考點(diǎn)16三角函數(shù)圖象與應(yīng)用（解析版）

【2022版】典型高考數(shù)學(xué)試題解讀與變式

考點(diǎn)16三角函數(shù)圖象與應(yīng)用

【考綱要求】

(1)能畫(huà)出y=sinx,y-cosx,y=tanx的圖像；

(2)了解函數(shù)丁=45m(8+。)的物理意義；能畫(huà)出y=Asin(s+0)的圖像，了解參

數(shù)4，包夕對(duì)函數(shù)圖像變化的影響；

(3)了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)

題.

【命題規(guī)律】

三角函數(shù)的圖象是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，主要從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考查：(1)三角函

數(shù)圖象變換問(wèn)題以及由圖象確定解析式問(wèn)題，主要以選擇題、填空題的形式考查；(2)利用

三角函數(shù)的圖象求解與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、圖象的交點(diǎn)等問(wèn)題，通常以

選擇題與填空題形式考查.

預(yù)計(jì)2022年高考對(duì)三角函數(shù)圖象的考查也主要體現(xiàn)在函數(shù)圖象的識(shí)別與應(yīng)用，會(huì)以客觀題

出現(xiàn).

【典型高考試題變式】

(-)根據(jù)三角函數(shù)的解析式確定圖象

【答案】D

【解析】因?yàn)閥=sin/為偶函數(shù)，所以它的圖象關(guān)于v軸對(duì)稱，排除A、C選項(xiàng)；當(dāng)?即工=士后

時(shí)，？M=1，排除B選項(xiàng)，故選D.

［方法技巧歸納】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖象的方法：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象上下的位置:

(2)從函數(shù)的單調(diào)性(有時(shí)可借助導(dǎo)數(shù)判斷)，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；

(5)從函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷圖象的拐點(diǎn).

TT

【變式1】【例題中解析式改變了】函數(shù)y=sin2x-江在區(qū)間-~,7l上的簡(jiǎn)圖是

2_

()

【答案】A

【解析】將x=X7T代入到函數(shù)解析式中得y=0,可排除C,D；將工=萬(wàn)代入到函數(shù)解析式

6

中求出函數(shù)值為-且負(fù)數(shù)，可排除B,故選A.

2

【變式2】【例題解析式改變了，且增加了一個(gè)參數(shù)，同時(shí)判斷的問(wèn)題也改變了】已知a是實(shí)

數(shù)，則函數(shù)/（x）=l+asin奴的圖象不可能是（）

【答案】D

171

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，/（x）=l,對(duì)于振幅大于1時(shí)，三角函數(shù)的周期為T(mén)=：.T<171,

R,

而D不符合要求，它的振幅大于1,但周期反而大于了In,對(duì)于選項(xiàng)A,a<\,T>171,滿足函數(shù)與圖

象的對(duì)應(yīng)關(guān)系，故選D.

（二）根據(jù)三角函數(shù)圖象（或圖象特征）確定解析式

例2.（2020年高考山東卷10）右圖是函數(shù)y=sin（8+e）的部分圖象，貝ljsin（0x+c）=

()

7T/5TT_

C.cos(2x+—)D?cos(-^—2x)

【答案】BC

【思路導(dǎo)引】首先利用周期確定。的值，然后確定"的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用

誘導(dǎo)公式可得正確結(jié)果.

727T7i27r24

【解析】由函數(shù)圖象可知：-=—兀——=一，則。=—=—=2,所以不選A,

2362T71

2n

當(dāng)丫§乃十6_5%時(shí)y=-12x—+^9=—+2^(A:GZ),解得：

x=-----=—

212

2

(P-2k7i+—7r^keZ),

即函數(shù)的解析式為：

y=sinI2x+二"+2%"|=sin|2x+—+—=cos2x+—=sin--2x,

I3JI62jI6jl3J

<兀、5乃

而cos2x+—=—cos(——lx),故選：BC.

k6J6

【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重三角函數(shù)圖象的應(yīng)用，本題考查了三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)，

考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng).解題關(guān)鍵是正確確定(P的值.已知_/(x)=Asiw(ox+p)(4

>0,。>0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)。和小

常用如下兩種方法：

(1)由3=］「即可求出。；確定9時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零

點(diǎn)“橫坐標(biāo)xo,則令(oxo+9=0(或coxo+9=?r),即可求出0.

(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或"零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形

解出。和9,若對(duì)A,。的符號(hào)或?qū)?的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

【變式1】【例題給出的方式?jīng)]有改變，解析式中增加了一個(gè)參數(shù)】如圖所示，某地一天6~14

時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(s+°)+。，則這段曲線的函數(shù)解析式可以為

()

A.y=Asin任x+包A.(九5兀

+20,xe[6,14]B.y=Asin—x+——+20,

(84184

xe[6,14]

713兀7t5萬(wàn)

C.y=Asin-X-----+20,xe[6,14]D.y=Asin-x-----+20,

8484

xe[6,14]

【答案】A

2jrjr；(

【解析】由于T=—=2(14—6)=16,3=",A=30-10)=10,b=20,

CD8

10sin(/x+“+20,過(guò)點(diǎn)(14,30)有：30=10sin(￡xl4+0)+20,

y

.ii77r?7T7Ti,71t..55乃1.371c.

sin1J=A1,。H—―2k7t+Et(/)—2kji—,krwZ,1[乂Zf=1,。,不J

4244

713萬(wàn)

y-lOsin—x+——+20,符合題意，故選A.

84

【變式2］【例題由直接給出圖象改為由描述性給出圖象特征，所求也適當(dāng)有變化】若以函

數(shù)），=Asin5（s>0）的圖象中相鄰三個(gè)最值點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是面積為1的直角三角形,

則0的值為（)

A.1B.2C.71D.24

【答案】C

1l

【解析】如圖所示,由題意可得3ABe=葺4X3C=1,??.=3C=&則T=HC=2>。=亍=〃,

故選C.

【變式3】【例題中正弦變式為余弦】.(2021全國(guó)甲卷理⑹已知函數(shù)/(x)=2cos(3t+°)

部分圖象如圖所示，則滿足條件〉0的最小正

【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)“X)的解析式，再求出了(-一),/(——)的值，然后求解三角

43

不等式可得最小正整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.

313兀713it2)

【解析】由圖可知二7=上一乙=」，即7=」=%,；.啰=2；由五點(diǎn)法可得

41234CD

-TCTC7C￡,、cc兀?

2x—cp=—,即(p—-,?*./(x)=2cos2x.

326\6J

7兀、三(1171^1.-4無(wú)、三/5兀1八

???/(-彳)=2叫---1=1,/(y)=2cosly1=0,

???由(f(x)-f(--))(f(x)-0可得/(x)>1或f(x)<0,

方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(x)<0,即cos|2x-聿<0,

解得％兀+'<%<左兀+三次eZ,令攵=0,可得［<x<￥，可得x的最小正整數(shù)為2.

3636

方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足f(x)<o,又/(2)=2COS(4-￡)<0,符

合題意，可得》的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解根據(jù)

特殊點(diǎn)求解

(三)三角函數(shù)圖象的變換

例3.(2021高考全國(guó)乙卷理7)把函數(shù)y=/(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)

|TTIT：I

的1倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)丁=sin[x-^J的

圖如則/(x)=()

xn,c7兀

B.sin一+一Csinlx-----

(212JI12J

【答案】B

【分析】思路一：從函數(shù)y=/(x)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到

y=即得/2(x—=再利用換元思想求得y=/(x)的

解析表達(dá)式.思路二：從函數(shù)y=sin(x-出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換

法則得到y(tǒng)=f(x)的解析表達(dá)式.

【解析】解法一：函數(shù)y=/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的!倍，縱坐標(biāo)不變,

得到y(tǒng)=f(2x)的圖象，再把所得曲線向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫統(tǒng)=/2\x-

3\3

的圖象，根據(jù)已知得到了函數(shù)y=sin[x-的圖象，.?./=sin[x—令

t71TCt71t7t

則x=—+—,x——=—+——/(r)=sin----1-----

234212212

x乃、

〃x)=sin—+一

212J

解法二:由已知的函數(shù)丁=sin1九一5逆向變換;

n71

第一步:向左平移。個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin(x+(-=sinx+與的圖象;

37I12)

XTC

第二步:圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin一+一

212

的圖象,

即為y=/（x）的圖象，故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎(chǔ)題，可以正向變換，也可以

逆向變換求解，關(guān)鍵是要注意每一步變換，對(duì)應(yīng)的解析式中都是％的變換，圖象向左平移

。個(gè)單位，對(duì)應(yīng)X替換成x+a,圖象向右平移。個(gè)單位，對(duì)應(yīng)X替換成龍-牢記“左加

X

右減”口訣；圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的k倍，對(duì)應(yīng)解析式中/替換成丁.

k

【變式1】【由例題確定平移過(guò)程改為了確定平移后的函數(shù)解析式】把函數(shù)y=cosx的圖象

7T

向左平移2個(gè)單位，然后把圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），則

4

所得圖形對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（)

17T

A.y=cos—x+—B.y=cos12x+?

24

171(犬+/

C.y=cos-X-----D.y=cos2

28

【答案】B

【解析】把函數(shù)y=cosx的圖象向左平移:個(gè)單位，得到函數(shù)y=cos；x+gj的圖象，再把圖象上的所有

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=cos；2x+g；,故選B.

【變式2］【例題中的一個(gè)函數(shù)的解析式改變?yōu)檩^復(fù)雜的解析式，變換過(guò)程改為一個(gè)】為了

得到函數(shù)y=Gin3x+cos3x的圖象，可以將函數(shù)y=2sin3x的圖象（）

IT7TTT

A.向右平移三個(gè)單位B.向左平移生個(gè)單位C.向右平移上個(gè)單位D.向左

6618

平移三TT個(gè)單位

18

【答案】D

【解析】函數(shù)y=V3sin3x+cos3x=2sinbx+?=2sin3ix+—，將函數(shù)y=2sin3x

I18

的圖象向左平移/個(gè)單位可得函數(shù)y二百sin3x+cos3x的圖象，故選D.

（四）三角函數(shù)圖象的應(yīng)用

cos(27Lr-2m),x<a,

例4.（2021年高考天津卷9）設(shè)aeR,函數(shù)/（x）=<0/\7'若

x-2(a+l)x+a+5,x>?

函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,+8）內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則Q的取值范圍是)

5117

A.21U||,yB.C.

4122494小

<4廣]4）

【答案】A

【分析】由f—2（。+1）》+。2+5=0最多有2個(gè)根，可得cos（2m—2a）=0至少有4個(gè)

根，分別討論當(dāng)x<。和xN以時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.

【解析】-2（a+l）x+q2+5=0最多有2個(gè)根，，cos（2兀r-271a）=0至少有4個(gè)根，

TT171U1

由2兀1一2兀。=—Fku,€Z可得x=—I—,由0<—I—vu<ci可得

22424

-2c?！?<k,<—1.

22

17Q

（1）x<a時(shí)，當(dāng)一5K—2a—]<-4時(shí)，/（x）有4個(gè)零點(diǎn)，即

1Q11

當(dāng)一6?—2a——<-5,f（x）有5個(gè)零點(diǎn)，即二<a<一；

244

當(dāng)—74—2a—,<一6,有6個(gè)零點(diǎn)，即U<〃4?.

244

（2）當(dāng)xNa時(shí)，/（x）=f-2（0+1）%+〃+5,△=4（a+l）：:—4（〃+5）=8（。一2）,

當(dāng)a<2時(shí)，4<0，/（%）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=2時(shí)，△=（）,/（x）有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>2時(shí)，令/'（4）=。2-24（4+1）+/+5=-2。+520,則2<a4'1,此時(shí)/（x）有

2個(gè)零點(diǎn)；.?.若a時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).

綜上，要使f（x）在區(qū)間（0,+8）內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足

[7/9

—<a<—1113

444——<a<-

<4或.44，則可解得。的取值范圍是（2,Ui%

2<a4—=2或a>-a<2

I2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分x<a和xNa兩種情況分別討論兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)

個(gè)數(shù)情況.

【方法技巧歸納】利用函數(shù)圖象處理函數(shù)的零點(diǎn)（方程根）主要有兩種策略：（1）確定函數(shù)

零點(diǎn)的個(gè)數(shù)：利用圖象研究與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)定性判斷;

?(2)已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍：通常也轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)的交點(diǎn)，即在同

一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過(guò)觀察它們交點(diǎn)的位置特征建立關(guān)于參數(shù)的不等式來(lái)求

解.

【變式11【將例題中求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)改為求函數(shù)的零點(diǎn)之和】

2兀11兀1971

函數(shù)/(x)=cos2x-+4COS2X-2----所有零點(diǎn)之和為

3%一兀1212

()

2兀4兀n8兀

A.—B.—C.2nD.—

333

【答案】B

713117119兀

【解析】化簡(jiǎn)/(x)=V3sin|2x+—xe令

33%一兀1212

(x)=V3sin(2x+方)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)后,0對(duì)稱，分別

g比)=高

作出g(x),〃(x)的圖象，如圖所示，函數(shù)g(x)與/z(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為函數(shù)

/(X)的零點(diǎn)，觀察圖象可知，%+*4=々+七=亍，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為

4兀

玉+/+9+七=故選B.

【變式2]【將例題中求零點(diǎn)個(gè)數(shù)改為求根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍】

若函數(shù)y=sin'x-log“|x|的圖象至少有12個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(1,14]B.[14,C.(1,7]D.[7,+oo)

【答案】D

【解析】Vj=sin^-x與y=logj"都是偶函數(shù)，所以y=sin】x-logjx|是偶函數(shù)，只需x>0時(shí),

有至少6個(gè)零點(diǎn)，即可畫(huà)出x>0時(shí)，函數(shù)>=singx的圖象與），=1。84卜|的圖象，如圖，由圖可知，

7

loga<l,a>7,^a的取值范圍是［7,收），故選D.

【數(shù)學(xué)思想】

1.轉(zhuǎn)化與化歸的思想

在三角函數(shù)圖象中主要體現(xiàn)在當(dāng)平移前與平移后的函數(shù)名稱不一致時(shí)，常常要利用誘導(dǎo)公式

將它們轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)；研究三角函數(shù)的零點(diǎn)時(shí);常常轉(zhuǎn)化為三角方程來(lái)求解.

2.數(shù)形結(jié)合的思想

研究與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)、方程的根、圖象的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，通常要將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)

的交點(diǎn)，通過(guò)作出它們的圖象來(lái)解決;求不常規(guī)的三角函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間可利用圖象來(lái)解決.

3.分類討論思想

遇到畫(huà)形如y=Asin（（vx+°）+8的圖象中時(shí)，如果解析式中的A3，O，B有符號(hào)不確定的

字母參數(shù)時(shí)，常常要分類作其可能的圖象來(lái)研究問(wèn)題.

【處理三角函數(shù)圖象問(wèn)題注意點(diǎn)】

1.五點(diǎn)作圖法畫(huà)圖列表時(shí)要注意借助于整體代換思想的應(yīng)用，特別是作已知區(qū)間上的圖象

時(shí)，注意確定起始點(diǎn)與終止點(diǎn).

2.圖象變換中，注意區(qū)分兩種變換方式：“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”在平移

單位的確定上的差異：同時(shí)在坐標(biāo)伸縮上的也須注意確定其倍數(shù).

3.根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式時(shí)，注意確定三角函數(shù)的零點(diǎn)、最值點(diǎn)與函數(shù)的周期的

關(guān)系，特別是求初相"時(shí)，要盡量取非零點(diǎn)來(lái)確定..

4.注意正切函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，正切函數(shù)只有對(duì)稱中點(diǎn)，沒(méi)有對(duì)稱稱，且不要誤認(rèn)為正

切函數(shù)的對(duì)稱中心為函數(shù)的零點(diǎn).

【典例試題演練】

1.（2022?河北?天津十四中高三月考）已知函數(shù)_y（x）=Asin?x+*）（A>0,o>0，M|<封是

奇函數(shù)，將y=/(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖像

對(duì)應(yīng)的的函數(shù)為g(x),若g(x)的最小正周期為2萬(wàn)，且卜伉則(今卜()

A.-2B.-及C.72D.2

【答案】C

【分析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可.

【解析】:f(x)為奇函數(shù),；./(0)=Asin9=(),(p-kn,:.k=G,<p=0-

,=Asin—<yx,.\T==2TT,~,，萬(wàn)、r-

又521(9=2,又g(—)=j2,A=2,：.f(x)=2sin2x,

—CD4

2

37r/-

/(—)=V2,故選C.

o

2.(2022?蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)高三月考)函數(shù)"x)=x-cos(;rx),則它的圖像大致

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，判斷出函數(shù)〃X)=XCOS(G)是奇函數(shù)，排除B,根據(jù)

乃1

時(shí)，f(x)>0,當(dāng)］<X<1時(shí)，f(x)<0,排除C、D.

【解析】已知/(—x)=—xcos(—萬(wàn)x)=-xcos(7x)=-/(x),，函數(shù)/(x)=xcosx是奇函數(shù)，

排除B,XV0<x<yHt,/(x)>0,當(dāng)g<x<l時(shí)，f(x)<0,故排除C,D,故選A.

3.(2022?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高三月考)若將函數(shù)〉=曲犬+6?)5*(xeR)的圖像

向左平移m(m>0)個(gè)單位后，所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則4的最小值是()

A—B.工C.空D.紅

6336

【答案】C

【分析】求出平移后的解析式，根據(jù)圖象對(duì)稱可求出加.

【解析】y=sinx+73cosx=2sin(x+yL向左平移機(jī)(機(jī)>0)個(gè)單位后可得

7T

y=2sinx+〃2+—,

3

???所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，m+W=k7r,ZeZ,即機(jī)=eZ,當(dāng)Z=1時(shí)，機(jī)取得

33

最小值為2年4，故選C.

4.(2022?四川青羊?樹(shù)德中學(xué)高三月考(理))已知/(x)=sin(ox+?)(“>0),

/閨=/百|(zhì),且/(x)在區(qū)間信()上有最小值，無(wú)最大值，則。=()

AB,將

-I3c

D.\co\co=Sk-^-,keZ

【答案】B

7171

【分析】根據(jù)題意得了(X)在石+§=%處取得最小值,得3=84-與(kwZ),結(jié)合周期的

24

范圍可得解.

【解析】???/(》)=sin內(nèi)只有最小

"3且俗閭

n7i

值、無(wú)最大值，/(x)在％+〉="處取得最小值.

2-4

—<y+—=2kn——GZ)..*.co=8k——(ZceZ).

易知周期7=至-巳=巳，<y<12

。366

"<,<?>0.；.當(dāng)％=1時(shí)，<y=8--=—,故選B.

33

5.(2022?四川巴中?高三月考(理))已知函數(shù)/(》)=疝(公1+9)(0>0,0<夕<1)的部分

圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

B./(x)的圖象向右平移2個(gè)單位后得到V=sin2x的圖象

C.〃x)在區(qū)間0,^的最小值為一日

D.+為偶函數(shù)

【答案】D

【分析】先由圖象求出〃x)解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像變換逐一判斷即可求解

7T7T

【解析】由圖象知f(O)=sin*=；,又0<s<g，故*=占；

226

再由圖象知且勺<7<年，故等+￡=與，解得④=2,即

\JJJ3362

/(x)=sin(2x+5],

對(duì)于A：由=-1知A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

項(xiàng)錯(cuò)誤;

當(dāng)xe0,gU寸，2x+ge/，?，

2J6|_66_

.?".(X)在0,|上的最小值為=故C錯(cuò)誤.

由/(x+^)=sin(2x+])=cos2x,+為偶函數(shù)，故D選項(xiàng)正確，故選D.

6.(2022?河南高三月考(文))將函數(shù)f(x)=-2sin2x的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度后，

再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則

下列區(qū)間是g(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間的為()

A.［-4,-2］B.C.［-7,-6］D.［6,8］

【答案】D

【分析】由圖象變換寫(xiě)出g(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求g(x)的單調(diào)減區(qū)間為

TT，冗

2k7r,—+2kn(AwZ),結(jié)合各選項(xiàng)的區(qū)間，討論人值判斷是否在單調(diào)減區(qū)間內(nèi)即

O+O

可.

【解析】由題設(shè)，g(x)=-2sin(x-1

由2k兀-gwx-y<2k兀+%,得一+乃<x<^-+2kjr^keZ).

；.g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為--+2U,—+2k7T(fceZ),

”'M=T時(shí)，減區(qū)間為［一學(xué)當(dāng)左=0時(shí)，減區(qū)間為［-J,學(xué)］,顯然可排除A、

6666

B、C；

［［九■177r

當(dāng)A=1時(shí)，減區(qū)間為［一,二］,顯然［6,8］在該區(qū)間內(nèi)，故D正確.

故選D

7.(2022?河南高三月考(文))己知函數(shù)/(x)=4sin(5+e)(4>0,。>0,|夕|<|^的部分

圖象如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是()

B./(x)=2sinf|x-yj

C.點(diǎn)(等,0)是〃x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

D.直線x=2%是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸

【答案】C

【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)題干所給圖像即可求解；選項(xiàng)B：結(jié)合已知條件，首先根據(jù)圖像最

高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A,利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式求出通過(guò)代入圖像中的點(diǎn)求出

9即可求出函數(shù)Ax)解析式；選項(xiàng)CD：通過(guò)代入檢驗(yàn)法即可求解.

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由圖象可知，/(x)的最小正周期T=4')=4萬(wàn)，故A錯(cuò)

誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：由圖可知A=2,T=—,—=4/r,E!|J<y=—,故

COCD2

/(x)=2sin(；x+e

?.?點(diǎn)($2］在的圖象上，???2=2sin6x?+e即l=sin《+ej,又網(wǎng)若，

71

：./(x)=2sin(^x+y

故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：等)=2sin(科+?)=0,.?.點(diǎn)(手,0)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,

故C正確：

對(duì)于選項(xiàng)D：:/(Z%)=2疝卜+?卜±2,故D錯(cuò)誤，故選C.

8.(2022?云南曲靖一中高三月考(理))已知函數(shù)〃x)=sin(<yx+f](&>0)在10,軍〕上

單調(diào)遞增，在[7,萬(wàn)J上單調(diào)遞減，則/“）的最小正周期為（）

A.2萬(wàn)B.4%C.6〃D.87r

【答案】B

兀

【分析】根據(jù)題意，x=午2時(shí)，"X）取得最大值，進(jìn)而列出等式，求出“，進(jìn)一步再根據(jù)

9n（區(qū)間長(zhǎng)度）得到答案.

【解析】由題意可知彳="時(shí)，〃x）取得最大值，則§0+U+2E/eZ）,解得

3362

0=《+33由于則0<0?],故0=]，最小正周期7=4兀，故選B.

22322

9.（2022?四川高三月考（理））已知函數(shù)/（xMZsinQx+ejoAOJoKm）的最小正周期

TN當(dāng),且犬=二是函數(shù)/（x）的一條對(duì)稱軸，佟,。]是函數(shù)/（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)

412<3）

/（X）在上的取值范圍是（）

I46」

A.（―1,V3JB.（—1,2]C.f-—JD.[—1,2]

【答案】B

【分析】依題意求出了（X）的解析式，再根據(jù)X的取值范圍，求出2x+q的范圍，再根據(jù)正

弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【解析】解：函數(shù)〃?=2411（5+9）（0>0,|0|<5）的最小正周期7'2今，

:—?->解得。<叫，,

0）43

由于X=^|是函數(shù)/（X）的一條對(duì)稱軸，且[?，°）為/（X）的一個(gè)對(duì)稱中心，

:.雪=5=5+gr=U（；+§,（無(wú)eZ）,則6y=2+4%,GZ）,則<y=2,

又+,（4eZ）,由于|夕|</,；?*=?，故/（x）=2sin（2x+5）,

?.?xe'?,?,二2x+（e,看片，,sin（2x+（）《-g,l,/./（x）e（-l,2]

故選B.

10.（2022?天津市第四十七中學(xué)高三月考）已知函數(shù)〃》）=<：0$（0》+夕）（0>0,|9|<5）的最

小正周期為%其圖象關(guān)于直線X=?對(duì)稱.給出下面四個(gè)結(jié)論：①將“X）的圖象向左平

移彳個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②點(diǎn)（葛,0）為f（X）圖象的一個(gè)對(duì)稱中

心；③/仁卜;；④f（x）在區(qū)間0,y上單調(diào)遞增.其中正確的結(jié)論為（）

A.①@B.②③C.②④D.①④

【答案】A

JT

【分析】根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式〃x）=sin（2x+”），再

6

結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解析】?.?函數(shù)f（x）=8S（0x+s）的最小正周期為左，其圖象關(guān)于直線X=J對(duì)稱,

O

24

——=Rco=2

CD

解得

(p=——+k冗、keZ

—a)+(p=k兀、keZ

6

I_7CI.._7兀T、

：Id＜于:?甲=-飛，因此/（x）=cosI2x-yI=sin(2x+—),

6

①將/（X）=sin（2x+令的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后函數(shù)解析式為

/(x)=sin2卜+2)+?71=cos2x,

6

是偶函數(shù)，故得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故①正確;

②由2》+9=既《€2,解得x=_二+竺，即函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為

6122

----7--t---1---k--7-i-,0peZ,令4+與喑，貝必=ieZ,故②正確;

122

71717152故③錯(cuò)誤;

③由/

26

rrT7T1715萬(wàn)

④當(dāng)xe0,—時(shí)，2x+—e=，令X=2X+￡71,?.?y=sinX在三名上不單調(diào)(先

3666o66666

71

增后減），因此了（“在區(qū)間°-6上不單調(diào),故④錯(cuò)誤.

故選A.

11.（2022?河南高三月考（理））已知函數(shù)/（x）=2cos（s+⑼［。＞0,冏

，其圖象兩相

鄰對(duì)稱中心之間的距離為若對(duì)任意的/UX-1,則8的取值范圍是

7171TC冗

B.'6'2C.D.

【答案】c

【分析】由?。﹥上噜弻?duì)稱中心之間的距離峰，則T",從而可求出。的值，再由對(duì)任

意的普）/UX-1,可得與+夕4暮且今+94與，從而可求出。的取值范圍

【解析】?.?/（x）兩相鄰對(duì)稱中心之間的距離為則7=乃，。=2,則

2

/（X）=2COS（2%4-^9）,

..II71.乃247左

+0,?\（p\<一,..一<----\-（p<—,

112636

?.4+02尋且?+夕<W，解得04夕41，故

33636

選C.

12.（2022?安徽鏡湖?蕪湖一中高三月考（理））已知函數(shù)

/（外=485（公^+8）+〃（4>0,0>0,|*|<|^的大致圖象如下所示；將函數(shù)/⑶的圖象上點(diǎn)

TT

的橫坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的3倍后，再向左平移7個(gè)單位，得到函數(shù)痣）的圖象,則函數(shù)四）

的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

B.3k九，3k7t十二—(kGZ)

_2_

!TTTTjr57r

C.-------卜3k/r,---卜3k汽(keZ)D.------卜3kjv,---卜3k兀(kwZ)

4444

【答案】c

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象求/(x)的解析式，再由平移過(guò)程寫(xiě)出g(x)解析式，最后結(jié)合

余弦函數(shù)的性質(zhì)求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【解析】依題意，IA+Z?=1解得\A="2:故，。)=23即+吶，而

則0)=2.?.2cos吟+°-1=1,故

—+(p=lk7u(k^Z),又19K乙，故夕=一工，I./(x)=2cos[-1；

626V6J

將函數(shù)f(X)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的3倍后，得到y(tǒng)=2COS(1X-看＞1,

再向左平管個(gè)單位,得到g(x)=2c°s(|嗚一升l=2c°s(|嗚卜,

2TC77rTC

令一萬(wàn)+2k4<-X4■—<2k兀也GZ),故----+3k兀<x<—+3k兀(kGZ),

3644

JTT7T

故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-丁弘萬(wàn),北+3.(壯Z),故選c.

13.(2022?北京市大興區(qū)興華中學(xué)高三月考)己知函數(shù)/(k=卜泊刀|+石,則

■jr

①在萬(wàn),％上的最小值是1；

②〃X)的最小正周期是

③直線*=與(3)是“X)圖象的對(duì)稱軸；

④直線y=與〃x)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn).

兀

其中說(shuō)法正確的是.

【答案】①③④

【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想求解，求出即可判斷②,

分人為奇數(shù)，4為偶數(shù)，討論即可判斷③.

TT

【解析】解：對(duì)?于①，當(dāng)xe-,n時(shí)，

_/'(x)=|sinx|+\/3sin(x-])=|sinx|+G|cosx|=sinx_8cosx=2sin(x-。)且

則當(dāng)x-f=2時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值，即/(x)mM=2sin5=l,故①正

633366

確；

對(duì)于②，；.f(x)=binx|+75|cosx|,f(O)=6=l,貝ij：/(。卜/仁)，

rr

故函數(shù)〃X)的最小正周期不是②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若k為奇數(shù)，則

/(^-x)=|sin(^-x)|+>/3|cos(人萬(wàn)-x)|=卜inH+6|-cosx|=|sinx|+石|cosx|=/(x)；

若女為偶數(shù)，則

/(-j：)=|sin(-x)|+-73|COS()|=|-sinA:|+>/3|cosx|=|sinx|+|cosx\=/，(x).

由上可知,當(dāng)無(wú)eZ時(shí)，〃版■-x)=/(x),.?.直線》='(止Z)是圖象的對(duì)稱軸,

③正確：

文寸于④，

/(x+^)=|sin(x+^)|+V3|cos(x+^)|=|-sinA:|+>/3|-cos=|sinx|+A/3|COSx|,I."為函數(shù)

的周期.

當(dāng)OKx時(shí)，/(x)=sinx-V3cosx=2sinfx-yj<2；

當(dāng)/Vx?萬(wàn)時(shí)，/(x)=sinx—Gcosx=2sin(x7T<2.

綜上可知，/(%)?2.

當(dāng)無(wú)<0時(shí)，—x<0,f(x)=IsinA^I+73Icosjd>0,即函數(shù)y=2%與“%)在(-oo,0)上的圖

TC71

象無(wú)交點(diǎn)：

當(dāng)X>萬(wàn)時(shí)，-x>2,〃X)42,.?.函數(shù)y與/(x)在(巴田)上的圖象也無(wú)交點(diǎn).作

7t71

7

出函數(shù)y=與函數(shù)〃x)在[(),句上的圖象如下圖所示:

71

7

由圖像可知，直線y=4x與f(x)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③

71

④.

14.(2022.鹽城市伍佑中學(xué)高三月考)已知函數(shù)〃x)=Asin?x+e)[A>O,0>O，M</)的

【答案】0+1##1+&

【分析】根據(jù)圖象求得函數(shù)產(chǎn)/⑺的解析式，化筒函數(shù)y=/U)+