2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練專題01 利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)含解析

2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練專題01利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：在型求切線方程 3題型二：過型求切線方程 3題型三：已知切線斜率求參數(shù) 3題型四：確定過一點(diǎn)可以做切線條數(shù) 4題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù) 4題型六：距離問題轉(zhuǎn)化為相切問題 5題型七：公切線問題 5三、專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍1、切線的斜率：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.2、曲線的切線問題（基礎(chǔ)題）（1）在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.（2）過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)（無論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第四步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.3、已知，過點(diǎn)，可作曲線的（）條切線問題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；4、已知和存在（）條公切線問題第一步設(shè)的切點(diǎn)設(shè)的切點(diǎn)求公切線的斜率寫出并整理切線整理得：整理得：聯(lián)立已知條件消去得到關(guān)于的方程，再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；消去得到關(guān)于的方程再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；二、典型題型題型一：在型求切線方程1．（2023下·遼寧阜新·高二校考期末）已知曲線在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù).2．（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)在處的切線方程為．（結(jié)果寫成一般式）3．（2023上·上海閔行·高三?？计谥校┣€在點(diǎn)處的切線方程為．4．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中）在處的切線為，則直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)為.5．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則.題型二：過型求切線方程1．（2022·四川廣安·廣安二中?？级＃┖瘮?shù)過點(diǎn)的切線方程為（

）A． B． C．或 D．或2．（2022下·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）過原點(diǎn)與曲線相切的一條切線的方程為.4．（2023下·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)校考期中）曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，過點(diǎn)的切線方程.5．（2023下·四川綿陽·高二期末）過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為．題型三：已知切線斜率求參數(shù)1．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┤糁本€與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．0 C． D．2．（2023上·貴州六盤水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與曲線相切，則（

）A．1 B．2 C． D．3．（2023上·遼寧·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)（、）在點(diǎn)處的切線斜率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023上·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2023上·天津·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若曲線的一條切線的方程為，則.題型四：確定過一點(diǎn)可以做切線條數(shù)1．（2023上·湖北·高三鄂南高中校聯(lián)考期中）函數(shù)為上的奇函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，可作切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．不確定2．（2021下·北京·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，則曲線過點(diǎn)的切線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條3．（2021下·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)作曲線的切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條4．（2019上·四川內(nèi)江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知曲線，則過點(diǎn)可向引切線，其切線條數(shù)為（

）A． B． C． D．題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù)1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點(diǎn)可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．或2．（2023下·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)作曲線切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·校聯(lián)考二模）若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2022上·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．5．（2022上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若過點(diǎn)能作三條直線與的圖像相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六：距離問題轉(zhuǎn)化為相切問題1．（2022上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．42．（2023上·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．113．（2023下·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（

）A． B．1 C． D．題型七：公切線問題1．（2023上·湖北荊州·高三荊州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）試寫出曲線與曲線的一條公切線方程.3．（湖北省武漢市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）寫出曲線與的一條公切線方程：.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是．5．（2023上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若曲線與曲線存在2條公切線，求a的取值范圍.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C．-2 D．2．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A． B．C． D．不存在4．（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線是曲線的一條切線，則的最小值為（

）A． B． C．ln2 D．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，過點(diǎn)可作曲線的切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．8．（2023上·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B．C． D．9．（2023上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C．1 D．2二、多選題10．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．11．（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（

）A． B． C． D．12．（2023上·重慶榮昌·高三重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作三條直線與函數(shù)相切，則實(shí)數(shù)a的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、填空題13．（2024上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù).14．（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）若函數(shù)在處的切線與的圖像有三個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍．四、單空題15．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是曲線的一條切線，則.五、問答題16．（2023上·江蘇淮安·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，與有公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.專題01利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：在型求切線方程 2題型二：過型求切線方程 4題型三：已知切線斜率求參數(shù) 6題型四：確定過一點(diǎn)可以做切線條數(shù) 8題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù) 9題型六：距離問題轉(zhuǎn)化為相切問題 13題型七：公切線問題 14三、專項(xiàng)訓(xùn)練 18一、必備秘籍1、切線的斜率：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.2、曲線的切線問題（基礎(chǔ)題）（1）在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.（2）過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)（無論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第四步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.3、已知，過點(diǎn)，可作曲線的（）條切線問題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；4、已知和存在（）條公切線問題第一步設(shè)的切點(diǎn)設(shè)的切點(diǎn)求公切線的斜率寫出并整理切線整理得：整理得：聯(lián)立已知條件消去得到關(guān)于的方程，再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；消去得到關(guān)于的方程再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；二、典型題型題型一：在型求切線方程1．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┮阎€在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù).【答案】-2【詳解】因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，所以曲線在處的切線斜率為，因?yàn)榍€在處的切線與直線垂直，所以不符合題意，所以直線的斜率為，所以，所以.故答案為：.2．（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)在處的切線方程為．（結(jié)果寫成一般式）【答案】【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以在處的切線方程為，整理得，故答案為：.3．（2023上·上海閔行·高三?？计谥校┣€在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【詳解】∵，∴，則點(diǎn)即為.∵，∴切線斜率為，∴切線方程為，即.故答案為：.4．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中）在處的切線為，則直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【詳解】根據(jù)題意：函數(shù)在處有切線，切點(diǎn)為，又，故切線斜率為，直線的方程為，該直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：5．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則.【答案】/【詳解】因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，則，所以曲線在處的切線方程為，即，又切線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，解得，所以，則，解得.故答案為；.題型二：過型求切線方程1．（2022·四川廣安·廣安二中?？级＃┖瘮?shù)過點(diǎn)的切線方程為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】由題設(shè)，若切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又切線過，則，可得或，當(dāng)時(shí)，切線為；當(dāng)時(shí)，切線為，整理得.故選：C2．（2022下·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則切線斜率為，所以，所求切線方程為，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入所求切線方程可得，即，解得，因此，所求切線方程為.故選：C.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）過原點(diǎn)與曲線相切的一條切線的方程為.【答案】或或(寫出其中一條即可)【詳解】解：設(shè)曲線表示拋物線的一部分，設(shè)其切線方程為，代入，得.由，得.當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，均符合題意，所以切線方程.設(shè)的切線的切點(diǎn)為.由，得，，得切線方程為.將的坐標(biāo)代入切線方程，得，所以，所以切線方程為.故答案為：或或(寫出其中一條即可)4．（2023下·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)?？计谥校┣€在點(diǎn)處切線的斜率為，過點(diǎn)的切線方程.【答案】【詳解】設(shè)，，解得：，；當(dāng)是切點(diǎn)時(shí)，切線方程為：，即；當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則在點(diǎn)處的切線方程為：，代入點(diǎn)得：，，解得：，切點(diǎn)為，與重合，不合題意；綜上所述：切線方程為.故答案為：.5．（2023下·四川綿陽·高二期末）過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為．【答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)，且，則，①又，則切線斜率為，②由①②解得，，所以，切線的斜率為，切線方程為，即.故答案為：.題型三：已知切線斜率求參數(shù)1．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┤糁本€與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．0 C． D．【答案】A【詳解】，則，設(shè)直線l與曲線的切點(diǎn)，則直線l的斜率，由于直線斜率為，則，解得，所以，即切點(diǎn)為，故，解得．故選：A.2．（2023上·貴州六盤水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與曲線相切，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，故斜率為，則切線方程為，整理得，所以，解得.故選：B3．（2023上·遼寧·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)（、）在點(diǎn)處的切線斜率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】的定義域?yàn)镽，，又在點(diǎn)處的切線斜率為，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，“”成立，∴的最小值為.故選：C．4．（2023上·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：A5．（2023上·天津·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若曲線的一條切線的方程為，則.【答案】3【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，則，由切線方程為可得，即，解得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入切線方程可得，解得.故答案為：3題型四：確定過一點(diǎn)可以做切線條數(shù)1．（2023上·湖北·高三鄂南高中校聯(lián)考期中）函數(shù)為上的奇函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，可作切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．不確定【答案】A【詳解】，故，，，，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，整理得到，解得，，故切線方程為，故選：A2．（2021下·北京·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，則曲線過點(diǎn)的切線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【詳解】設(shè)切點(diǎn)為A，直線AP的斜率為k,則，又，，∴

又方程的判別式為，且，∴

方程有兩個(gè)不同的解，∴

曲線過點(diǎn)的切線有兩條，故選：C.3．（2021下·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)作曲線的切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【詳解】因?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.將代入，得即：或，所以，此時(shí)，切點(diǎn)為；或因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)不同的根，且根不為0，所以方程共有3個(gè)不同的根，即經(jīng)過點(diǎn)作曲線的切線有3條.故選：C.4．（2019上·四川內(nèi)江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知曲線，則過點(diǎn)可向引切線，其切線條數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)在曲線上的切點(diǎn)為，，則，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程得，即，解得，，.因此，過點(diǎn)可向引切線，有三條.故選：C.題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù)1．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點(diǎn)可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．或【答案】D【詳解】設(shè)切點(diǎn)．因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)處的切線方程為，又因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以，即.令，則與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，顯然時(shí)，，于是符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以，則，即．綜上，或．故選：D2．（2023下·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)作曲線切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，則，所以過的切線方程為，即，故有且僅有兩根，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，，，所以的圖象如下：故有且僅有兩根，則b的取值范圍為．故選：A．3．（2023·全國·校聯(lián)考二模）若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)該切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，整理得.要使過點(diǎn)的切線有3條，需方程有3個(gè)不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即過點(diǎn)的切線有3條.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B.4．（2022上·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，由可知直線的斜率為，故直線的方程為，將代入直線可得關(guān)于的方程具有兩個(gè)不相等的正數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；，當(dāng)，即時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，；故為了使方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)解，則須使.故選：B.5．（2022上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若過點(diǎn)能作三條直線與的圖像相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知：，故，設(shè)切點(diǎn)為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知切線斜率為，切線方程為,將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得化簡可得即函數(shù)與函數(shù)有三個(gè)不同的交點(diǎn).故，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.則當(dāng)時(shí)，有極小值，當(dāng)時(shí)，有極大值.所以的取值范圍為.故選：D.題型六：距離問題轉(zhuǎn)化為相切問題1．（2022上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【詳解】設(shè)與已知直線平行且與曲線相切的直線為，則，解得，所以切點(diǎn)為，代入切線方程，可得，即切線為，由兩平行線間的距離，所以最小值為，故選：C．2．（2023上·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【詳解】由，得，令，則，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；由，得，令，的圖像如下圖：

則表示上一點(diǎn)與上一點(diǎn)的距離的平方，顯然，當(dāng)過M點(diǎn)的的切線與平行時(shí)，最小，設(shè)上與平行的切線的切點(diǎn)為，由，解得，所以切點(diǎn)為，切點(diǎn)到的距離的平方為，即的最小值為8；故選：A.3．（2023下·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，令，解得1或（舍去），，此時(shí)，∴曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的最小距離.故選：A.題型七：公切線問題1．（2023上·湖北荊州·高三荊州中學(xué)校考階段練習(xí)）若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，所以公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，則公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，所以，消去，得，由，得，令，則，所以在上遞減，所以，所以由題意得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A2．（2023·全國·模擬預(yù)測）試寫出曲線與曲線的一條公切線方程.【答案】或（寫出一個(gè)即可）【詳解】設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn).由，得.由，得.令，即，則，且，即，化為，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)切線的方程為，即.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)切線的方程為，即.綜上可知，切線的方程為或，寫出任意一個(gè)即可.故答案為：或，寫出任意一個(gè)即可.3．（湖北省武漢市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）寫出曲線與的一條公切線方程：.【答案】（或）（答案不唯一）【詳解】設(shè)公切線與曲線相切的切點(diǎn)為，與曲線相切的切點(diǎn)為，由，求導(dǎo)得，由，求導(dǎo)得，于是，即有，公切線方程為，顯然該切線過點(diǎn)，因此，整理得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，公切線方程為，當(dāng)時(shí)，，公切線方程為.故答案為：4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由題可知，，，設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為，與相切的切點(diǎn)為，則有公共切線斜率為，則，，又，，可得，即有，即，可得，，設(shè)，，，可得時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，,可得處取得極大值，且為最大值，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍，故答案為：5．（2023上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若曲線與曲線存在2條公切線，求a的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在取得極大值，無極小值.（2）設(shè)曲線上切點(diǎn)，則切線斜率為，方程為，依題意，切線與曲線相切，于是方程有兩個(gè)相等的正實(shí)根，而，則，且，即有，由公切線有兩條，得關(guān)于的方程:有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此，函數(shù)的圖象如圖，觀察圖象知，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以a的取值范圍是.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C．-2 D．【答案】B【詳解】由題意知在曲線上，所以.又，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.又因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線的傾斜角為，所以切線的斜率為1.故而.由解得，所以.故選：B2．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，∴，，∴所求的切線方程為，即.故選：D3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A． B．C． D．不存在【答案】A【詳解】由切線方程可以看出其斜率是2，又曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即故選：A4．（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線是曲線的一條切線，則的最小值為（

）A． B． C．ln2 D．【答案】B【詳解】設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，由求導(dǎo)得，于是，則，，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：B5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，過點(diǎn)可作曲線的切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解法一

由，得．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，把代入可得，即，因?yàn)?，所以該方程?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故切線有2條．解法二

由，得，令，得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，且，則點(diǎn)在曲線的下方，數(shù)形結(jié)合可知，過點(diǎn)可作曲線的2條切線．故選：B6．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】由題意知，因?yàn)榕c曲線相切，所以，整理得，同理，則，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，所以．故選：.7．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象公共點(diǎn)坐標(biāo)為，求導(dǎo)得，依題意，，于是，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，，因此在中，，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故選：B8．（2023上·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】過點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，設(shè)切點(diǎn)為，則，因?yàn)椋郧芯€斜率為，由題知，解得或（舍），所以，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離，故選：B.9．（2023上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，切線方程為，將代入可得，即，依題意關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解、，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解、，．故選：A．二、多選題10．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則（

）A． B． C