2024年初二上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)4全等三角形判定一（ASASAS）（提高）知識(shí)講解

2024年初二上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)全等三角形判定一（ASA，SAS）（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角邊角”，和判定方法2——“邊角邊”；2．能把證明角相等或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等三角形判定1——“角邊角”全等三角形判定1——“角邊角”兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.要點(diǎn)二、全等三角形判定2——“邊角邊”1.全等三角形判定2——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.

【典型例題】類型一、全等三角形的判定1——“角邊角” 1、如圖，G是線段AB上一點(diǎn)，AC和DG相交于點(diǎn)E.請(qǐng)先作出∠ABC的平分線BF，交AC于點(diǎn)F；然后證明：當(dāng)AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG時(shí)，DE＝BF.【思路點(diǎn)撥】通過(guò)已知條件證明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，則可證△DAE≌△BCF【答案與解析】 證明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE與△BCF中∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF【總結(jié)升華】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個(gè)三角形；(2)證明這兩個(gè)三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等．舉一反三：【變式】已知：如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.【答案】證明：∵M(jìn)Q和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN類型二、全等三角形的判定2——“邊角邊”

2、如圖，AD是△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD．【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD＝DE，連接CE．通過(guò)證全等將AB轉(zhuǎn)化到△CEA中，同時(shí)也構(gòu)造出了2AD．利用三角形兩邊之和大于第三邊解決問(wèn)題.【答案與解析】證明：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD＝DE，連接CE．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．∴△ABD≌△ECD．∴AB＝CE．∵AC＋CE＞AE，∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．【總結(jié)升華】證明邊的大小關(guān)系主要有兩個(gè)思路：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊．要證明AB＋AC＞2AD，如果歸到一個(gè)三角形中，邊的大小關(guān)系就是顯然的，因此需要轉(zhuǎn)移線段，構(gòu)造全等三角形是轉(zhuǎn)化線段的重要手段．可利用旋轉(zhuǎn)變換，把△ABD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△CED，也就把AB轉(zhuǎn)化到△CEA中，同時(shí)也構(gòu)造出了2AD．若題目中有中線，倍長(zhǎng)中線，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形是一種重要方法．3、已知：如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，BF=CE,AC=DF,且AC∥DF,求證：△ABC≌△DEF．【思路點(diǎn)撥】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，再根據(jù)SAS推出全等即可．【答案與解析】 證明：∵BF=CE∴BF+FC=CE+FC∴BC=FE∵AC∥DF∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【總結(jié)升華】本題考查利用“邊角邊”定理來(lái)證明三角形全等，注意等量加等量，和相等.舉一反三：【變式】（2015?啟東市模擬）如圖，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）A.1組 B.2組 C.3組 D.4組【答案】C．解：第①組滿足SSS，能證明△ABC≌△DEF．第②組滿足SAS，能證明△ABC≌△DEF．第③組滿足ASA，能證明△ABC≌△DEF．第④組只是SSA，不能證明△ABC≌△DEF．所以有3組能證明△ABC≌△DEF．故符合條件的有3組．故選：C．類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用4、如圖，公園里有一條“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一個(gè)小石凳E，M，F(xiàn)，且BE＝CF，M在BC的中點(diǎn).試判斷三個(gè)石凳E，M，F(xiàn)是否恰好在一條直線上？為什么？【答案與解析】三個(gè)小石凳在一條直線上證明：∵AB平行CD（已知）∴∠B＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵M(jìn)在BC的中點(diǎn)（已知）∴BM＝CM（中點(diǎn)定義）在△BME和△CMF中∴△BME≌△CMF（SAS）∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性質(zhì)）∴E，M，F(xiàn)在同一直線上【總結(jié)升華】對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要能將它化成數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決.由已知易證△BME≌△CMF，可得∠EMB＝∠FMC，再由∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°得到E，M，F(xiàn)在同一直線上.全等三角形的判定二（SSS，AAS）（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“邊邊邊”，和判定方法4——“角角邊”；2．能把證明角相等或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等三角形判定3——“邊邊邊”全等三角形判定1——“邊邊邊”三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.要點(diǎn)二、全等三角形判定4——“角角邊”1.全等三角形判定4——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.要點(diǎn)三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.【典型例題】類型一、全等三角形的判定3——“邊邊邊”1、如圖，在四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接AC，AE，若AB=AC，AE=CD，AD=CE，則圖中的全等三角形有（）A．0對(duì) B．1對(duì) C．2對(duì) D．3對(duì)【思路點(diǎn)撥】首先證明△ABE≌△AEC，再證明△AEC≌△ADC，△ABE≌△ADC．【答案與解析】解：在△ABE和△AEC中，，∴△ABE≌△AEC（SSS），在△AEC和△ADC中，，∴△ABO≌△ADO（SSS），∴△ABE≌△ADC，故選D【總結(jié)升華】在尋找三角形全等的條件時(shí)有的可以從圖中直接找到，如：公共邊、公共角、對(duì)頂角等條件隱含在題目或圖形之中.把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)和判定.舉一反三：【變式】已知：如圖，AD＝BC，AC＝BD.試證明：∠CAD＝∠DBC.【答案】證明：連接DC，在△ACD與△BDC中∴△ACD≌△BDC（SSS）∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）類型二、全等三角形的判定4——“角角邊” 2、已知：如圖，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求證：AD＝AC．【思路點(diǎn)撥】要證AC＝AD，就是證含有這兩個(gè)線段的三角形△BAC≌△EAD.【答案與解析】證明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC＝AD【總結(jié)升華】我們要善于把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等．舉一反三：【變式】如圖，AD是△ABC的中線，過(guò)C、B分別作AD及AD的延長(zhǎng)線的垂線CF、BE.求證：BE＝CF.【答案】證明：∵AD為△ABC的中線∴BD＝CD

∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF3、如圖：AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，則還需添加的一個(gè)條件有（）種． A.1 B.2 C.3 D.4【思路點(diǎn)撥】本題要證明△ABC≌△A′B′C′，已知了AB=A′B′，∠A=∠A′，可用的判別方法有ASA，AAS，及SAS，所以可添加一對(duì)角∠B=∠B′，或∠C=∠C′，或一對(duì)邊AC=A′C′，分別由已知與所添的條件即可得證．【答案與解析】解：添加的條件可以為：∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A′C′，共3種．若添加∠B=∠B′，證明：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）；若添加∠C=∠C′，證明：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）；若添加AC=A′C′，證明：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．故選C.【總結(jié)升華】此題考查了全等三角形的判定，是一道條件開放型問(wèn)題，需要由因索果，逆向推理，逐步探求使結(jié)論成立的條件，解決這類問(wèn)題要注意挖掘隱含的條件，如公共角、公共邊、對(duì)頂角相等，這類問(wèn)題的答案往往不唯一，只有合理即可．熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用4、“三月三，放風(fēng)箏”．下圖是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)證明．【答案與解析】證明：在△DEH和△DFH中，∴△DEH≌△DFH(SSS)∴∠DEH＝∠DFH．【總結(jié)升華】證明△DEH≌△DFH，就可以得到∠DEH＝∠DFH，我們要善于從實(shí)際問(wèn)題中抽離出來(lái)數(shù)學(xué)模型，這道題用“SSS”定理就能解決問(wèn)題.舉一反三：【變式】（2014秋?紫陽(yáng)縣期末）雨傘的中截面如圖所示，傘骨AB=AC，支撐桿OE=OF，AE=AB，AF=AC，當(dāng)O沿AD滑動(dòng)時(shí)，雨傘開閉，問(wèn)雨傘開閉過(guò)程中，∠BAD與∠CAD有何關(guān)系？說(shuō)明理由．【答案】解：雨傘開閉過(guò)程中二者關(guān)系始終是：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，在△AOE與△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（SSS），∴∠BAD=∠CAD．全等三角形的判定二（SSS，AAS）（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“邊邊邊”，和判定方法4——“角角邊”；2．能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等三角形判定3——“邊邊邊”全等三角形判定1——“邊邊邊”三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）．要點(diǎn)詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△．要點(diǎn)二、全等三角形判定4——“角角邊”1.全等三角形判定4——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論．2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．要點(diǎn)三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．【典型例題】類型一、全等三角形的判定3——“邊邊邊”1、如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求證：∠BAD＝∠CAE．【答案與解析】證明：在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）．【總結(jié)升華】把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì).要證∠BAD＝∠CAE，先找出這兩個(gè)角所在的三角形分別是△BDA和△CAE，然后證這兩個(gè)三角形全等．舉一反三：【變式】已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個(gè)條件是．【答案】AC=DF.解：理由是：∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），故答案為：AC=DF．類型二、全等三角形的判定4——“角角邊” 2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過(guò)C點(diǎn)作直線l，點(diǎn)D，E在直線l上，連接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求證：△ADC≌△CEB．【思路點(diǎn)撥】先證明∠DAC=∠ECB，根據(jù)AAS證△ADC≌△CEB．【答案與解析】證明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．【總結(jié)升華】本題考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．3、平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF＋BF＝2CE．當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．【思路點(diǎn)撥】過(guò)B作BH⊥CE與點(diǎn)H，易證△ACE≌△CBH，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得AF＋BF＝2CE．【答案與解析】解：圖2，AF＋BF＝2CE仍成立，證明：過(guò)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACE在△ACE與△CBH中，∴△ACE≌△CBH．（AAS）∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，∴AF＋