高考數(shù)學導數(shù)及其應用　

導數(shù)及其應用

第n步試六題

A組新題速遞

（2015?陜西，15,易）設曲線產(chǎn)ex在點（0,1）處的切線與曲線片*>0）上點尸處的切線垂直，則尸

的坐標為.

【解析】設P（%o，歹o）（x（）>O），

由、=廿，得_/=爐，

?'-/k-o=1-

由y=:,得了=

「.Xo=1或Xo=-1（舍去）,

.1,

??泗=[=1，

???點產(chǎn)的坐標為（1,1）.

【答案】（1,1）

B組經(jīng)典回顧

1.(2011?江西，4,易)若/(x)=7—2x—41nx,則/(x)>0的解集為(

A.(0,+°°)B.(-1,0)U(2,+00)

C.(2,+8)D.(-1,0)

【答案】C7U）的定義域為（0,+°°）,

解得一1<X<O或x>2,

所以/，（x）>0的解集為（2,+8）.

2.（2011?大綱全國，8,中）曲線y=e-2JH在點（0,2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的

面積為（

A.|B.；C.|D.

【答案】A；/=一2b2”,.?.曲線在點（0,2）處的切線斜率左=一2,.?.切線方程為歹=-2%+2,

該直線與直線y=0和》=x圍成的三角形如圖所示,

(22、12I

其中直線y=-2x+2與y=x的交點心，于，所以三角形面積S=]X1X]=],故選A.

3.(2012?廣東，12,易)曲線y=x3—x+3在點(],3)處的切線方程為.

【解析】=在點(1,3)處的切線斜率左=2,由點斜式方程，得切線方程為y-3=

2(x-1),即2x-y+1=0.

【答案】2x-y-\-1=0

4.(2014?廣東，10,易)曲線y=e-x+2在點(0,3)處的切線方程為.

5x

【解析】'.'y'=-5e~,-'-k=y'[x.o=-5,故所求切線方程為y-3=-5x,即5x+y-3=0.

【答案】5x+y-3=0

5.(2014?江蘇，11,中)在平面直角坐標系xQy中，若曲線歹="2+§s，。為常數(shù))過點P(2,—5),

且該曲線在點P處的切線與直線7x+2》+3=0平行，則a+b的值是.

【解析】因為曲線歹=af+§過點PQ,-5),所以4a+，=-5.①

6b7

又y=2ax-7,且曲線在點P(2,-5)處的切線與直線7x+2y+3=0平行，所以44-1=-].②

a=-\,

由①②解得，所以a+b=-3.

(b=-2.

【答案】-3

Inr

6.(2013?北京，18,13分，中)設￡為曲線C：丁=一；在點(1,0)處的切線.

(1)求L的方程；

(2)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線L的下方.

解：⑴設危)=乎，則/(x)=l芳

所以切線的斜率4=/(1)=1,所以L的方程為歹=x-1.

(2)證明：令g(x)=x-1則除切點之外，曲線。在直線L的下方等價于g(x)〉0(Vx〉0,x*l).

x2-]+Inx

g(x)滿足g(l)=o,且g'(x)=1-f(x)='

當0<x<1時，x2-1<0,lnx<0,

所以g'(x)<0,故g(x)單調(diào)遞減；

當x〉l時，x2-1>0,lnx>0,

所以g'(x)〉0，故g(x)單調(diào)遞增.

所以，g(x)>g(l)=0(Vx〉0,x*1).

所以除切點之外，曲線C在直線L的下方.

籠?花J理能&

考向1導數(shù)的運算

1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

原函數(shù)導函數(shù)

./(%)=C(C為常數(shù))f(x)=Q

Xx)=x°(aeQ*)f(x)=ax(i

f(x)=sinxff(x)=cosx

/(x)=cosxf(x)=—sinx

Ax)=axf(x)=/Ina(〃>0)

J(x)=e'fW=ex

/(x)=lo氐x/0)—xlna(">°'旦"D

，(：

7(x)=lnxx)=

2.運算法則

(1)導數(shù)的運算法則

①伏X)土g(切'=/(x)土g'(x)；

②[/(x)-ga)T=/(x)g(x)+/(x)g'(x);

f(x),f(x)g(x)-f(x)g'(x)

(g(x)WO).

3[g(x)]2

(2)復合函數(shù)的求導法則

y=/(M(X))的導數(shù)為y'x=yw.U，X.

4注意

(1)分析清楚復合函數(shù)的復合關系，確定出內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)，適當選定中間變量，由外向內(nèi)逐層求導,

做到不重不漏.

(2)特別要注意的是中間變量的系數(shù)，避免出現(xiàn)(cos2x)，=-sin2x的錯誤.

□E9EIE11(1)(2014?大綱全國，7)曲線y=xe'T在點(1,1)處切線的斜率等于()

A.2eB.eC.2D.1

(2)(2015?浙江溫州高三月考，5)已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)〃x),且滿足/(x)=2切⑴+lnx,則/'(1)=()

A.-eB.-1C.1D.e

(3)(2013?江西，13)設函數(shù)加)在(0,+8)內(nèi)可導，且人芳)=%+爐，則/(1)=.

【解析】⑴?.？=-e、T+Ty=(1+x)e、1

???曲線在點(1,1)處的切線斜率為y|x-i=2.故選c.

(2)V/(x)=2x/，(D+lnx,

：.f(x)=[2x/，(l)]，+(lnx),=2/(l)+p

???/(1)=MD+1,即/⑴=-1.

⑶令f=e、，故x=lnf,??#)=ln/+f,即/(x)=Inx+x,」./(x)=：+1,：,f(1)=2.

【答案】(1)C(2)B(3)2

【點撥】解題(2)時注意弄清八1)為常數(shù)而非變量；解題(3)時先換元求解析式，然后再求導.

歷四國囹?qū)?shù)運算的原則和方法

(1)原則：先化簡解析式，再求導.

(2)方法:

①連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導；

②分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；

③對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導；

④根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)毒的形式，再求導；

⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導；

⑥復合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導.

4注意

要牢記導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則，切忌記混公式法則.

國國B3E3(2015?江西九江月考，15)給出定義：若函數(shù)7(x)在。上可導，即/(x)存在，且導數(shù)/(x)在

。上也可導，則稱/(x)在。上存在二階導數(shù)，記為/'(x)=/(x)Y，若/"(x)<0在。上恒成立，則稱/(x)在。

上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在(0,高上是凸函數(shù)的是(把你認為正確的序號都填上).

@/(x)=sinx+cosx；?/(x)=lnx-2x；

(§y(x)=-J?+2x—1；④/(x)=xe±

【解析】由①知，/(x)=cosx-sinx,

則f'(x)=-sinx-cosx

=-啦5畝(》+3<0在區(qū)間(0,總上恒成立；由②知，了(x)=q-2(x>0),則/<x)=-}<0在區(qū)間

(0,總上恒成立；由③知，/(x)=-3x2+2,則/<x)=-6x<0在區(qū)間(0,3上恒成立.故①②③中的

函數(shù)為凸函數(shù).由④知，/(x)=eFe—(x)=2efeKx+2)>0在區(qū)間(0,①上恒成立，故④中

的函數(shù)不是凸函數(shù).

【答案】①②③

考向2導數(shù)的幾何意義及其應用

導數(shù)的幾何意義

函數(shù)/(X)在X=Xo處的導數(shù)/的)的兒何意義是在曲線y=/(x)上點P(x0,/(Xo))處的切線的斜率(瞬時速

度就是位移函數(shù)s(f)對時間，的導數(shù)).相應地，切線方程為y—/(xo)=/"(xo)-(x—xo).

?注意

“過某點”與“在某點''的區(qū)別:曲線.=於)“在點尸(如泗)處的切線”與“過點尸(如州)的切線”

的區(qū)別：前者P(xo，州)為切點，而后者P(xo，州)不一定為切點.

□0EI02⑴(2014?課標H,8)設曲線y=ax—ln(x+l)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()

A.0B.1C.2D.3

(2)(2015?山東威海質(zhì)檢,7)已知函數(shù)5x)=xlnx,若直線/過點(0,-1),并且與曲線)=危)相切,

則直線/的方程為()

A.x+y—1=0B.x—y-1=0

C.x+y+l=0D.x—y+l=0

(3)(2014?江西，13)若曲線歹=。'上點P處的切線平行于直線2x+y+l=0,則點P的坐標是.

4

(4)(2015?河南鄭州模擬，12)已知點P在曲線y=n上，。為曲線在點尸處的切線的傾斜角，則a

的取值范圍是.

【解析】(l)y=a-由題意得川x=0=2,即a-1=2,=3.

(2)VA(0,-1)不在曲線/)=xlnx上,

.,.設切點為(%0,歹01

州=xolnx(),

又'."'(x)=1+lnx,--J/、

尻+1=(1+lnx0)孫

解得xo=1，%=o.

，切點為(1,0),.-.f(1)=1+ln1=1.

直線/的方程為丁=x-1,即x-y-1=0.故選B.

(3)設P(xo，州)，'-'y=e'x,'''y,=-e-*,

???點P處的切線斜率為左=-e-%o=-2,

-xo=In2,.*.xo=~In2,

.??y()=eln2=2,...點P的坐標為(Tn2,2).

4

(4)"Rp

?20'."+*2,

-9-yf€[-1,0),.*-tana6[-1,0).

「37T、

又a￡[0,n),a€nI.

【答案】(1)D(2)B(3)(-ln2,2)(4)[手，n)

【點撥】解題(1)時注意弄清點(0,0)在曲線上；解題(2)時注意弄清過曲線“在某點”和“過某點”

的曲線的切線的區(qū)別；解題(3)的關鍵是弄清曲線在點尸處的導數(shù)與直線斜率之間的關系；解題(4)時注意

正切函數(shù)在0,y)U[j-,兀)的圖象與其正切值之間的對應關系.

國圖3囹與導數(shù)幾何意義有關問題的常見類型及解題

策略

(1)已知切點求切線方程.解決此類問題的步驟為：

①求出函數(shù)歹=〃)在點x=xo處的導數(shù)，即曲線歹=/(x)在點尸(X0,加)))處切線的斜率；

②由點斜式求得切線方程為y—yo=f(xo)?(x-xo).

(2)已知斜率求切點：已知斜率左，求切點(修，/(xi)),即解方程八處)=左.

(3)求切線傾斜角的取值范圍：先求導數(shù)的取值范圍，即確定切線斜率的取值范圍，然后利用正切函

數(shù)的單調(diào)性解決.

國圖01包(2015?河北石家莊一模，14)已知點尸為曲線C：y=x2+2x+3上的點，且曲線C在點P

JI

處切線傾斜角的取值范圍為［o,彳J則點P橫坐標的取值范圍是.

【解析】設P(x(),州)，尸點處切線傾斜角為a,貝4OWtanaWl,

由J［x}=x2+2x+3,得/(x)=2x+2,

令OW2%o+2W1,得-1Wxo<-2,

【答案】［—1,—3

第?步JI過楨擬4

I.(2015?江西贛州高三期末，5)已知，為實數(shù)，/(》)=(小一4)G一。且/(—1)=0,則f等于()

A.0B.-1C.1D.2

【答案】C依題意得，f(x)=2x(x——4)=3x2—2tx—4,(-1)=3+2/—4=0,即t

=亍

2.(2014?河南平頂山模擬，8)點P是曲線f-y—lnx=0上的任意一點，則點P到直線y=x—2的

最小距離為()

A.1B.坐C.9D.啦

【答案】D將d—y—lnx=O變形為y=x2—lnx(x>0),則y=2x—±令_/=1,則x=l或x=-g

(舍)，可知函數(shù)y=7一］nx的斜率為1的切線的切點橫坐標為x=l,縱坐標為少=1.故切線方程為x—y

|0+2|

=0.則點尸到直線丁二》一2的最小距離即切線方程x—y=0與y=x—2的兩平行線間的距離,d=L"=

啦.

方法點撥：解答本題的關鍵是將點到直線的最小距離轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離.

3.(2015?云南昆明一中調(diào)研，9)若曲線/(x)=acosx與曲線g(x)=/+bx+1在交點(0,⑼處有公切

線，則a+b=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C依題意得，f(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,于是有/(0)=g'(0),即一asin0=2X0

+b,故b=0,又有加=/(0)=g(0),則加=a=l,因此a+b=l,選C.

4.(2015?山西大同質(zhì)檢，7)已知a為常數(shù)，若曲線^="2+3]一Inx存在與直線x+y—1=0垂直的

切線，則實數(shù)。的取值范圍是()

A[T+°°]-1

C.[-1,+°°)D.(-8,-I]

1、

【答案】A由題意知曲線上存在某點的導數(shù)為1,所以_/=2依+3—j=1有正根，即2-+2x

—1=0有正根.當時，顯然滿足題意；當。<0時，需滿足/20,解得一.綜上，心-今

5.(2015?山東濟寧二模，6)若曲線y=/+Hnx(a>0)上任意一點處的切線斜率為上若后的最小值為

4,則此時該切點的坐標為()

A.(1,1)B.(2,3)

C.(3,1)D.(1,4)

【答案】Ayuf+alnx的定義域為(0,+°°),由導數(shù)的兒何意義知_/=2x+f22，五=4,即a

=2,當且僅當x=l時等號成立，代入曲線方程得y=l,故所求的切點坐標是(1,1).

6.(2015?河南新鄉(xiāng)質(zhì)檢，12)過點Z(2,1)作曲線3》的切線最多有()

A.3條B.2條C.1條D.0條

【答案】A由題意得，/(x)=3f—3,設切點為(xo,焉一3的)，那么切線的斜率為k=3xl-3,

利用點斜式方程可知切線方程為丁一(近一3xo)=(3焉一3)(x-xo)，將點N(2,1)代入可得關于xo的一元三次

方程2xW—6焉+5=0.令y=2xj—6xj+5,則_/=6/一12x().由_/=0得x()=0或劭=2.當x()=0時，y=5>0；

xo=2時，丁=一3<0.所以方程2近一6/+5=0有3個解.故過點4(2,1)作曲線/(x)=/—3x的切線最多

有3條，故選A.

方法點撥：曲線y=/(x)過點(X0,/)(點不在曲線丁=?0上)的切線方程的求解步驟：

⑴設出切點坐標P'(X|,./(%,))；

(2)寫出過Pg/(xi))的切線方程為y-/(xi)=/(%i)-(x-xi);

(3)將點P的坐標(xo,")代入切線方程，求出為；

(4)將xi的值代入方程丁-?叫)=/(xi)(x-xi)可得過點P(xo，州)的切線方程.

7.(2015?廣東惠州質(zhì)檢，11)曲線歹=一5爐+3在點(0,—2)處的切線方程為.

【解析】由_y=-5e'+3得，y'=-5ev,所以切線的斜率左=_/|門()=~5,所以切線方程為y+2

=-5(x-0),即5x+y+2=0.

【答案】5x+y+2=0

8.(2014?湖北武漢三模，14)已知曲線段)=x〃+i(〃CN*)與直線x=l交于點P,設曲線y=/(x)在點P

處的切線與X軸交點的橫坐標為X",則log20l$Xl+log20l5X2H--------Hog20132014的值為.

【解析】/(x)=(M+l)xn,左=/(1)=〃+1,點P(l,1)處的切線方程為y-1=(〃+1)。-1),令y=0,

12320132014]

XXXXX=5

一為,.......^20i4=234-"201420152015

貝,Jlog201/1+log201K2+",+log2015X2014=10g2015(Xl?X2............014)=log2015y-1-

【答案】-1

9.(2015?河北唐山一中月考，20,12分)已知函數(shù)/(》)=。？+3/—6依一11,g(x)=37+6x+12和直

線〃?：y=kx+9,且/'(—1)=0.

(1)求a的值；

(2)是否存在A,使直線加既是曲線歹=/(x)的切線，又是曲線〉=g(x)的切線？如果存在，求出％的值;

如果不存在，請說明理由.

解：⑴由已知得尸(x)=3ax2+6x-6a,

(-1)=0,.,.3a-6-6a=0,?"=-2.

(2)存在.由已知得，直線加恒過定點(0,9),若直線機是曲線y=g(x)的切線，則設切點為(xo,3君+

6xo+12).

?；g'(xo)=6x()+6,

切線方程為y-(3%o+6xo+12)=(6祀+6)(x-劭),

將(0,9)代入切線方程，解得的=土L

當M=-1時，切線方程為歹=9;

當配=1時，切線方程為y=\2x+9.

由(1)知"c)=-2/+3x2+12x-11,

①由/(x)=0得一6d+6x+12=0,解得x=-1或x=2.

在x=-1處，y=/(x)的切線方程為》=-18;

在x=2處，y=/(x)的切線方程為y=9,

=危)與y=g(x)的公切線是y=9.

②由/(x)=12得-6f+6x+12=12,

解■得x=0或x=1.

在x=0處，y=/(x)的切線方程為y=12x-11；

在x=l處，y=/(x)的切線方程為y=12x-10,

=/(x)與y=g(x)的公切線不是y=12x+9.

綜上所述，y=y(x)與y=g(x)的公切線是y=9,此時斤=0.

導數(shù)的應用

第n步試真題

A組新題速遞

1.(2015?課標II,12,難)設函數(shù)F(x)是奇函數(shù)f(x)(xdR)的導函數(shù)，<-1)=0,當x>0時，xf(x)

-/(x)<0,則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-8,-l)U(0,1)B.(-1,0)U(L+8)

C.(-8,-1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+8)

【答案】A設力(x)/二.???/(x)是奇函數(shù)，

?；/(—x)=-/(X)，

/'(—x)f(x)

h[-X)-———----=/i(x).

."(X)是偶函數(shù).

??W(X)一危)<0，

M(X)一于(x)

：.h'(x)=

，〃(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，在(一8,0)上為增函數(shù)，且0(±1)=0,如圖所示,

可知滿足於)>0的x的取值范圍是(-8,-l)U(0,1).

思路點撥：構(gòu)造函數(shù)〃⑴=2■廣，并判斷其奇偶性和單調(diào)性，最后數(shù)形結(jié)合求解不等式.

2.(2015?課標I,12,難)設函數(shù)|x)=e'(2x—1)—ax+a,其中"1,若存在唯一的整數(shù)刈使得/的)<0,

則。的取值范圍是()

A[T，1)B[一宏,0

C島4)D島1)

【答案】D設g(x)=e"(2x-1),y=ox-4,由題意知存在唯一的整數(shù)x(),使得g(x())在直線y=ox

—a的下方.因為g(x)=e*(2x+l),所以當x<—g時，g'(x)<0；當x>—T時，g'(x)>0.所以當x=一

1■時，[g(x)]min=-2e—I；當x=0時，g(0)=-1；當x=l時g(l)=e>0.又直線y=ax—a恒過點(1,0)

且斜率為a,故一a>g(0)=-1,且g(—1)=-3/12—a—a,

3

解得WWaVl,故選D.

3.(2015?山東,21,14分,難)設函數(shù)/(x)=ln(x+l)+a(x2—x),其中aWR.

(1)討論函數(shù)/(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；

(2)若Vx>0,大幻20成立，求a的取值范圍.

解：(1)由題意知，函數(shù)/(X)的定義域為(-1,+°°),/(x)=+a(2x-1)=----,

令g(x)=2ax2+ax-a+1,x€(-1,+°°).

(i)當“=0時，g(x)=1,此時/(x)>0,函數(shù)次x)在(-1,+8)單調(diào)遞增，無極值點；

(ii)當“〉0時，A=a2-8a(1—a)=a(9a~8).

Q

①當0<aW§時，1W0,g(x)>0,

f(x)20,函數(shù)/(x)在(-1,+8)單調(diào)遞增，無極值點；

8

②當時，/〉0,

設方程+QX-Q+1=0的兩根為X2(X\<X2)>

因為X]+&=-g，

也，11

所以Xj<>2>一不

由g(-l)=l>0,可得-1<修<-/

所以當xd(-l,X1)時，g(x)>0,f(x)>0,函數(shù)/)單調(diào)遞增；

當xegM)時，g(x)<0,f(x)<0,函數(shù)人X)單調(diào)遞減；

當Xd(X2，+8)時，g(x)>0,f(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)有兩個極值點.

(iii)當。<0時，/〉0,

由g(-l)=l〉O,可得修<-1,

當xC(-1,必)時,g(x)>0,f(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當xe(X2，+8)時，g(x)<0,f(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)有一個極值點.

綜上所述，

當a<0時，函數(shù)/(X)有一個極值點；

Q

當OWaWd時，函數(shù)“X)無極值點；

V

8

當a〉g時，函數(shù)人x)有兩個極值點.

⑵由(1)知，

Q

(i)當OWaWg時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.因為/(0)=0,

所以x￡(0,+8)時，火幻〉0,符合題意；

Q

(ii)當時，由g(0)20,得X2<0,

所以函數(shù)段)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又40)=0,所以xd(0,+8)時，火幻〉0,符合題意;

(iii)當a>l時，由g(0)<0,可得也>0.

所以x6(0,也)時，函數(shù)/(X)單調(diào)遞減；

因為<0)=0,

所以xe(0,切)時，段)<0,不合題意；

(iv)當&<0時，iZh(x)=x-ln(x+1).

]X

因為X￡(0,+8)時，hf(x)=1=^y〉0,

所以〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因此當x￡(0,+8)時，〃(工)〉〃(0)=0,

即ln(x+l)<x.

可得/(x)<x+々(x2-%)=ax2+(1~a)x.

1

當x〉1一/時，ax0+(1-a)x<0.

此時./(x)<0,不合題意.

綜上所述，4的取值范圍是[0,1].

4.(2015?課標H,21,12分，難)設函數(shù)/(x)=e""+d一加x.

(1)證明:左)在(—8,0)單調(diào)遞減,在(0,+8)單調(diào)遞增;

(2)若對于任意xi，%2G[-1]?都有/(X2)|We—1,求機的取值范圍.

解：⑴證明：/'(X)=Me""-1)+2%.

mx

若〃??0,則當xd(-8,0)時，e-KO,f(x)<0；

當xe(O,+8)時，e^-1^0,f(x)>0.

若加<0,則當xW(-8,o)時，e,,u-l>0,/(x)<0;

mv

當xC(O,+8)時，e-l<0,f(x)>0.

所以，_/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.

⑵由(1)知，對任意的孫危)在[-1,0]單調(diào)遞減，在[0,1]單調(diào)遞增，故危)在x=0處取得最小值.所

1/(1)~f(0)We~1,

以對于任意修，X2e[-1,1],]/(xi)-y(X2)|We-1的充要條件是，/八,

(-1)-/(0)We-1,

em-mWe-1,

即<.①

,e+We-1.

設函數(shù)g(t)=e'-1-e+1,

則g")=e'-L

當Z<0時，g'(z)<0;

當Z>0時，g'(r)>0.

故g(。在(-8，0)單調(diào)遞減，在(0，+8)單調(diào)遞增-

又g(l)=O,g(-1)=e1+2-e<0,

故當ZG[-1,1]時，g(f)WO.

當加e[-i,1]時，g(m)WO,g(-/M)WO,即①式成立；

當"?>1時，由g⑺的單調(diào)性得，g(⑼>0,即e"-/n>e-l;

當機<-1時，g(-7?)>0,^l7e+m>e-1.

綜上，加的取值范圍是[-1,1].

5.(2015?課標I,21,12分，難)已知函數(shù)危)=/+狽+；,g(x)=—Inx.

(1)當。為何值時，x軸為曲線_y=/(x)的切線；

(2)用min(加，〃)表示加，〃中的最小值，設函數(shù)〃(x)=min(/(x),g(x)}(x>0),討論〃(x)零點的個數(shù).

31

xo+axo+w=O,

解：(l)f'(x)=3x2+a.設曲線y=/(x)與x軸相切于點(如0),則汽沏)=0,f(x())=0,解

3%o+a=0.

解得xo=1,a=

3

因此，當〃=-^時，x軸為曲線y=y(x)的切線.

(2)當xC(l,+8)時，g(x)=-lnx<0,從而//(x)=min{/(x),g(x)}Wg(x)〈0,故/?(x)在(1,+8)無零

點.

當x=1時，若-永則/(1)=a+1^0,A(l)=min{/(l),g(l)}=g(l)=0,故x=1是〃(x)的零點.若

a<則//(1)=min{/(l),g(l)}=/(1)<0,故x=1不是力(x)的零點.

當x￡(0,1)時，g(x)=-lnx>0.所以只需考慮小)在(0,1)的零點個數(shù).

(i)若aW-3或心0,則/(x)=3d+a在(0,1)無零點，故人x)在(0,1)單調(diào).而X0)=/川)=a

+所以當aW-3時，/(x)在(0,1)有一個零點；當“20時，危)在(0,1)沒有零點.

(ii)若-330,則危)在0,單調(diào)遞減，在1單調(diào)遞增，故在(0,1)中，當?shù)?

1

時,兀取得最小值,最小值為f

04-

3

①若/>0,即-不5<0,?r)在(0,1)無零點；

3

②若/，即4=-不則網(wǎng)在(0,1)有唯一零點；

31553

③若/<0,即-3<?<一不由于火。)=不用)=。+不所以當-彳<。<-^時，")在(0,1)有

兩個零點；當-3<aW-^時，{x)在(0,1)有一個零點.

35a=-.時，〃有兩個零點；當-^<a<

綜上，當1或時，〃(X)有一個零點；當4=(x)

3

一^時，人(x)有三個零點.

6.(2015?安徽，21,13分，難)設函數(shù)/(》)=》2—依+4

(1)討論函數(shù)次sinx)在(一方，雪內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值;

(2)id/o(x)=x2—aox+ho,求函數(shù),(sinx)—/°(sinx)|在一方，"上的最大值。；

(3)在(2)中，取的=%=0,求z=b一^?滿足條件。<1時的最大值.

解：(l)/(sinx)=sin2x-^zsinx+b

..7T7T

=sinx(sinx-a)+h,-~^<x<

7T7T

[/(sinx)]f=(2sinx-a)cosx,-~^<x<

因為一所以cosx〉0,-2<2sinx<2.

①當aW-2,66R時，函數(shù)/(sinx)在1-三，多內(nèi)單調(diào)遞增，無極值；

②當。22,6ER時，函數(shù)Hsinx)在[-/,?內(nèi)單調(diào)遞減，無極值；

③對于-2<。<2,在(-★?內(nèi)存在唯一的劭，使得2sinxo=a,

7T

當-E<xWx()時，函數(shù)/(sinx)單調(diào)遞減；

7T

當x()Wx<E時，函數(shù)/(sinx)單調(diào)遞增，

因此，-2<a<2,b￡R時，函數(shù)/(sinx)在沏處有極小值/(sinxo)=/。=力一生

.nIT,

⑵當一了W、<3■時，

]/(sinx)-/o(sinx)|=|(劭-〃)sinx+h-Z?o|^|^_〃o|+\h-6o|,

當3o-a)(6-瓦)20時，取工=:~,等號成立；

當(劭一a)(6-d)<0時，取工=一丁，等號成立.

7TJT

由此可知，/(sinx)-%(sinx)|在-5~,立■上的最大值為。=|a-a+/-瓦|.

2

(3)。<1即為同+|加1,此時OW/WI,-1W6W1,從而z=b%〈l.

2

取a=0,b=\,則|a|+向W1,并且z=b-上=1.

2

由此可知，z=b-會滿足條件1的最大值為1.

B組經(jīng)典回顧

1.(2013?浙江，8,中)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設函數(shù)/)=?—1)。-1)/=1,2),則()

A.當左=1時，於)在x=l處取到極小值

B.當％=1時，/(x)在x=l處取到極大值

C.當后=2時，段)在x=l處取到極小值

D.當k=2時，/(x)在x=l處取到極大值

【答案】C當左=1時，4)=(一-1)。-1),/。)=疣'-1,/⑴W0,故A,B錯；當左=2時，

J(x)=(e'—1)(x—1)2,f(x)=(x2—l)eA—2x+2=(x—l)[(x+l)ev—2],故/(x)=0有一根為修=1,另一根

X2e(0,1).當X@(X2，1)時，/'(x)VO,/(x)遞減；當x￡(l,+8)時，/，(幻>0,/(X)遞增，.?./(X)在工

=1處取得極小值，故選C.

2.(2012?重慶，8,中)設函數(shù)段)在R上可導，其導函數(shù)為/'(x),且函數(shù)y=(l—x)/(x)的圖象如

圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()

A.函數(shù)/(X)有極大值/(2)和極小值/⑴II1'

B.函數(shù)/(x)有極大值/(—2)和極小值/(I)A"

C.函數(shù).危)有極大值人2)和極小值近-2)M'

D.函數(shù)人冷有極大值火一2)和極小值人2)

【答案】D①當x<—2時，1-x>0.

V(l-x/(x)>0,

：.f(x)>0,即於)在(一8,一2)上是增函數(shù).

②當一2<%<1時，1—x>0.

V(l-x)/f(x)<0,

：.f(x)<0,即貝x)在(-2,1)上是減函數(shù).

③當l<x<2時，l—x<0.

V(l-x)r(x)>0,：.f(x)<0,

即/(x)在(1,2)上是減函數(shù).

④當x>2時，1-x<0.

V(l-x/(x)<0,

：.f(x)>0,即加)在(2,+8)上是增函數(shù).

綜上，/(一2)為極大值，/(2)為極小值.

3.(2014陜西，10,中)如圖,某飛行器在4千米高空水平飛行,從距著陸點幺的水平距離10千米

處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()

y

.2

:'、、...............5.

-5OX：*

-2地面跑道

133c24

A?片國-尹B.y=^x3-尹

3

C.>>=Y|^X3—xD.j^=-j|^x+'1x

177

【答案】A根據(jù)題意，知所求函數(shù)在（一5,5）上單調(diào)遞減.對于A,歹=臺2

一|=總（刀2—25）,二\。金（一5,5）,y'<0,，y=Wx3一1x在（一5,5）內(nèi)為減函數(shù)，同理可驗證B,C,

D均不滿足此條件，故選A.

4.（2014?課標I,11,難）已知函數(shù)/（》）=公3—3/+1,若/（x）存在唯一的零點刈，且x0>0,則。的

取值范圍是（）

A.（2,+8）B.（1,+00）

C.（-8,-2）D.（—8,-1）

2

【答案】C方法一：由已知可知?！?「./（幻=362—6x,令/（x）=0,得x=0或x=7

①當。>0時，函數(shù)人x）在（-8,0）上單調(diào)遞增，在（0,|）上單調(diào)遞減，在（1,十8）上單調(diào)遞增，且

./（0）=1>0,故/（X）有小于0的零點，不合題意.

②當。<0時，函數(shù)/（X）在（一8,力上單調(diào)遞減，在停0）上單調(diào)遞增，在（0,+8）上單調(diào)遞減，要

使xo>O且唯一，只需b0，即d>4,故選C.

方法二：fr（x）=3ax2—6x,

2

當Q=3時，/（X）=9X-6X=3X（3X-2）9

則當（—8,0）時，吐（力>0；x￡（0,|）時，/（x）<0；x4|,+8）時，/（》）>0,注意火0）=1,

不符合題意，排除A,B.

當a=—§時，，(x)=—4/—6x

——2x(2x+3),

則當xG(—8,一|)時，f(x)<0,xe(-|，0)時，/(x)>0,xF(0,+8)時，f(x)<0,注意/(0)

=1,/(一|)=—今則大x)的大致圖象如圖所示.

不符合題意，排除D.

5.(2014?課標H,12,難)設函數(shù)/)=#5由《不若存在火x)的極值點祀滿足/+[/(xo)]2(加2,則加

的取值范圍是()

A.(一8,—6)U(6,+°°)B.(-8,-4)U(4,+°0)

C.(-8,-2)U(2,+°°)D.(-8,-1)U(1,+8)

【答案】Cr(x)=G^cos費，

由題意知，存在/(X)的極值點刈，

則有fg)=木之cos詈=0,

JiXon

即—-=^~+kJi,k，

m2

m

則XO=5+6H,左￡Z.

22

又xo滿足xo+[/(xo)]<w,

即（5+而）+h「sin亍31<m2,左GZ,

；?（相上+?+黃sin.n+?I<m,kGZ,

即加2（4+'+3<m\Z：EZ.

（1辛/w2—3

Vzn^O,????十寸Vf-，kGZ.

又???存在X0滿足/+[/(?")]2V加2,即存在kWZ滿足上式,

2

?加J3.m

??m2—><92/，??m-3〉才4，

/.機2>4,/.m>2或m<—2,故選C.

6.(2013?重慶，17,13分，中)設/(x)=a(x—5)2+61nx,其中a?R,曲線夕=/(x)在點(1,/(I))處的

切線與N軸相交于點(0,6).

(1)確定。的值；

(2)求函數(shù)大刈的單調(diào)區(qū)間與極值.

解：⑴因為/(x)=a(x-5)2+61nx,

故/(X)=2a(x-5)+p

令x=l,得-1)=16。，/(1)=6-8a,所以曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線方程為y-16a=(6-

8a)(x-1).由點(0,6)在切線上可得6-16a=8a-6,故a=；.

(2)由(1)知，/(x)=；(x-5)2+61nx(x>0),

"/6(x-2)(x-3)

f(x)=x-5+-=------------------------

令/(x)=0，解得xi=2,X2=3.

當0<x<2或x>3時，/(x)>0,故7(x)在(0,2),(3,+8)上為增函數(shù)；當2<x<3時，f(x)<0,故

/(x)在(2,3)上為減函數(shù).

9

由此可知，/)在x=2處取得極大值義2)=]+61n2,在x=3處取得極小值<3)=2+61n3.

7.(2014?山東，20,13分，難)設函數(shù)/(x)=%—d|+lnx｝左為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底

數(shù)).

(1)當％W0時，求函數(shù)段)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點，求人的取值范圍.

解：(1)函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+8),

xex一2eAk(x_2)(x_2)(eA-Ax)

=X3—X2=X3.

由awo可得爐一h>0,

所以當x￡(0,2)時，/(x)<0,函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞減;

當xd(2,+8)時，/(%)>0,函數(shù)歹=y(x)單調(diào)遞增.

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為Q,+°°).

(2)由(1)知，攵<0時，函數(shù)/(X)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，

故4c)在(0,2)內(nèi)不存在極值點；

當人>0時，設函數(shù)g(x)=e*-Ax,x€[0,+°°).

因為g\x)=ex-k=ex-e'nk,

當時，

當xe(0,2)時，g'(x)=ex-k>Q,y=g(x)單調(diào)遞增.

故/(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個極值點.

當k>\時,

得xG(0,In左)時，g'(x)<0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減;

x€(Ink,+8)時，g'(x)>0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)y=g(x)的最小值為g(lnk)=^(1-Ink).

函數(shù)/(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,

〃g(0)>0,

g(In左)<0,

當且僅當，

g(2)>0,

<0<lnk<2.

解得e<%<.

綜上所述，函數(shù)Hx)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點時，4的取值范圍為

8.(2014?課標H,21,12分，難)已知函數(shù)/(》)=百一「“一2》.

⑴討論/(X)的單調(diào)性；

⑵設g(x)=/(2x)—4/(x),當x>0時，g(x)>0,求b的最大值;

(3)已知1.4142〈啦<1.4143,估計In2的近似值(精確到0.001).

解：(l*(x)=eX+eT-220,等號當且僅當x=0時成立.

所以/(X)在(-8,+8)上單調(diào)遞增.

(2)g(x)=/(2x)-4"(x)

=e2v-e2x_4b,(e*-ex)+(8b-4)x,

g,(x)=2[e2r+ea_2b(e，+e~x)+(4b-2)]

=2(ex+ex-2)(ev+ex-2b+2).

①當bW2時，g'(x)>0,等號當且僅當x=0時成立，

所以g(x)在(-8,+8)單調(diào)遞增，而g(0)=0,所以對任意x>0,g(x)>0.

②當b>2時，若x滿足2<e'+er<2b-2,即0<x<ln(b-1+聲-21)時,g'(x)<0.而g(