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湖南省株洲市湘東化工機(jī)械廠學(xué)校高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列滿足,且前2014項(xiàng)的和為403,則數(shù)列的前2014項(xiàng)的和為
(
)參考答案:C2.設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2),則下列與共線的充要條件的有(
)①存在一個實(shí)數(shù)λ,使=λ或=λ;
②|·|=||||;③;
④(+)//(-)A、1個
B、2個
C、3個
D、4個參考答案:C3.集合A={x|y=x+1},B={y|y=2x,x∈R},則A∩B為()A.{(0,1),(1,2)} B.{0,1} C.(0,+∞) D.?參考答案:C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【分析】分別求出關(guān)于集合A,B的范圍,取交集即可.【解答】解:A={x|y=x+1}=R,B={y|y=2x,x∈R}=(0,+∞),則A∩B=(0,+∞),故選:C.4.如圖是計算的值的程序框圖,在圖中①、②處應(yīng)填寫的語句分別是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A5.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<,x∈R)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為()A.y=﹣4sin() B.y=4sin()C.y=﹣4sin() D.y=4sin()參考答案:A【考點(diǎn)】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出ω,由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求φ,可得函數(shù)的解析式.【解答】解:根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<,x∈R)的部分圖象,可得A=4,=6+2,∴ω=,再結(jié)合?(﹣2)+φ=kπ,k∈Z,可得φ=,∴函數(shù)的解析式為y=﹣4sin(+),故選:A.6.設(shè)向量均為單位向量,且(+),則與夾角為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C略7.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},集合B={2,3,5},那么(UA)(UB)等于(
)
A.
B.{4}
C.{1,3}
D.{2,5}參考答案:解析:(UA)(UB)={2,5}{1,4}=.
答案:A8.在映射,且,則與中的元素對應(yīng)的中的元素為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B略9.設(shè),若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[-2,12] B.[-2,10] C.[-4,4] D.[-4,12]參考答案:D【詳解】恒成立,即為恒成立,當(dāng)時,可得的最小值,由,當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值8,即有,則;當(dāng)時,可得的最大值,由,當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值,即有,則,綜上可得.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論思想,以及基本不等式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和運(yùn)算能力。10.若是等差數(shù)列,首項(xiàng),則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是(
)A.4005
B.4006
C.4007
D.4008參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點(diǎn)P(1,1)作直線l交圓x2+y2=4于A,B兩點(diǎn),若,則直線l的方程為.參考答案:x=1或y=1【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=1,成立;當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為kx﹣y﹣k+1=0,求出圓x2+y2=4的圓心O(0,0),半徑r=2,圓心到直線l的距離d=,由d2+()2=r2,能求出直線l的方程.【解答】解:當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=1,聯(lián)立,得A(1,﹣),B(1,),此時|AB|=2,成立;當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y﹣1=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k+1=0,圓x2+y2=4的圓心O(0,0),半徑r=2,圓心到直線l的距離d=,∵,∴由d2+()2=r2,得()2+()2=4,解得k=0.∴直線l的方程為y=1.∴直線l的方程為x=1或y=1.故答案為:x=1或y=1.12.設(shè)常數(shù)a∈(0,1),已知f(x)=loga(x2﹣2x+6)是區(qū)間(m,m+)上的增函數(shù),則最大負(fù)整數(shù)m的值為.參考答案:﹣2【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性;對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).【專題】轉(zhuǎn)化思想;換元法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的性質(zhì),進(jìn)行求解即可.【解答】解:設(shè)t=x2﹣2x+6,則t=(x﹣1)2+5>0,則函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞),∵a∈(0,1),∴y=logat為增函數(shù),若f(x)=loga(x2﹣2x+6)是區(qū)間(m,m+)上的增函數(shù),則等價為t=x2﹣2x+6是區(qū)間(m,m+)上的減函數(shù),則m+≤1,即m≤1﹣=﹣,∵m是整數(shù),∴最大的整數(shù)m=﹣2,故答案為:﹣2【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,利用換元法,轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.13.某工廠8年來某產(chǎn)品總產(chǎn)量y與時間t年的函數(shù)關(guān)系如下圖,則:①前3年中總產(chǎn)量增長速度越來越慢;②前3年總產(chǎn)量增長速度增長速度越來越快;③第3年后,這種產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變.
④第3年后,這種產(chǎn)品停止生產(chǎn);以上說法中正確的是_______.參考答案:②④14.在⊿ABC中,已知a=,則∠B=
▲
參考答案:
60o或120o;
15.函數(shù)f(x)=|x+2|+x2的單調(diào)增區(qū)間是.參考答案:略16.函數(shù)的定義域是
。參考答案:17.定義在上的奇函數(shù)在上的圖象如右圖所示,則不等式的解集是
.參考答案:
略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題13分)
已知向量m=(sin,1),n=(cos,cos2)(1)若m·n=1,求cos(-x)的值;(2)記f(x)=m·n,在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.參考答案:解:(1)∵m·n=1,即sincos+cos2=1,即sin+cos+=1,∴sin(+)=.∴cos(-x)=cos(x-)=-cos(x+)=-[1-2sin2(+)]=2·()2-1=-.(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC,∴2sinAcosB=sin(B+C),∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,∴cosB=,B=,∴0<A<.∴<+<,<sin(+)<1.又∵f(x)=m·n=sin(+)+,∴f(A)=sin(+)+.故函數(shù)f(A)的取值范圍是(1,).
略19.設(shè)集合(1)若,使求的取值范圍;(2)若,使求的取值范圍。參考答案:(1)故的取值范圍(2)因?yàn)?,?0.(本小題滿分13分)已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B,C;(1)求直線AB方程的一般式;(2)證明△ABC為直角三角形;(3)求△ABC外接圓方程。參考答案:解:(1)直線AB方程為:,化簡得:;…………4分
(2)………2分;,∴,則∴△ABC為直角三角形…………8分
(3)∵△ABC為直角三角形,∴△ABC外接圓圓心為AC中點(diǎn)M,……10分
半徑為r=,…………12分
∴△ABC外接圓方程為…………13分略21.(12分)已知:函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值.(2)求f(x)的解析式.(3)已知a∈R,設(shè)P:當(dāng)時,不等式f(x)+3<2x+a恒成立;Q:當(dāng)x∈[﹣2,2]時,g(x)=f(x)﹣ax是單調(diào)函數(shù).如果滿足P成立的a的集合記為A,滿足Q成立的a的集合記為B,求A∩?RB(R為全集).參考答案:考點(diǎn): 抽象函數(shù)及其應(yīng)用;交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.專題: 計算題.分析: (1)對抽象函數(shù)滿足的函數(shù)值關(guān)系的理解和把握是解決該問題的關(guān)鍵,對自變量適當(dāng)?shù)馁x值可以解決該問題,結(jié)合已知條件可以賦x=﹣1,y=1求出f(0);(2)在(1)基礎(chǔ)上賦值y=0可以實(shí)現(xiàn)求解f(x)的解析式的問題;(3)利用(2)中求得的函數(shù)的解析式,結(jié)合恒成立問題的求解策略,即轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次函數(shù)最值問題求出集合A,利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解策略求出集合B.解答: (1)令x=﹣1,y=1,則由已知f(0)﹣f(1)=﹣1(﹣1+2+1)∴f(0)=﹣2(2)令y=0,則f(x)﹣f(0)=x(x+1)又∵f(0)=﹣2∴f(x)=x2+x﹣2(3)不等式f(x)+3<2x+a即x2+x﹣2+3<2x+a也就是x2﹣x+1<a.由于當(dāng)時,,又x2﹣x+1=恒成立,故A={a|a≥1},g(x)=x2+x﹣2﹣ax=x2+(1﹣a)x﹣2對稱軸x=,又g(x)在[﹣2,2]上是單調(diào)函數(shù),故有,∴B={a|a≤﹣3,或a≥5},CRB={a|﹣3<a<5}∴A∩CRB={a|1≤a<5}.點(diǎn)評: 本題考查抽象函數(shù)解析式的求解,考查賦值法求函數(shù)值、函數(shù)解析式的思想,考查恒成立問題的解決方法、考查二次函數(shù)單調(diào)性的影響因素,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于中檔題.22.(本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B、C三點(diǎn)滿足
(Ⅰ)求證:三點(diǎn)共線;
(Ⅱ)已知,,
的最小值為,求實(shí)數(shù)m的值;(Ⅲ)若點(diǎn),在y軸正半軸上是否存在點(diǎn)B滿足,若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.參考答案:(Ⅰ)由已知,即,
∴∥.又∵、有公共點(diǎn)A,
∴A、B、C三點(diǎn)共線.
……………4分(Ⅱ)依題意,=(cosx,0),
∴f(x)=
=(cosx-m)2+1-m2.
……………6分
∵x∈,∴cosx∈[0,1].
當(dāng)m<0時,cosx=0時,f(x)取得最小值1,與已知相矛盾;
當(dāng)0≤m≤1時,cosx=m時,f(
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