《工程力學(xué)：第七章+圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度和剛度設(shè)計(jì)》

第7章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度和剛度設(shè)計(jì)§7-1圓軸在工程中的應(yīng)用§7-2受扭圓軸的扭轉(zhuǎn)變形§7-3剪應(yīng)力互等定理§7-6結(jié)果與討論§7-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析§7-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度設(shè)計(jì)背景材料背景材料一、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于桿的軸線。變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿——軸。Me主動(dòng)力偶阻抗力偶復(fù)習(xí)圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩。扭矩大小可利用截面法來確定。11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11x復(fù)習(xí)mm

T1、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力（截面法）mmT取右段為研究對(duì)象：內(nèi)力偶矩——扭矩取左段為研究對(duì)象：二、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力——扭矩及扭矩圖復(fù)習(xí)：2、扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則判斷。右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向與截面的外法線方向相同，則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，截面產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和剪應(yīng)變。圓軸的橫截面和縱截面將產(chǎn)生剪應(yīng)力。剪應(yīng)變：直角的改變量。截取一微小的正六面體單元體——xyzabOcddxdydzt'ttt'7.3

切應(yīng)力互等定理Me

Me

扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，圓軸不僅在橫截面產(chǎn)生剪應(yīng)力，而且在縱截面也將產(chǎn)生剪應(yīng)力。注意區(qū)分：橫截面、縱截面和柱截面。xyzabOcddxdydzt'ttt'得橫截面上剪應(yīng)力為，這一對(duì)面上的剪應(yīng)力與作用面的面積的乘積為一繞Z軸的力偶，其矩為結(jié)果表明：如果在微元的一對(duì)面上存在剪應(yīng)力，與此剪應(yīng)力作用線相互垂直的另一對(duì)面上必存在與其大小相等、方向相對(duì)（箭頭方向相對(duì)）或方向相背（箭頭方向相背）的剪應(yīng)力。即剪應(yīng)力互等定理。7.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析7.4.1變形協(xié)調(diào)方程在dx長(zhǎng)度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過相同的角度dφ，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同，半徑越小，剪應(yīng)變?cè)叫　?.4.2彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)力—剪應(yīng)變關(guān)系7.4.3靜力學(xué)方程橫截面上——抗扭截面系統(tǒng)，整個(gè)圓軸上——等直桿：三、公式的使用條件：1、等直的圓軸，2、彈性范圍內(nèi)工作。Ip—截面的極慣性矩，單位：二、圓軸中τmax的確定單位：四、圓截面的極慣性矩Ip和抗扭截面系數(shù)Wp實(shí)心圓：空心圓：例1：P＝7.5kW,n=100r/min。實(shí)心圓軸的直徑d1，空心圓軸的內(nèi)外直徑之比

=0.5。試確定實(shí)心軸與空心圓軸截面上的最大切應(yīng)力解：由軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩實(shí)心軸：空心軸：面積之比：例9-2：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,

z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各軸橫截面上的最大切應(yīng)力。3P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min解：計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速M(fèi)x1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m各軸的扭矩計(jì)算各軸的橫截面上的最大切應(yīng)力§9-4扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度和剛度計(jì)算韌性材料低碳鋼軸向拉伸時(shí)的四個(gè)階段:彈性階段屈服階段強(qiáng)化階段頸縮階段延伸率脆性材料大多數(shù)，從開始加載直至試樣被拉斷，變形都很小。只有斷裂時(shí)的應(yīng)力值－強(qiáng)度極限塑性材料：≥5%;脆性材料：

<5%韌性材料在壓縮時(shí),彈性階段，屈服階段均與拉伸時(shí)大致相同脆性材料如鑄鐵，壓縮時(shí)特點(diǎn)：2：破壞面大約為450的斜面。強(qiáng)度、剛度材料的力學(xué)性質(zhì)回顧1、強(qiáng)度條件：2、強(qiáng)度條件應(yīng)用：1）校核強(qiáng)度:≤≥2）設(shè)計(jì)截面尺寸:3）確定外荷載:≤一、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算等截面圓軸:變截面圓軸:1、扭轉(zhuǎn)變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（rad）GIP——抗扭剛度?！獑挝婚L(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角二、扭轉(zhuǎn)桿的變形計(jì)算扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計(jì)算式扭矩不變的等直軸各段扭矩為不同值的階梯軸2、剛度條件：3、剛度條件應(yīng)用：1)、校核剛度；≤3)、確定外荷載:2)、設(shè)計(jì)截面尺寸:例2

汽車發(fā)動(dòng)機(jī)將功率通過主傳動(dòng)軸AB傳給后橋，驅(qū)動(dòng)車輪行駛。設(shè)主傳動(dòng)軸所承受的最大外力偶矩為Me＝1.5kN·m，軸由45號(hào)鋼無縫鋼管制成，外直徑D＝90mm，壁厚δ＝2.5mm，

＝60Mpa。試:

1．試校核主傳動(dòng)軸的強(qiáng)度；2.

若改用實(shí)心軸，在具有與空心軸相同的最大剪應(yīng)力的前提下，試確定實(shí)心軸的直徑；3.確定空心軸與實(shí)心軸的重量比。解：

1．校核空心軸的強(qiáng)度根據(jù)已知條件，主傳動(dòng)軸橫截面上的扭矩Mx＝Me＝1.5kN·m，軸的內(nèi)直徑與外直徑之比

因?yàn)檩S只在兩端承受外加力偶，所以軸各橫截面的危險(xiǎn)程度相同，軸的所有橫截面上的最大剪應(yīng)力均為

由此可以得出結(jié)論：主傳動(dòng)軸的強(qiáng)度是安全的。2．確定實(shí)心軸的直徑根據(jù)實(shí)心軸與空心軸具有同樣數(shù)值的最大剪應(yīng)力的要求，實(shí)心軸橫截面上的最大剪應(yīng)力也必須等于50.9MPa。若設(shè)實(shí)心軸直徑為d1，則有

據(jù)此，實(shí)心軸的直徑

3．計(jì)算空心軸與實(shí)心軸的重量比由于二者長(zhǎng)度相等、材料相同，所以重量比即為橫截面的面積比，即例3。已知：鋼制空心圓軸的外直徑D＝100mm，內(nèi)直徑d＝50mm。若要求軸在2m長(zhǎng)度內(nèi)的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角不超過1