圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90o的圓周角所對的弦是直徑.圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角定理圓心角定理推論1推論2【溫故知新】22021/5/9如果多邊形所有頂點都在一個圓上.那么這個多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形，這個圓叫做多邊形的外接圓.ABCDOABCDADBCDABC思考:

任意三角形都有外接圓.那么

任意正方形有外接圓嗎?為什么?

任意矩形有外接圓嗎?為什么?

等腰梯形呢?為什么?

一般地,任意四邊形都有外接圓嗎?為什么?需要具備什么樣的條件呢？1.【圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】32021/5/9直接研究較困難，那么我們可以先從問題的反面思考：

如果一個四邊形內(nèi)接于圓，那么這樣的四邊形有什么特征？

我們應(yīng)該從哪些角度來思考呢？ABCDOABCDADBCDABC觀察下面這組圖中的四邊形都內(nèi)接于圓.你能從中發(fā)現(xiàn)這些四邊形的共同特征嗎？1.【圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】42021/5/9DABC如圖（1）連接OA,OC.則∠B=,∠D=性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).將線段AB延長到點E,得到圖（2）（1）DABCE（2）性質(zhì)定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角.1.【圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】52021/5/962021/5/9性質(zhì)定理1的逆命題：

如果一個四邊形的對角互補(bǔ),那么它的四個頂點共圓.性質(zhì)定理1的逆命題：

如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓.性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)性質(zhì)定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角.

上述定理的逆定理是什么？它們成立嗎？應(yīng)該怎樣來證明呢？思考31.【圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】72021/5/9假設(shè)：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°求證：A,B,C,D在同一圓周上（簡稱四點共圓）.分析：不共線的三點確定一個圓，經(jīng)過A、B、C三點可以做一個圓O,如果能由條件得出圓O過D就證明了.（1）顯然，點D與圓有且只有三種位置關(guān)系：（1）點D在圓外；（2）點D在圓內(nèi)；（3）點D在圓上；CABDO2.【圓內(nèi)接四邊形的判斷定理】82021/5/9假設(shè)：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°求證：A,B,C,D在同一圓周上（簡稱四點共圓）.CABDO證明：(1)如果點D在⊙O外部.（1）∠AEC+∠B=180°得∠AEC

=∠D這與“三角形外角大于任意不相鄰的內(nèi)角”矛盾.故點D不可能在圓外.E因∠D+∠B=180°設(shè)E是AD與圓周的交點，連接EC,則有點D在內(nèi)部怎么證明？2.【圓內(nèi)接四邊形的判斷定理】92021/5/9假設(shè)：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°求證：A,B,C,D在同一圓周上（簡稱四點共圓）.ABCDO（2）(2)如果點D在⊙O內(nèi)部.∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC綜上所述，點D只能在圓周上，即A、B、C、D四點共圓.E∴點D不可能在⊙O內(nèi).延長AD交圓于點E,連接CE,則∠B+∠E=180°這同樣與“三角形外角大于任意不相鄰的內(nèi)角”矛盾.2.【圓內(nèi)接四邊形的判斷定理】102021/5/9圓內(nèi)接四邊形判定定理：

如果一個四邊形的對角互補(bǔ),那么它的四個頂點共圓.

當(dāng)問題的結(jié)論存在多種情形時,通過對每一種情形分別論證,最后獲證結(jié)論的方法---------窮舉法推論：

如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么它的四個頂點共圓.DABCE2.【圓內(nèi)接四邊形的判斷定理】112021/5/9[悟一法]判定四點共圓的方法常有：(1)如果四個點與一定點的距離相等，那么這四個點共圓．(2)如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點共圓．(3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．(4)如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等且在公共邊的同側(cè)，那么這兩個三角形的四個頂點共圓．122021/5/9思維拓展圓內(nèi)接平行四邊形一定是_____形圓內(nèi)接梯形一定是__________形圓形內(nèi)接菱形一定是________形矩形等腰梯形正方形132021/5/9例3如圖，CF是△ABC的AB邊上的高，F(xiàn)P⊥BC,FQ⊥AC.求證：A,B,P,Q四點共圓AFBPQC證明：連接PQ。在四邊形QFPC中，∵FP⊥BCFQ⊥AC.∴∠FQA=∠FPC=90o.∴Q,F,P,C四點共圓。∴∠QFC=∠QPC.又∵CF⊥AB∴∠QFC與∠QFA互余.而∠A與∠QFA也互余.∴∠A=∠QFC.∴∠A=∠QPC.∴A,B,P,Q四點共圓142021/5/9習(xí)題2.21.AD,BE是△ABC的兩條高，求證：∠CED=∠ABC.2.求證：對角線互相垂直的四邊形中，各邊中點在同

一個圓周上。CABED3.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AB和DC相

交于E,EG平分∠E,且與BC,AD分別相交于F,G.

求證：∠CFG=∠DGF.ABEFGDC152021/5/9性質(zhì)定理1圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).性質(zhì)定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角.圓內(nèi)接四邊形判定定理：

如果一個四邊形的對角互補(bǔ),那么它的四個頂點共圓.推論：

如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么它的四個頂點共圓.【本節(jié)收獲】162021/5/9[悟一法](1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理為幾何論證中角的相等或互補(bǔ)提供了一個理論依據(jù)，因而也為論證角邊關(guān)系提供了一種新的途徑．(2)在解有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的幾何問題時，既要注意性質(zhì)定理的運(yùn)用，也要注意判定定理的運(yùn)用，又要注意兩者的綜合運(yùn)用．(3)構(gòu)造全等或相似三角形，以達(dá)到證明線段相等、角相等或線段成比例等目的．172021/5/95、如圖，已知四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是⊙的直徑，且EB⊥AD,AD與BC得延長線相交于F，求證：證明：連結(jié)AC,∵∠ACB=∠DAB∴弧AB=弧BD，∴∠ACB=∠DAB.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠FCD=∠DA