第二章第一節(jié)函數(shù)的概念與性質(09年9月更新)

第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)I

第一節(jié)函數(shù)的概念與性質

第一部分五年高考薈萃

2009年高考題

1.(2009全國卷I理)函數(shù)/(x)的定義域為R,若/(x+1)與/(x-l)都是奇函數(shù)，則()

Aj(x)是偶函數(shù)B.7(x)是奇函數(shù)

C./(%)=/(%+2)D./(x+3)是奇函數(shù)

答案D

解析???/(x+1)與/。一1)都是奇函數(shù)，

.?./(-x+D=-/(x+l),/(-x-l)=-/(x-l),

函數(shù)/(x)關于點(1,0),及點(—1,0)對稱，函數(shù)/(X)是周期7=2[1-(一1)]=4的周

期函數(shù)-x-l+4)=-f(x-l+4),/(-x+3)=-/(%+3),即。(尤+3)是奇函

數(shù)。故選D

2.(2009浙江理)對于正實數(shù)a,記A/。為滿足下述條件的函數(shù)/(X)構成的集合：

VX1,4€R且々>X],有一一X)</(々)一/(七)<。(工2一玉).下列結論中正確的

是()

A.若g(x)eMa2,則/(x>g(x)w此必2

B.若g(X)eMa2，且g(X)K。，則華^€加&1

g(x)而

C.若/(x)wMal，g(X)eMa2，則/(X)+g(X)e"al+a2

D.若g(x)e"a2，且%>%，則/(x)-g(x)e此?2

答案C

解析對于一。(9一玉)</(X2)-/(尤1)<a(》2-玉)，即有一a<-<a,

X2-Xj

令/(々)-/(%)=%,有一a<k<a,不妨設g(x)eMa2,即有

x2-x1

-ax<kf<%,-a2<kK<a2,因此有一名-a2<kf<a,+?2,因此有

/(x)+g(x)eMa\+a2*

cCl

3.(2009浙江文)若函數(shù)/(X)=X2+-(Q€R),則下列結論正確的是()

x

A.VawR,/(x)在(0,+00)上是增函數(shù)

B.VaeR,/(x)在(0,+8)上是減函數(shù)

C3aeR,/(x)是偶函數(shù)

D.3ae7?,/(x)是奇函數(shù)

答案C

【命題意圖】此題主要考查了全稱量詞與存在量詞的概念和基礎知識，通過對量詞的考查

結合函數(shù)的性質進行了交匯設問.

解析對于。=0時有〃x)=x2是一個偶函數(shù)

解析函數(shù)有意義，需使其定義域為{xlxwO},排除C,D,又因為

y=-——-=f—=I+F—，所以當x>0時函數(shù)為減函數(shù)，故選A.

'e2x-le2x-l

【命題立意】：本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調性等性質.本題的難

點在于給出的函數(shù)比較復雜，需要對其先變形,再在定義域內對其進行考察其余的性質.

5.(2009山東卷理)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=42,

[f(x-l)-f(x-2),x>0

則f(2009)的值為()

A.-lB.OC.lD.2

答案C

解析由已知得/(-l)=log22=l,/(0)=0,/(1)=/(0)-/(-1)=-1,

/(2)=/(1)-/(O)=-1,/(3)=/(2)-/(I)=-1-(-1)=0,

/(4)=/(3)-/(2)=0-(-1)=1,/(5)=/(4)-/(3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=0,

所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復性出現(xiàn).，所以f(2009)=f(5)=1,故選C.

【命題立意】：本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對數(shù)的運算.

6.(2009山東卷文)函數(shù)的圖像大致為().

e-e

答案A.

解析函數(shù)有意義，需使屋一0-**0,其定義域為{xlxwO},排除C,D,又因為

xx2x

e+e-e+12

y=-——-=——=1一，所以當x>0時函數(shù)為減函數(shù)，故選A.

e—ee—1e—1

【命題立意】：本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調性等性質.本題的難點

在于給出的函數(shù)比較復雜，需要對其先變形,再在定義域內對其進行考察其余的性質.

7.(2009山東卷文)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=J1O§2(4-%)，A-0,

l/(x-l)-/(x-2),x>0

則f(3)的值為()

A.-lB.-2C.lD.2

答案B

解析由已知得/(—l)=log25J(0)=k)g24=2J⑴=/(0)-/(—1)=2-1限25,

/(2)=/(D-y(0)=-log25,/(3)=/(2)-/(l)=-log25-(2-log25)=-2，故選B.

【命題立意】：本題考查對數(shù)函數(shù)的運算以及推理過程.

8.(2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)/(%),滿足了(》-4)=一/。),且在區(qū)間。2]

上是增函數(shù)，則).

A./(-25)</(ll)</(80)B./(80)</(11)</(-25)

C./(ll)</(80)</(-25)D./(-25)</(80)</(l1)

答案D

解析因為/(x)滿足/。-4)=一/。),所以/。-8)=/(x),所以函數(shù)是以8為周期的

周期函數(shù)，則/(-25)=/(-1),/(80)=/(0),/(11)=〃3),又因為/(x)在R上是奇函

數(shù)，f(0)=0,得/(80)=/(0)=0,/(-25)=/(-1)=一/⑴，而由/(x-4)=-f(x)得

/(11)=/(3)=-/(-3)=一。(1-4)=/(I)，又因為f(x)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，所以

/(D>f(0)=0,所以一/(I)<0,即/(—25)</(80)</(11),故選D.

【命題立意】：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性等性質，運用化歸的數(shù)學思想

和數(shù)形結合的思想解答問題.

9.(2009全國卷n文)函數(shù)y=，7(x<0)的反函數(shù)是()

(A)y=f(x>0)(B)y=*(x>0)

(B)y=_?(x<o)(D)y=—f(x<0)

答案B

解析本題考查反函數(shù)概念及求法，由原函數(shù)xWO可知AC錯,原函數(shù)yNO可知D錯.

10.(2009全國卷H文)函數(shù)丫=)，=108,2^的圖像()

2+x

(A)關于原點對稱(B)關于主線〉=一》對稱

(C)關于y軸對稱(D)關于直線y=x對稱

答案A

解析本題考查對數(shù)函數(shù)及對稱知識，由于定義域為(-2,2)關于原點對稱，又f(-x)=-f(x),

故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，選A。

11.(2009全國卷II文)設。=lge,b=(lge『,c=lg直■則()

(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>h>a

答案B

解析本題考查對數(shù)函數(shù)的增減性，由l>lge>0,知a>b,又c=：Ige,作商比較知c>b,選B。

12.（2009廣東卷理）若函數(shù)y=/（x）是函數(shù)），=優(yōu)（〃>0,且。01）的反函數(shù)，其圖像

經(jīng)過點(、后,。)，則/(%)=()

12

A.log2xB.log,xC.—D.x

X

22

答案B

解析/（x）=log“x，代入解得。=1，所以/（x）=log]x，選B.

22

13.（2009廣東卷理）已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）

行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為喉和心（如圖2所示）.那么對于圖中給定的％和4，

下列判斷中一定正確的是

A.在4時刻，甲車在乙車前面

B.6時刻后，甲車在乙車后面

C.在％時刻，兩車的位置相同

D.4時刻后，乙車在甲車前面

答案A

解析由圖像可知，曲線u甲比v乙在0?%、0?乙與X軸所圍成圖形面積大，則在f。、t.

時刻，甲車均在乙車前面，選A.

14.（2009安徽卷理）設a<b,函數(shù)y=（x-a）2（x-b）的圖像可能是（）

。1

f

解析y=(x-a)(3x-2a-b),由=0得x=a,x=/一-.,.當x=a時,y取極

2a+b

大值0,當犬=時y取極小值且極小值為負。故選C。

3

或當x<8時y<0,當x>6時，y〉0選C

解析可得x=a,x=b為y=(x-a)2(x-b)=0的兩個零解.

當x<a時，則x<b：./(x)<0

當a<x<8時，則/(x)<0,當x>b時，則/(x)>0.選C。

J—r~—3Y+4

16.(2009江西卷文)函數(shù)y==~士二的定義域為()

x

A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,1]

答案D

解析由|得—4Vx<0或0<xKl,故選D.

[-X2-3X+4>0

17.(2009江西卷文)已知函數(shù)/(x)是(-8,+8)上的偶函數(shù)，若對于xNO,都有

/(x+2)=/(x),且當xe[0,2)時，/(x)=log2(x+l),則/(—2008)+/(2009)的

值為()

A.—2B.-1C.1D.2

答案C

解析/(-2008)+/(2009)=/(0)+/(I)=log；+log；=1,故選C.

18.（2009江西卷文）如圖所示，一質點P（x,y）在xOy平面上沿曲線運動,

速度大小不變，其在x軸上的投影點。（x,0）的運動速度丫=丫?）的圖象

o\_2U,0)*

大致為（）

解析由圖可知，當質點P(x,y)在兩個封閉曲線上運動時，投影點。(x,0)的速度先

由正到0、到負數(shù)，再到0,到正，故A錯誤；質點尸(x,y)在終點的速度是由大到小

接近0,故。錯誤；質點P(x,y)在開始時沿直線運動，故投影點。(x,O)的速度為常

數(shù)，因此C是錯誤的，故選8.

19.(2009江西卷理)函數(shù)y=”(x+l)的定義域為()

"V—x2—3x+4

A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

x+l>0x>—1

解析由=>-1<x<1.故選C

—x?—3x+4>0-4<x<1

20.(2009江西卷理)設函數(shù)f(x)=?&+—x+c(〃<0)的定義域為。,若所有點

(sJQ))(sjeD)構成一個正方形區(qū)域，則a的值為)

A.-2B.-4C.—8D.不能確定

答案B

b2—4ac

，Ia1=2y[-a，a=-4,選B

解析1網(wǎng)一々l=/max(X)，

a2

——4x+6,x"°則不等式/(X)〉/⑴的解集是()

21.(2009天津卷文)設函數(shù)/(x)=<

x+6,x<0

A.(—3,1)。(3,+oo)B.(-3,1)52,+8)

C.(-1,1)u(3,+oo)D.(-o),—3)51,3)

答案A

解析由己知，函數(shù)先增后減再增

當xNO,/(%)>2/(1)=3-^/(%)=3,

解得x=l,x=3。

當x<0,x+6=3,x=-3

故/(x)>/(l)=3,解得-3<x<l或x>3

【考點定位】本試題考查分段函數(shù)的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。

22.(2009天津卷文)設函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù)為f'(x),且2f(x)+xf5(x)>x?,x下面的不等式

在R內恒成立的是()

A./(x)>0B./(x)<0C./(x)>xD./(x)<x

答案A

解析由已知，首先令x=0,排除B,Do然后結合已知條件排除C,得到A

【考點定位】本試題考察了導數(shù)來解決函數(shù)單調性的運用。通過分析解析式的特點，考查

了分析問題和解決問題的能力。

23.(2009湖北卷理)設a為非零實數(shù)，函數(shù)y=匕竺(xeR,且的反曲激是()

1+QXa

A、y=~——(xG--)B>y=1+*(x./?,且xw-?)

1+axaI-axa

1i丫1_y

C>y=-----------(xwR,且"1)D、y=---------(XER,且了。-1)

"a(l-x)a(l+x)

答案D

解析由原函數(shù)是y=匕竺(xeR,且xw—'),從中解得

l+axa

xwR,且yW-1)即原函數(shù)的反函數(shù)是x=上上一(yeR,且y關-1),搬

a(l+y)a(l+y)

擇D

24..(2009湖北卷理)設球的半徑為時間r的函數(shù)R(f)。若球的體積以均勻速度c增長，則球

的表面積的增長速度與球半徑()

A.成正比，比例系數(shù)為CB.成正比，比例系數(shù)為2c

C.成反比，比例系數(shù)為CD.成反比，比例系數(shù)為2c

答案D

解析由題意可知球的體積為則⑺必會("⑺，由此可

4%R(f),而球的表面積為S(f)=4乃R2⑺,

R⑴R'⑴

所以%=S'(f)=4〃/?2(f)=8%RQ)R'(f),

即丫表=腕根中(f)2x4萬RQ)R(f)———R⑴工,故選

表R(t)R(r)R(t)

25.(2009四川卷文)已知函數(shù)/(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意

實數(shù)x都有

va+l)=(l+x)/(x),則的值是)

15

A.0B.—C.1D.一

22

答案A

1.4-r1

解析若xHO,則有〃x+l)=——/(X),取^=一一，則有：

x2

尺)="一1+1)="4-4=-尺)(??〃)是偶函數(shù),則

2

/(-1)=/(1))由此得/(g)=0于是

,3,1

1-1——1H——

/(I)=+1)=jD=學中嗎=5/(卞=0

22

b

26.(2009福建卷理)函數(shù)/。)=狽+以+。5*0)的圖象關于直線》=——對稱。據(jù)此

2a

可推測，對任意的非零實數(shù)a,b,c,m,n,p,關于x的方程m+〃")+p=0

的解集都不可能是)

A.{1,2}B{1,4}C{1,2,3,4}D{1,4,16,64)

答案D

解析本題用特例法解決簡潔快速，對方程m[f(x)]2+n")+P=0中m,n,p分別

賦值求出/(x)代入/(x)=O求出檢驗即得.

27.(2009遼寧卷文)已知偶函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+8)單調增加，則滿足/(2x-l)V/(；)

的x取值范圍是()

12121212

(A)(---)B.r-)C.-)Dr.-)

33332323

答案A

解析由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)=f(lxl)

...得f(l2x-ll)<f(-),再根據(jù)f(x)的單調性

3

11?

得解得士<x<一

333

28.(2009寧夏海南卷理)用min{a,b,c}表示a,b,c三個數(shù)中的最小值()

設f(x)=min{,x+2,10-x)(x>0),則f(x)的最大值為

(A)4(B)5(C)6(D)7

答案C

29.(2009陜西卷文)函數(shù)/(x)=J，Z(xN4)的反函數(shù)為()

(A)ru)4-+4(^o)B/(x)=9+4心2)

(C)/-'(X)=1X2+2(X>0)(D)f-'(x)=^x2+2(x>2)

答案D

解析令原式y(tǒng)=/(x)=J2x-4(x22)則=2x-4,即x=『+4=乙+2

22

故/T(x)=gx2+2(xZ2)故選D.

30.(2009陜西卷文)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：對任意的玉,工2e[0,+oo)(X1，

有)(々)二/?(%)〈0.則()

々一七

(A)/(3)</(-2</⑴B./C1)</(-2</(3)

C./(-2<加1)<f(3)D./⑶</(I)</(-2

答案A

解析由(x,—%)(/(》2)-/(占))〉0等價，于J(——區(qū)>0則/(X)在

x,,x2e(-00,0](玉HX2)上單調遞增，又/(x)是偶函數(shù)，故/(x)在

司,々e(0,Ko](x產(chǎn)&)單調遞減?且滿足〃eN*時，/(—2)=/(2),3>2>1>0,得

f(3)<f(-2</(1),故選A.

31.(2009陜西卷理)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：對任意

的和馬€(-8,0](%3/),有(》2-石)(/(%2)-/(%))>0.

則當〃eN*時，有)

(A)/(—〃)</(〃-1)</(〃+1)B./(?-1)</(-?)</(?+1)

C.C./(n+1)</(-?)</(?-1)D./(/i+1)</(?-1)</(-?)

答案C

解析:x],x2e(-00,01(%)x2)=>(x2-X1)(/(x2)-/(X]))>0

o々>X|時，底為增酗1)u>/(x)(-oo,0]

/(x)為偶函數(shù)卷/為喊豳激8]

而n+l>n>nT>0,;./(〃+1)</(〃)</(〃-1)=>/(?+1)<f(一〃)</(//—1)

32.（2009四川卷文）已知函數(shù)/（x）是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意

實數(shù)x都有燈'(X+1)=(1+x)/(x),則/(2)的值是()

15

A.0B.-C.1D.-

22

答案A

解析若xWO,則有/(尤+1)=一/(x),取工=—L則有：

x2

1-1

/(1)=/(-1+1)=—=-/(^)(；/(X)是偶函數(shù)，則

2

"-；）=/（；））

由此得/（；）=0于是，

"3"1

W）=/D=4M）爭|）爭—》嗎=5嗎）=。

22

33.（2。。9湖北卷文）函數(shù)戶盤八七且"小的反函數(shù)是（）

Al+2x._01、Dl-2x.n口1、

A.y=----(xGR,且xw—)B.y=-----(xe.R,且x工—)

1-2x21+2x2

C.y=1+"(xGR,且xw1)D.y=—~~—(xeR,且x。-1)

2(1—x)2(1+x)

答案D

解析可反解得*=」一.故/i(x)且可得原函數(shù)中yGR、yW-1所以

2(1+j)2(14-x)

1—x

(X)-----------且x￡R、xW-l選D

2(1+x)

X

34.（2009湖南卷理）如圖1,當參數(shù)丸=4時，連續(xù)函數(shù)、=-----（%>0）的圖像分別對應

1+Ax

曲線G和。2,則)

Ao<4<2Bo</i<4

c4<4<oD4<4<0

答案B

解析解析由條件中的函數(shù)是分式無理型函數(shù)，先由函

數(shù)在（0,+8）是連續(xù)的，可知參數(shù)4>0,否>0,即排除c,D項，又取x=l,知對應函

數(shù)值為由圖可知M<%,所以4>4,即選B項。

35.（2009湖南卷理）設函數(shù)y=/（x）在（-8,+8）內有定義。對于給定的正數(shù)K,定義函

數(shù))

/(%),/(%)</r

￡（幻=<

K,f(x)>K

取函數(shù)/（x）=2-x-1。若對任意的xe（+8,—8）,恒有A（x）=〃x）,則（）

A.K的最大值為2B.K的最小值為2

C.K的最大值為1D.K的最小值為1

答案D

解析由/'(》)=1一6-*=0,知苫=0,所以xw(-oo,0)時，f'(x)>0,當xw(0,+oo)

時，尸（幻<0,械/。）3=/（0）=1,即/（口的值域是（一叫1],而要使4。）=/（X）

在R上恒成立，結合條件分別取不同的K值，可得D符合，此時A（x）=/（x）。故選D

項。

x2+4%,x>0

36.（2009天津卷理）已知函數(shù)/（X）=?若/(2-a2)>/⑷,則實數(shù)a

4x-x2,x<0

的取值范圍是)

A(—oo,—1)LJ(2,4-00)B(—1,2)C(-2,1)D(—%—2)51,+8)

【考點定位】本小題考查分段函數(shù)的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。

解析：由題知f(x)在K上是增函數(shù)，由題得2-。2>a,解得一2<。<1,故選擇C。

37.(2009四川卷理)已知函數(shù)/(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意

實數(shù)x都有#(x+l)=(l+x)/(x),則/(/§))的值是()

15

A.OB.-C.lD.-

22

【考點定位】本小題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值之賦值法，綜合題。(同文12)

答案A

/(0)=0

X+1

由4(%+i)=(i+x)/a)得/(x+i)=——/(X),所以

X

53

/(|)=f/(|)===0n/(/(|))=/(0)=0,故選擇A。

22

1

38.(2009福建卷文)下列函數(shù)中，與函數(shù)y忑有相同定義域的是)

Bj(x)W

A./(x)=InxC./(x)=1xID./(x)=ex

答案A

解析解析由可得定義域是x>0J(x)=lnx的定義域x>0；/(刈=工的定

\IXX

義域是X70;/0)=1》1的定義域是工€忙了(%)=6"定義域是犬6/?。故選A.

39.(2009福建卷文)定義在R上的偶函數(shù)/(x)的部分圖像如右圖所示，則在(-2,0)上,

下列函數(shù)中與/(x)的單調性不同的是

()

A.y=x2+1

B.y=1x1+1

f2x+l,x>0

c.=i

y］［x3+l,x<0

e\x>o

D.y=<

e'\x<Q

答案c

解析解析根據(jù)偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反，故可知求在(-2,0)上單調

遞減，注意到要與/(x)的單調性不同，故所求的函數(shù)在(-2,0)上應單調遞增。而函數(shù)

y=x2+1在(-oo,l］上遞減；函數(shù)y=+l在(-oo,0］時單調遞減；函數(shù)

y=\q在(-8,0］上單調遞減，理由如下y，=3x2>0(xv0),故函數(shù)單調遞增，

'/+1,"0

e',x>Q

顯然符合題意；而函數(shù)y，有y'=-e-x<0(x<0),故其在(-8,0］上單調遞減,

elYO

不符合題意，綜上選C。

40.(2009重慶卷文)把函數(shù)/。)=/一3》的圖像G向右平移M個單位長度，再向下平移

v個單位長度后得到圖像若對任意的〃>0，曲線G與G至多只有一個交點，則v

的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析根據(jù)題意曲線C的解析式為y=(x-“)3—3(x-%則方程

(x—“)3—3(x—w)—v-X’—3x,即(“3—3w+v)<0>即—“，+3M對任意

4

lala

?>?恒成立，于是uN——“3+3〃的最大值，令g(〃)=一一“3+3〃(〃>0),則

44

33

">。g(Q)=—2〃2+3=一己(〃—2)3+2)由此知函數(shù)g(〃)在(0,2)上為增函數(shù)，

44

在(2,+8)上為減函數(shù)，所以當“=2時，函數(shù)g(〃)取最大值，即為4,于是丫24。

41.(2009重慶卷理)若/(x)=m，+a是奇函數(shù)，貝ija=.

一1

答案一

2

12X

解析解法1/(一口二尸)+“=匚9+見/卜冷=一/5)

Tir_i

=>-----+Q=-(r-----+4)=>2o。=-------------=1故。=—

1-2V2'-l1-2X1-2X2

42(2009上海卷文)函數(shù)f(x)=x3+l的反函數(shù)f\x)=.

答案y/x-l

解析由y=x3+l,得x=47二將y改成x,x改成y可得答案。

3”x<1

44(2009北京文)已知函數(shù)={''若/(x)=2,則1=____________.

-x,x>1,

答案10g32

解析本題主要考查分段函數(shù)和簡單的已知函數(shù)值求X的值.屬于基礎知識、基本運算的

考查.

[x<1[x>1_*

由4=>x=log,2,<無解，故應填log?2.

3r=2-x=2=>x=-2

一,x<0

45.(2009北京理)若函數(shù)/(x)=\X則不等式I/(x)?j的解集為

(1r,x>o

答案[-3,1]

解析本題主要考查分段函數(shù)和簡單絕對值不等式的解法.屬于基礎知識、基本運算

的考查.

x<0

(1)由I/(x)?1n<1111=>-3<x<0.

3P-3

\>0x>0

(2)由(!丫

2:卻

...不等式l/(x)lNg的解集為｛xl—3Sx41｝，，應填

Js-1

46.(2009江蘇卷)已知a=+一，函數(shù)/(%)=",若實數(shù)〃？、〃滿足/(加)〉/(〃),

則機、〃的大小關系為.

解析考查指數(shù)函數(shù)的單調性。

a=舊21e(0,1),函數(shù)/(x)=a*在R上遞減。由得：m<n

47.(2009山東卷理)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x),滿足/(%-4)=一/5),且在區(qū)間［0,2］

上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間［-8,8］上有四個不同的根玉,馬，工3，，則

答案-8

解析因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足/。-4)=一/(外,所以70-4)=/(—》),所以,

由/(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于直線x=2對稱且/(0)=0,由“X-4)=-/(x)知

/(x-8)=/(x),所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因為/(x)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù),

所以/(x)在區(qū)間［-2,0］上也是增函數(shù).如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間［-8,8］上有

四個不同的根西,工2，工3，工4,不妨設罰<4由對稱性知X［+々=-12/+X4=4

所以X］+X2+X3+X4=—12+4=—8

【命題立意】：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，單調性,

對稱性，周期性，以及由函數(shù)圖象解答方程問題，

運用數(shù)形結合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題.

14.(2009四川卷文)設丫是已知平面M上所有向量的集合，對于映射/Wf

記。的象為若映射V滿足：對所有a、beV及任意實數(shù)都有

f(Aa+〃b)=M(a)+〃f(b),則/稱為平面M上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：

①設/是平面M上的線性變換，a、beV,則/(a+/?)=/(“)+/3)

②若e是平面M上的單位向量，對awV,設/(a)=a+e,則/是平面M上的線性變

換；

③對匕設7(a)=—a,則/是平面M上的線性變換；

④設了是平面”上的線性變換，aeV,則對任意實數(shù)人均有/(妨)=4(。)。

其中的真命題是(寫出所有真命題的編號)

答案①③④

解析①：令幾=〃=1,則f(a+b)=/(a)+f(b)故①是真命題

同理，④：令/l=A,〃=O,則/(版)=4/'(a)故④是真命題

③：：f(a)=-a,則有f(b)--b

/(/h+/切=-(Aa+^)=A-(-a)+"b)=Af(a)+?(b)是線性變換，故③是

真命題

②：由/(a)=a+e,則有/(b)=b+e

f(Aa+曲)-(Aa+/.ib)+e=4?(a+e)+〃?(8+e)-e="(a)+//(/?)-e

：e是單位向量，e#0,故②是假命題

【備考提示】本小題主要考查函數(shù)，對應及高等數(shù)學線性變換的相關知識，試題立意新

穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學閱讀能力，具有選拔性質。

48.(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)

已知二次函數(shù)y=g(x)的導函數(shù)的圖像與直線y=2x平行，且y=g(x)在x=-l處取

得最小值m-l(mw0).設函數(shù)/(x)=叢立

X

(1)若曲線y=f(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為J5,求m的值

(2)eR)如何取值時，函數(shù)y=/(x)-依存在零點，并求出零點.

解(1)設g(x)=ax2+bx+c,貝ijg'(x)=2ax+/?；

又g'(x)的圖像與直線y=2x平行2a=2a=l

又g(x)在工=-1取極小值，一3=一1,b=2

:,g(-l)=a-0+c=l-2+c=〃?-l,c=m；

/(x)=^^=x+E+2,設P(x°?)

(V2____

貝=片+(九一2)2=x：+x0+—=2片+4+2227^+2

\xoJ%

/.2d2m2+2=4m—±-^-；

2

(2)由y=/(x)-爪=(1-%)/+—+2=0,

得(l-k)x2+2x+m=0(*)

當左=1時，方程(*)有一解1=一,，函數(shù)y=/(x)-履有一零點1二一萬；

當女H1時，方程(*)有二解oA=4—4機(1—%)>0,若〃?>0,k>l一一，

m

函數(shù)y=/(x)—區(qū)有兩個零點X=-2±?(；4；：F=)±.苫-“)；了卬

k<「,函數(shù)y=/(x)_下有兩個零點X=-2±44-刎1/=打1??(上吆);

m'7