題主要考查了最簡二次根式的定義，滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．解題技巧提煉化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)【變式9-1】（2022春?隴縣期末）將二次根式50化為最簡二次根式．【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念即可求出答案．【解答】解：原式＝52，故答案為：52【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式的概念．【變式9-2】（2022春?浉河區(qū)期末）把45化成最簡二次根式為【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【解答】解：45故答案為：25【點評】本題考查了最簡二次根式的定義和二次根式的性質(zhì)，能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡是解此題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2021春?永嘉縣校級期中）化簡成最簡二次根式：512=；63【分析】直接根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．進行計算即可．【解答】解：（1）原式＝5×23=10故答案為：103；（2）原式＝6×6故答案為：36【點評】此題考查的是二次根式，掌握其性質(zhì)概念是解決此題關(guān)鍵．【變式9-4】（2021春?靖宇縣期末）二次根式2x2y3（x、y均為正數(shù)）化成最簡二次根式，結(jié)果為【分析】根據(jù)a2=|a【