第22講++微帶線理論

一介質(zhì)格林函數(shù)法耦合帶狀線耦合微帶第14講微帶線理論14微帶線理論一、Green函數(shù)的基本概念1.函數(shù)函數(shù)是廣義函數(shù)(24-1)(24-3)(24-2)一介質(zhì)格林函數(shù)法(Ⅰ)DielectricGreen’sFunctionMethod函數(shù)有各種物理解釋，其中之一是“概率論”中必然事件的概率密度。2.Green函數(shù)

Green函數(shù)解決一類普遍問題，不僅是電磁場(chǎng)，而且在力學(xué)、流體、空氣動(dòng)力諸方面都有應(yīng)用，其問題提法是：復(fù)雜區(qū)域V，在內(nèi)部有任意源g，已知場(chǎng)u服從

(24-4)一、Green函數(shù)的基本概念圖24-2(x)函數(shù)一、Green函數(shù)的基本概念圖24-3Green函數(shù)法一、Green函數(shù)的基本概念(a)算子方程問題(b)Green函數(shù)問題對(duì)于(r/r')特殊源所對(duì)應(yīng)的是Green函數(shù)，有(24-5)為了普遍化，我們把函數(shù)的歸一性積分寫成(24-6)〈〉—Dirac內(nèi)積符號(hào)，表示積分或∑，注意〈〉對(duì)起作用。L對(duì)起作用，可以建立恒等式一、Green函數(shù)的基本概念(24-7)根據(jù)Operater的線性有(24-8)對(duì)比可以得到(24-9)一、Green函數(shù)的基本概念歸結(jié)出：只要求出某一類(特定支配方程和邊界條件)問題的Green函數(shù)，那么，這一類問題中任意源在點(diǎn)造成的場(chǎng)只需由和函數(shù)的廣義內(nèi)積求得。最簡單的如三維靜場(chǎng)(24-10)若簡潔寫成一、Green函數(shù)的基本概念可知對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)是(24-11)一、Green函數(shù)的基本概念從更廣義的物理方法論來理解：式(24-5)可以看成是(24-4)即原問題的伴隨問題，若令

且La=L(術(shù)語上稱之為自伴)，也即(24-12)(24-4)(24-5)按這一觀點(diǎn)一、Green函數(shù)的基本概念由于函數(shù)的特殊性質(zhì)，實(shí)際上式(24-13)可進(jìn)一步寫成(24-14)而式(24-14)正是互易定理的表達(dá)形式。(24-13)(24-9)如果問題的區(qū)域是分層媒質(zhì)，則可用鏡象法求出Green函數(shù)。采用鏡象法的基礎(chǔ)是Maxwell方程組的唯一性定理。它可以敘述為：在給定區(qū)域符合微分方程和邊界條件的解是唯一的。因此，也可以反過來說，只要符合方程和邊界條件，則這個(gè)解必定正確。所謂鏡像法，其第一要點(diǎn)是分區(qū)求解；第二要二、鏡象法點(diǎn)是在求解區(qū)域之外添加鏡象電荷代替邊界，使之符合求解區(qū)域之內(nèi)的方程及邊界條件。［例1］半無限空間導(dǎo)體前的點(diǎn)電荷(也即源)。［解］先寫出分區(qū)解和分區(qū)邊界條件支配方程(24-15)二、鏡象法邊界條件圖24-4導(dǎo)體鏡像法——分區(qū)求解

二、鏡象法其中，為導(dǎo)體面電荷。很明確：解是分區(qū)的。現(xiàn)在采用鏡像法根據(jù)圖24-5，很易看出：

(24-17)式(24-17)滿足支配方程(24-15)是顯然的。二、鏡象法下邊考察其邊界條件情況。(1)當(dāng)x=0

二、鏡象法(2)再研究導(dǎo)數(shù)條件

求解

Ⅰ時(shí)，在RegionⅡ加鏡像電荷(－q)求解

Ⅱ時(shí)，在RegionⅠ加鏡像電荷(－q)圖24-5鏡像電荷——均加在求解區(qū)域之外二、鏡象法對(duì)比邊界條件式(24-16)，易知(24-18)

為了驗(yàn)證

的面電荷密度性質(zhì)，驗(yàn)證下列積分，采用yoz的極坐標(biāo)，即dydz=rdrd

(24-19)二、鏡象法作為副產(chǎn)品易知，這種問題的Green函數(shù)于是(24-21)上面整個(gè)過程即采用鏡像法求取Green函數(shù)。二、鏡象法圖24-6yoz的極坐標(biāo)二、鏡象法二維問題的介質(zhì)Green函數(shù)的一般模型如圖24-7。在右半空間d處放一無限長線電荷，密度為。三、二維介質(zhì)Green函數(shù)圖24-7介質(zhì)鏡像法

同樣，分區(qū)域求解支配方程(24-22)

邊界條件(24-23)三、二維介質(zhì)Green函數(shù)求解Region

Ⅰ在Ⅱ假設(shè)

’求解RegionⅡ在Ⅰ假設(shè)總電荷為

’’

圖24-8介質(zhì)分區(qū)域求解

Ⅰ，

Ⅱ

三、二維介質(zhì)Green函數(shù)所有鏡像均在求解區(qū)域外。Note：·在我們假設(shè)中，兩空間均是0，當(dāng)然也可以是0

r。·求解RegionⅡ時(shí)，″實(shí)際上包括真實(shí)電荷和鏡像″－。這樣模型滿足支配方程是沒有問題的，現(xiàn)寫出

(24-24)三、二維介質(zhì)Green函數(shù)也可以改寫為(24-25)式中(24-26)三、二維介質(zhì)Green函數(shù)現(xiàn)在，讓我們考察解與邊界條件的關(guān)系。于是由函數(shù)邊界條件有(24-27)三、二維介質(zhì)Green函數(shù)

●導(dǎo)數(shù)邊界條件三、二維介質(zhì)Green函數(shù)又得到(24-28)解方程得所以，結(jié)果有三、二維介質(zhì)Green函數(shù)很明顯看出：'是負(fù)電荷，而″是正電荷(原因是

r＞1)。一介質(zhì)格林函數(shù)法(Ⅱ)DielectricGreen’sFunctionMethod圖25-1三層介質(zhì)鏡像法微帶問題介質(zhì)Green函數(shù)問題微帶問題可以采用介質(zhì)格林函數(shù)求解。微帶情況：可以看成是由空氣、介質(zhì)和導(dǎo)體三個(gè)區(qū)域。中心導(dǎo)體帶電荷q，這是由于加正壓所致，所以只需加三層介質(zhì)的Green函數(shù)即可。一、三層介質(zhì)鏡像法其中

(y－y0)是為了不確定位置，使求解Microstrip時(shí)更加方便。

(1-1)我們?nèi)匀徊捎梅謪^(qū)域求解

邊界條件x=h(25-2)

(25-3)

兩個(gè)邊界，三種model，反復(fù)迭代一、三層介質(zhì)鏡像法一、三層介質(zhì)鏡像法處理x=h邊界第一次介質(zhì)條件導(dǎo)體反對(duì)稱條件處理x=0邊界處理x=h邊界第二次介質(zhì)條件一、三層介質(zhì)鏡像法注意到在區(qū)域Ⅱ，Ⅲ不應(yīng)有真實(shí)電荷，即應(yīng)滿足Laplace方程。x=0是導(dǎo)體的奇對(duì)稱對(duì)稱軸，使

≡0；x=h是介質(zhì)對(duì)稱軸。

Case1.真實(shí)電荷+1在RegionⅠ(空氣

0)中。根據(jù)前面的討論：在求解RegionⅠ和RegionⅡ時(shí)把兩個(gè)區(qū)域都認(rèn)為充滿

0，已解出:一、三層介質(zhì)鏡像法Case2.“真實(shí)”電荷+1在RegionⅢ，也認(rèn)為全部充空氣

0

一、三層介質(zhì)鏡像法求解RegionⅡ求解RegionⅠ圖25-2+1處于RegionⅢ首先要看出：［x+(2i-1)h］和［x-(2i+1)h］對(duì)于x=h對(duì)稱，只要代入即可知2ih，－2ih距離相等。全空間(Fullspace)充滿

0可知(25-4)一、三層介質(zhì)鏡像法在邊界x=h上，

Ⅰ＝

Ⅱ得到解出也就是說：－(2i-1)h點(diǎn)反映到(2i+1)h應(yīng)乘因子，而解RegionⅠ時(shí)應(yīng)乘因子。一、三層介質(zhì)鏡像法(25-5)1.RegionⅠ求解注意真實(shí)電荷在RegionⅠ，只能是+1，同時(shí)它應(yīng)與區(qū)域RegionⅡ作邊界擬合。一、三層介質(zhì)鏡像法一、三層介質(zhì)鏡像法圖25-3求解RegionⅠ圖25-4求解RegionⅡ

一、三層介質(zhì)鏡像法上式可簡要寫成(25-6)為方便起見，對(duì)第一電荷不再區(qū)分h＋和h－。一、三層介質(zhì)鏡像法2.RegionⅡ求解一、三層介質(zhì)鏡像法也可簡要寫為(25-7)注意到h＋符合上述表述，它顯然符合同時(shí)，反對(duì)稱組合使

Ⅱ|x=0≡0得以滿足。一、三層介質(zhì)鏡像法

3.x=h處

Ⅰ=

Ⅱ邊界條件檢驗(yàn)。一、三層介質(zhì)鏡像法(25-8)十分明顯，

Ⅰ|x=h=

Ⅱ|x=h。一、三層介質(zhì)鏡像法(25-9)4.x=h處邊界條件檢驗(yàn)一、三層介質(zhì)鏡像法(25-10)顯見一、三層介質(zhì)鏡像法(25-11)(25-12)我們把

Ⅱ?qū)懗蒅reen函數(shù)二、微帶問題介質(zhì)Green函數(shù)法(25-13)圖25-5矩量法求解設(shè)

(y0)是線上電荷分布(25-14)二、微帶問題介質(zhì)Green函數(shù)法離散化后為V0——線上電壓二、微帶問題介質(zhì)Green函數(shù)法(25-15)(25-16)(25-17)選定m個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都處于

Wn中間(相當(dāng)于PointMatching)(25-18)寫成MatrixForm其中(25-20)二、微帶問題介質(zhì)Green函數(shù)法(25-19)按照定義即能得到其中(25-22)表示歸一化電荷密度，微帶特性阻抗：

二、微帶問題介質(zhì)Green函數(shù)法(25-21)(25-23)作業(yè)：如圖在兩無限大平行理想導(dǎo)體板之間的一電流元IL位于x-y平面內(nèi)與水平方向成θ角。試求電流元及其鏡像所形成的矢勢(shì)表達(dá)式.已知i向電流元形成的矢勢(shì)為

這里ai為i=x,y,z向單位矢量；r

為場(chǎng)點(diǎn)矢徑；ro為源點(diǎn)矢徑；k為波數(shù)；IL為電流元的大小。解答：設(shè)電流元為A，其與X軸的正向成則有

其中，由電流元在完善導(dǎo)體平面上的鏡像可以知道：當(dāng)電流元垂直于導(dǎo)體平面時(shí)，其鏡像方向與電流元相同，當(dāng)電流元平行于導(dǎo)體平面時(shí)，其鏡像方向與電流元相反。

由于兩相互平行的導(dǎo)體板在存在，所產(chǎn)生的鏡像為兩個(gè)無窮系列。此無窮系列分別由電流元的X和Y分量產(chǎn)生。每一系列又由上導(dǎo)體的鏡像和下導(dǎo)體的鏡像組成。它們分別僅位于上導(dǎo)體板的上方和下導(dǎo)體的下方。故有

其中：參考文獻(xiàn)：1.梁昌簡明微波.2.喻志遠(yuǎn).導(dǎo)波理論基礎(chǔ).試證明在均勻各向同性無耗微帶電路中，其傳輸主模式為準(zhǔn)TEM模證明：設(shè)微帶電路的傳播方向?yàn)閆向，在空氣和介質(zhì)販交界面上有：切向電場(chǎng)，（a）法向電場(chǎng)（b）切向磁場(chǎng)

,(c)法向磁場(chǎng)(d)其中帶撇的表示界面的介質(zhì)一側(cè)的場(chǎng)量，不帶撇的表示