湖南省湘潭市昭山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖南省湘潭市昭山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)滿足則(

)A.有最小值2，最大值3

B.有最小值2，無最大值C.有最大值3，無最小值

D.既無最小值，也無最大值.

參考答案：B略2.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，，，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面AEC的距離為（

）A. B. C. D.1參考答案：A【分析】利用等體積法，由，確定的面積及C到平面的距離可得.【詳解】設(shè)到平面的距離為，由于為正四棱柱，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，，，，且點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法，，得，即點(diǎn)到平面的距離為，選A．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離，一般可直接幾何作圖，在直角三角形中計(jì)算距離；或利用等體積法.考查空間想象能力及計(jì)算能力，屬于中檔題.3.已知定義在R上的函數(shù)滿足時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.3 B.5 C.7 D.9

參考答案：D略4.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則數(shù)列的通項(xiàng)為

（

）

A．2n-3

B．2n-1

C．2n+1

D．2n+3參考答案：C略5.對(duì)任意（

）；

A.；

B.；

C.；

D.參考答案：C6.“x>2”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：D試題分析：由題根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行分析可得選項(xiàng)；如圖根據(jù)圖像可得正確選項(xiàng)為D考點(diǎn)：函數(shù)模型的應(yīng)用7.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z＝()A．2-i

B.

+i

C.i

D．2+i參考答案：A8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)E在棱BB1上，動(dòng)點(diǎn)F在線段A1C1上，O為底面ABCD的中心，若，則四面體O-AEF的體積(

)A.與x，y都有關(guān) B.與x，y都無關(guān)C.與x有關(guān)，與y無關(guān) D.與y有關(guān)，與x無關(guān)參考答案：B【分析】根據(jù)等體積法以及錐體體積公式判斷選擇.【詳解】因?yàn)閂O－AEF＝VE－OAF，所以，考察△AOF的面積和點(diǎn)E到平面AOF的距離的值，因?yàn)锽B1∥平面ACC1A1，所以，點(diǎn)E到平面AOE的距離為定值，又AO∥A1C1，所以，OA為定值，點(diǎn)F到直線AO的距離也為定值，即△AOF的面積是定值，所以，四面體O-AEF的體積與x，y都無關(guān)，選B。【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積、點(diǎn)到平面的距離以及點(diǎn)到直線的距離，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.9.已知命題那么是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.過雙曲線的左焦點(diǎn)，作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若則雙曲線的離心率為A. B. C. D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.程序框圖（如圖）的運(yùn)算結(jié)果為

參考答案：第一次循環(huán)為；第二次循環(huán)為；第三次循環(huán)為；第四次循環(huán)為；第五次循環(huán)此時(shí)條件不成立，輸出。12.若x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為．參考答案：2【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y為，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)A（2，0）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．13.已知且，則.參考答案：由得，所以。因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，。14.已知函數(shù)若對(duì)于正數(shù)（），直線與函數(shù)的圖像恰有個(gè)不同交點(diǎn)，則______．參考答案：15.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有______________項(xiàng)。參考答案：13略16.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且軸，則雙曲線的離心率為

。 參考答案：17.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為

km．參考答案：30【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)船的速度和時(shí)間求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而在△AMB中根據(jù)正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°，和AB的長(zhǎng)度，求得BM．【解答】解：如圖，依題意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得=，解得BM=30（km），故答案為30．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．常需利用正弦定理或余弦定理，根據(jù)已知的邊或角求得問題的答案．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4﹣5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．（Ⅰ）當(dāng)a=7時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法；對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】（Ⅰ）由題意可得，|x﹣1|+|x+2|＞7，故有：，或，或，把各個(gè)不等式組的解集取并集，即得所求．（Ⅱ）由不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x﹣1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)知：|x﹣1|+|x+2|＞7，不等式的解集是以下不等式組解集的并集：，或，或…（3分）解得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭?，?）∪（3，+∞）；

…（5分）（Ⅱ）不等式f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+2|≥a+8，∵x∈R時(shí)，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，…（8分）∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，∴a的取值范圍是（﹣∞，﹣5]．

…（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）已知直三棱柱中，△為等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分別為、、的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）求證：⊥平面；（3）求二面角的余弦值．參考答案：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，令A(yù)B＝AA1＝4，則A（0，0，0），E（0，4，2），F(xiàn)（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4），D（2，0，2），

…………（2分）（I）（，4，0），面ABC的法向量為（0，0，4），∵，平面ABC，∴DE∥平面ABC．

…………（4分）（II）…………（6分）∴∵

…………（8分）（III）平面AEF的法向量為，設(shè)平面B1AE的法向量為

即

…………（10分）令x＝2，則∴∴二面角B1—AE—F的余弦值為

………（12分）20.已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和且2＝an＋1，數(shù)列的前n項(xiàng)和,(I)求;(II)是否存在最大的整數(shù)t,使得對(duì)任意的正整數(shù)n均有總成立?若存在,求出t;若不存在,請(qǐng)說明理由,

參考答案：（Ⅰ）由2＝an＋1，得Sn＝2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，得a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2－2，整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，∵數(shù)列{an}各項(xiàng)為正，∴an＋an－1>0.∴an－an－1－2＝0.∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知

于是易知數(shù)列是遞增數(shù)列，故T1=是最小值，只需，即，因此存在符合題意。略21.（13分）已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a=1且k∈z時(shí)，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】：綜合題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】：（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依題意知，當(dāng)x≥e時(shí)，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e時(shí)，a≥（﹣1﹣lnx）max，從而可得a的取值范圍；（2）依題意，對(duì)任意x＞1恒成立，令則，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上單增，從而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，從而可得k的最大值．解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)，∴當(dāng)x≥e時(shí)，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范圍為[﹣2，+∞）；

（2）當(dāng)x＞1時(shí)，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）?k＜，即對(duì)任意x＞1恒成立．令則，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），則在（1，+∞）上單增．∵h(yuǎn)（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即當(dāng)1＜x＜x0時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0，當(dāng)x＞x0時(shí)，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上單減，在（x0，+∞）上單增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即kmax=3．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)恒成立問題，屬于難題．22.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．（1）若存在最大值，且，求的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，試問方程是否有實(shí)數(shù)根，若有，求出所有實(shí)數(shù)根；若沒有，請(qǐng)說明理由．參考答案：（1）；（2）沒有實(shí)根，理由見解析．試題分析：（1）先求出的定義域和導(dǎo)數(shù)，對(duì)分，和進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，由得到關(guān)于的不等式，解之即可；（2）當(dāng)時(shí)，方程可化為，即，再構(gòu)