共線向量與共面向量

共線向量與共面向量宣漢縣第二中學(xué)主講者杜林課件說案5/8/20241共線向量與共面向量.一、回憶引入1，空間向量：具有大小，方向的量；

（向量兩要素）2，相等向量：根據(jù)向量的兩要素判定幾個向量是否相等；也叫同一向量。長方體及平行六面體中有一些相等向量3，運(yùn)算律：加法交換律（點(diǎn)乘也適用）

即：

·

=·加法結(jié)合律（點(diǎn)乘不適用）數(shù)乘分配律(點(diǎn)乘分配律也適用)即：·(±)=·±·

5/8/20242共線向量與共面向量.二、有關(guān)概念：1，共線向量：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或為平行向量(說明：平行向量與直線的平行是有區(qū)別的)

符號：“∥”例如：右圖中三線段互相平行，則有：∥∥讀作：,,是共線向量。2，對共線向量的理解：

（1）提問：你能想到空間內(nèi)的共線向量所在直線的位置關(guān)系有哪些？（2）注重平面內(nèi)的共線向量向空間內(nèi)的共線向量轉(zhuǎn)化：主要是直線位置擺放的變化（怎么認(rèn)識？）5/8/20243共線向量與共面向量.問題提示：

（1）觀察圖示：

圖1

圖2

圖1中：共線向量所在直線互相平行；

圖2中：與是共線向量，它們所在直線重合。

(性質(zhì)：共線向量的方向：相同或相反)

（2）說出圖3長方體中：共線向量有哪些？例：與成共線向量所在的棱有：CD，A1B1，C1D1與成共線向量所在的對角線有：

（3）理解：與任意向量成共線向量。

AABCDA1

B1

C1

D1

圖3·ACBB1D15/8/20244共線向量與共面向量.三、共線向量定理：1，TH內(nèi)容：對空間任意兩個向量，（≠），有：∥存在實數(shù)λ（λ∈R），使得：=λ成立.證明：∵∥即、為共線向量∴與方向要么相同，要么相反不妨取：││∶││=μ∴方向相同時：=μ=λ方向相反時：=－μ=λ若=λ（λ∈R）成立則：由數(shù)乘向量定義知，與共線

λ>0；λ=0時，與任意向量共線λ<05/8/20245共線向量與共面向量.2，判定兩向量共線的方法有：共線向量定義及定理（共兩種方法），要素為：定義：線段平行或重合；

定理：一向量是另一向量的λ倍。3，作用：可判定多點(diǎn)共線；直線平行等。

推論：點(diǎn)A∈l，l平行于向量(≠)所在直線，有：點(diǎn)P在直線l上存在實數(shù)t，使得：=+t(其中點(diǎn)O為空間任意一點(diǎn))分析：=+t可轉(zhuǎn)化為：－=t即為：=t

翻譯為：點(diǎn)P在直線l上=t證明：（易）OAPl5/8/20246共線向量與共面向量.推論：點(diǎn)A∈l，l平行于向量(≠)所在直線，有：

點(diǎn)P在直線l上存在實數(shù)t，使得：

=+t(其中點(diǎn)O為空間任意一點(diǎn))證明：∵點(diǎn)P在直線l上，而l平行于所在線∴線AP=線l（A∈l）∴∥即有：=t(t∈R)而=－∴=+t(點(diǎn)O為空間任一點(diǎn))以上證明過程可逆（到=t時，有：AP與所在線重合或平行）（過線外一點(diǎn)僅一條線與已知線平行）

OAPl5/8/20247共線向量與共面向量.練習(xí)1：如圖網(wǎng)格中，定出點(diǎn)P、Q、R、S，以滿足：（1）=+2+2作向量：2+2（2）=－3－2作向量：3+2（3）=+3－2作向量：3－2（4）=+2－3作向量：2－3規(guī)律：①保持向量不動；②平移后兩式運(yùn)算結(jié)果的向量，以滿足加法或減法ABCPQRSO5/8/20248共線向量與共面向量.練習(xí)2，（1）下列正確的命題是（）A若與共線，與共線，則與共線B當(dāng)=t時，則和所在線確定一個面C零向量沒有確定的方向D若//時，則存在唯一數(shù)λ，使得=λ（2）空間四邊形OABC中，點(diǎn)E在線段OA上，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，OE=2EA，若=，=，=；則用、、表示為（3）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，則:、、是（）A有相同起點(diǎn)的向量；B等長的向量C可以放到同一個平面的向量D不能放入同一個平面的向量OABCEFABCDC1B1D1A1CD5/8/20249共線向量與共面向量.作業(yè)(第一課時)：1，課本9.5節(jié)第1題2，同步練習(xí)相應(yīng)題型5/8/202410共線向量與共面向量.四，回憶引入：1，作業(yè)中的問題：有的學(xué)生作業(yè)中不畫圖；有的過程較略或者只有答案（僅少數(shù)）；講評后的作業(yè)沒有更正。2，共線定理：∥存在實數(shù)λ（λ∈R），使得：=λ成立（≠）

推論：點(diǎn)A∈l，l平行于向量(≠)所在直線，有：點(diǎn)P在直線l上存在實數(shù)t，使得：=+t(其中點(diǎn)O為空間任意一點(diǎn))

3，定理及推論作用：可證明多點(diǎn)共線，判定線平行，向量共線,線段中點(diǎn)等。

OAPL5/8/202411共線向量與共面向量.五，共面向量：1，觀察圖示：注意向量所在線與平面位置關(guān)系

圖示1中：所在線a//面α；所在線b

面α圖示2中：所在線b

面β;、所在線c、m∥β提問：這兒、、、與相應(yīng)平面滿足什么關(guān)系呢？記作：∥面α，∥面α；、∥β，∥β2，定義：平行于同一平面的向量叫共面向量。（共面向量是針對多個向量來說的）上圖2中，、、是一組共面向量；當(dāng)然圖1中也是。提問：對“平行”是怎么理解的？α圖1β圖2平行5/8/202412共線向量與共面向量.3，“平行”意義：

向量與面平行要素：向量所在線與面平行或在面內(nèi)例：ABCD為

,點(diǎn)E、F為線段OA、OB中點(diǎn)，有：∥面AC，∥面BD

4，“共面向量”理解：要素為：①針對多個向量來談（任意兩個向量是共面向量）；②這多個向量都平行于同一個面（這個面要去找）例：右圖平行六面體中，找出共面向量

是共面向量；是共面向量；是共面向量。ABCDC1B1D1A1ABCDOEF5/8/202413共線向量與共面向量.六，共面向量定理：1，TH內(nèi)容：兩向量、不共線，有：與、共面存在實數(shù)x、y，滿足：=x+y證明：∵是共面向量

∴可把向量有向線段起點(diǎn)移到一起,補(bǔ)全為平行四邊形

∴由平面向量基本定理有：存在x、y∈R,滿足=x+y

∵存在x、y∈R，使得：=x+y∴不妨作=x，=y；補(bǔ)全為平行四邊形，有：=∴由MACB表示面，即有：∥面AB∴是共面向量。MABC5/8/202414共線向量與共面向量.2，判定三個向量共面方法：共面向量定義和定理（兩種判定方法），要素為：定義法：這多個向量與同一平面平行；

定理判定：一向量是另外兩個向量的線性組合3，作用：判定向量、四點(diǎn)共面，向量間計算等

推論：點(diǎn)P在面MAB內(nèi)存在x、y∈R，滿足：=x+y或=+x+y(O為任一點(diǎn))分析：點(diǎn)P已在平面MAB內(nèi)，必有在同一面內(nèi)

（還有在同一面內(nèi)）

則：一個是另外兩個的線性組合=x+y成立由共面向量定義及有公共點(diǎn)M即證MABP5/8/202415共線向量與共面向量.七，應(yīng)用：例：對空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，在滿足關(guān)系式：=x+y+z時，四點(diǎn)P,A,B,C是否共面？（其中：x+y+z=1）解：∵x+y+z=1∴=x+y+z=x+y+（1－x－y）∴－=x(－)+y(－)∴=x+y∴點(diǎn)C在面PAB內(nèi)，即：四點(diǎn)P,A,B,C是共面的。

規(guī)律：1，四向量有共同的起點(diǎn)2，一向量是另三向量的線性組合，且系數(shù)和為1結(jié)論：除共同的起點(diǎn)外，其余四點(diǎn)共面。七，應(yīng)用：5/8/202416共線向量與共面向量.例：已知：從

ABCD外一點(diǎn)O引向量：=k=k，=k，=k求證：（1）四點(diǎn)E、F、G、H共面；（2）面BD∥面FH證明：（1）由平行四邊形有：=－=k－k=k=k(+)=k(－+－)=－+－即=+所以，點(diǎn)E、F、G、H共面。OABCDEFGH注重方法5/8/202417共線向量與共面向量.證明：（2）想一想兩平面平行的判定方法（兩相交線與面平行或兩組相交線對應(yīng)平行）∵=－=k－k∴=k即與是共線向量而A∈線EF∴AB∥EF(而不重合)∵=－=k－k∴=k即與是共線向量而且F∈線BC∴FG∥BC(并不重合)∵AB與BC相交，EF與FG相交∴面BD∥面FHOABCDEFGH5/8/202418共線向量與共面向量.練習(xí)：1，點(diǎn)A、B、C不共線，點(diǎn)O在面ABC外，在下列條件下，點(diǎn)M,A,B,C是否共面？（1）=（++）解：由+