3剛體力學(xué)基礎(chǔ)

第三章剛體力學(xué)根底2剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)在外力作用下形狀和大小不發(fā)生變化的物體剛體內(nèi)任意一條直線總是平行運(yùn)動(dòng)剛體剛體的平動(dòng)剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡完全相同3剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體繞固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)即轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)4描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體可選取垂直于轉(zhuǎn)軸的一個(gè)平面進(jìn)行研究xo?Pr

點(diǎn)P的轉(zhuǎn)動(dòng)可代表整個(gè)剛體描述點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng):角坐標(biāo)

(t)角速度一般規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正>0

方向用右手法那么確定5角加速度

角量與線量的關(guān)系瞬時(shí)速率切向加速度法向加速度考慮方向關(guān)系后：瞬時(shí)速度6一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng).開始時(shí)它的角速度0=0,經(jīng)過300秒后,角速度=18000轉(zhuǎn)/分.其角加速度與時(shí)間成正比.問在這段時(shí)間內(nèi),轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)?解:=Ct即:或d

=Ctdt積分:得:由條件t=300s時(shí)角速度為再由:積分在0~300s內(nèi),轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)=3104轉(zhuǎn)得例3.17力矩設(shè)力f

的作用線位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，其與轉(zhuǎn)軸的距離d

即為力f

對(duì)該轉(zhuǎn)軸的力臂力的大小與力臂的乘積，叫做力f

對(duì)該轉(zhuǎn)軸的力矩M矢量表示OPf

rd8

一對(duì)內(nèi)力對(duì)任意轉(zhuǎn)軸的力矩r1F1F2r2成對(duì)內(nèi)力大小相等，方向相反其力臂必相同，故力矩大小相等d一對(duì)內(nèi)力對(duì)任意轉(zhuǎn)軸的合力矩為零多個(gè)外力作用于質(zhì)點(diǎn)系上時(shí)

9OPFifi

i

i轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體轉(zhuǎn)軸為O對(duì)任意質(zhì)點(diǎn)P，受外力Fi

和內(nèi)力fi在切向方向，有：同乘ri外力力矩內(nèi)力力矩對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和〔內(nèi)力合力矩為0〕10剛體在外力矩作用下，獲得的角加速度的大小與合外力矩的大小呈正比，和剛體對(duì)給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量呈反比，角加速度的方向和合外力矩的方向相同。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度對(duì)分立質(zhì)量系統(tǒng)〔質(zhì)點(diǎn)系〕11對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中

、

、

分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度12一質(zhì)量為m,長為l的均勻長棒.求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:建立如圖坐標(biāo)系xO在x處取長為dx的質(zhì)元dxx如果轉(zhuǎn)軸在棒的一端呢?xO例3.213求質(zhì)量為m,半徑為R的細(xì)圓環(huán)或勻質(zhì)圓盤繞通過中心并與圓面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解:細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量可認(rèn)為全部集中在半徑為R的圓周上,故或?qū)蛸|(zhì)圓盤:rdr在r處取寬為dr的細(xì)圓環(huán)設(shè)質(zhì)量面密度為細(xì)圓的面積為:dS=2rdr那么dm=dS=2rdr與質(zhì)量分布有關(guān).例3.314llRRRR1R215與剛體質(zhì)量分布有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)JC是剛體通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量d是質(zhì)心轉(zhuǎn)軸到另一平行軸的距離dC如長為l的直棒通過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為那么通過一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理16如下圖，質(zhì)量為m的滑塊A放在光滑斜面上，通過定滑輪C由不可伸長的輕繩與質(zhì)量同為m的物體B相連。定滑輪C是一質(zhì)量為m、半徑為R的圓盤。物體運(yùn)動(dòng)過程中，繩與輪之間沒有相對(duì)滑動(dòng)。求繩中的張力T1、T2及物體的加速度a?！不嗈D(zhuǎn)軸光滑〕例3.217解:物體受力分析如下:mgN不計(jì)繩的質(zhì)量,T1=T′1,T2=T′2對(duì)A:T'1－mgsin

=maA

(1)對(duì)B:mg-T'2=m

aB

(2)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)C:RT2–RT1

=J

(3)T2T1mgT'2mgNAT'1

又

aA=aB=R

(4)且聯(lián)立求解得18飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，t=0時(shí)角速度為0.此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過程，阻力矩M=?K2(k為常量〕,當(dāng)=0/3時(shí)，飛輪的角加速度為多少，從開始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間為多少？解(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律即把=0/3代入上式，有(2)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律的微分形式別離變量并積分解得:例3.319O細(xì)桿長為l,質(zhì)量為m,求轉(zhuǎn)到

角時(shí)的角加速度和角速度.

解:GN

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量利用有l(wèi)積分:例3.41920力矩的功和功率OPF

dsd

元功r總功功率當(dāng)力矩與角速度同方向時(shí)，功和功率為正值，此力矩為動(dòng)力矩當(dāng)力矩與角速度反方向時(shí)，功和功率為負(fù)值，此力矩為阻力矩21轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體上任一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能總和即為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能對(duì)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體合外力矩的功22合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能定理剛體的合內(nèi)力矩為0，其功也為0對(duì)非剛體來說，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)有變化，內(nèi)力或內(nèi)力矩的功可能不為0，此時(shí)需用系統(tǒng)的動(dòng)能定理進(jìn)行具體的分析。系統(tǒng)的機(jī)械能包括系統(tǒng)勢(shì)能，系統(tǒng)內(nèi)各物體的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。機(jī)械能守恒定律仍適用。23如圖,一根質(zhì)量為m,長為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，今使棒從水平位置開始自由下擺，求擺到與水平成30

角時(shí)，求中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度N解：重力矩為由轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理mgOA?C

重力矩的功為而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為解得那么例3.524質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量Oxyz?mrv

d定義質(zhì)點(diǎn)

m對(duì)點(diǎn)

O的角動(dòng)量大小L=mvr

sin

方向?yàn)橛沂株P(guān)系

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量是對(duì)參考點(diǎn)O而言的角動(dòng)量大小可以表達(dá)為mvd對(duì)于做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其對(duì)圓心O的角動(dòng)量大小為L=rmv=mr2

25質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

26質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)O的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為恒矢量。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)只受有心力作用時(shí)，其角動(dòng)量不隨時(shí)間變化，即角動(dòng)量守恒。

27v2

BAOl0lMmv0如圖,子彈擊中木塊并嵌在木塊內(nèi)運(yùn)動(dòng)。解:擊中瞬間,v0方向動(dòng)量守恒AB過程，子彈、木塊系統(tǒng)機(jī)械能守恒AB過程，水平面內(nèi)角動(dòng)量守恒聯(lián)立求解:v1例3.628討論圓錐擺的角動(dòng)量守恒問題(1)質(zhì)點(diǎn)m對(duì)圓心O和懸點(diǎn)B的角動(dòng)量,(2)重力和張力對(duì)O和B的力矩,(3)角動(dòng)量是否守恒？解:(1)對(duì)O點(diǎn)mvro大小L0=r0mvsin90=r0mv=mr2

對(duì)BrBBOlLB=l·mvsin90

=mlr(2)力矩mg重力矩大小:Mg=r0mg拉力矩MT=r0Tcos=r0mg對(duì)O點(diǎn)對(duì)B點(diǎn)MT=0,Mg=r0mg(3)對(duì)O點(diǎn)角動(dòng)量守恒，對(duì)B點(diǎn)不守恒T

例3.729剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩質(zhì)點(diǎn)所受力矩剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量考慮到剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)內(nèi)力合力矩為0，那么作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。當(dāng)J

為恒量時(shí)30

作用在物體上的沖量矩等于物體角動(dòng)量的增量角動(dòng)量定理剛體的角動(dòng)量守恒定律

假設(shè)物體所受外力合力矩為零，或者不受外力矩作用,物體的角動(dòng)量保持不變——角動(dòng)量守恒定律。

31一長為l、質(zhì)量為m

的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為m、速率為v的子彈射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為a處,使桿的偏轉(zhuǎn)角為30o.問子彈的初速率為多少?m'Olva解：把子彈和桿作為一個(gè)系統(tǒng),碰撞過程中系統(tǒng)所受外力矩為零,角動(dòng)量守恒碰后子彈、桿和地系統(tǒng)，機(jī)械能守恒聯(lián)立兩式得m例3.832質(zhì)量m,長為l的均勻細(xì)棒，在水平位置釋放，棒下擺到豎直位置時(shí)，與靜止的質(zhì)量為M的物塊作完全彈性碰撞，物塊在水平面上向右滑行一段距離s后停止，設(shè)摩擦系數(shù)為

，求證：解此題可分解為三個(gè)過程(1)下擺過程，機(jī)械能守恒(2)碰撞過程角動(dòng)量守恒同時(shí)機(jī)械