對稱性積分的運算

PAGE1-對稱性積分的計算[摘要]：針對如何簡化積分的計算，提出了利用積分區(qū)域的對稱性方法，通過實例給出了構造對稱性的方法，從而簡化了積分的計算.本文共給出了四種解對稱性積分的方法來解一重、二重、三重積分.在本文的一些積分計算的例子中，通過一般解法和利用對稱性解法的對比，使讀者能明顯地體會到對稱性在積分簡化中起到的作用.[關鍵詞]：對稱性；積分區(qū)域；奇偶性；定積分；一重積分；二重積分；三重積分UsingSymmetryinIntegralCalculation[Abstract]:Thesymmetrysolutionisproposedtosimplifythecomputationofintegral.Thiskindofsolutionmakesuseofthesymmetricfeatureofintegralinterval,andsomepracticalexamplesarealsopresentedhere,showingthereadershowtoconstructsymmetrysoastosimplifythecomputation.Inthispaper,fourwaysofsolvingsymmetricintegralareprovidedforthereaderstosolvethequestionsofone-dimensionalintegral,doubleintegralandtripleintegral.Throughthecomparisonbetweenthetraditionalsolutionandthesymmetrysolution,suchexampleswillhelpthereaderstogetabetterunderstandingaboutthesignificanceofsymmetryinsimplifyingthecomputationofintegral.[Keywords]:Symmetry;Integraldomain;Parity;Definiteintegral;Singlelayerintegral;Doubleintegral;Tripleintegral

1前言微積分是微分學和積分學的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期.積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學家阿基米德在《拋物線求積法》中用窮竭法求出拋物線弓形的面積，雖然沒有用極限，但阿基米德的貢獻真正成為積分學的萌芽．微分是聯(lián)系到對曲線作切線的問題和函數(shù)的極大值、極小值問題而產(chǎn)生的.微分方法的第一個真正值得注意的先驅工作起源于1629年費爾瑪陳述的概念，他給出了如何確定極大值和極小值的方法，其后英國劍橋大學三一學院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進一步推動了微分學概念的產(chǎn)生.前人的工作終于使牛頓和萊布尼茨在17世紀下半葉各自獨立創(chuàng)立了微積分，18到19世紀，柯西和魏爾斯特拉斯等一批數(shù)學大師對于微積分建立了嚴格完整的理論體系，形成了近代微積分.在文[1]中DaleVarberg等編寫的《Calculus》也大概的講解了積分學的發(fā)展史；在文[2]中DavidNualart給出了大量的習題，具有數(shù)學的嚴謹性．對稱性的概念在數(shù)學中有廣泛而重要的應用.在利用對稱性求解積分題時，一般有以下兩種情況：一是積分區(qū)域具有某種對稱性，可利用對稱性對問題進行求解；另一類是被積函數(shù)圖象本身具有的對稱性，還有些是它們自身潛在對稱性（中心對稱性）.在求解問題的過程中，如能有意識地考慮問題的對稱性并利用上面的性質來解題，往往能收到事半功倍的效果.積分區(qū)域對稱性的應用：在文[3]中，劉濤給出了積分區(qū)間對稱的概念，涉及到一重積分、二重積分和三重積分，并對各種概念給出了相應的例題.在文[4]中，李長江研究了函數(shù)的區(qū)間對稱性，給出了在定積分中的應用，尤其是一些奇函數(shù)與偶函數(shù)積分的計算.在文[5]中,畢呂秀同樣也給出了積分區(qū)間對稱的概念，并給出了相應的例題.劉麗紅等[6，7]給出了多元函數(shù)積分的概念，并給出了證明，特別是在當一些定積分它的區(qū)間不具有對稱性時，可以將它轉化為對稱區(qū)間的積分問題來計算.張德生等[8，9]給出了輪換對稱性的條件并利用積分的輪換對稱性來計算三重積分的計算.程黃金，陳偉[10]具體介紹了幾種區(qū)間對稱性下的重積分中的計算，進一步完善在對稱積分區(qū)間的積分巧妙應用.利用輪換對稱性的應用：在文[11]中，曹吉利給出了一重曲線積分的輪換對稱，且利用曲線積分證明了這個輪換對稱.在文[12]，曹榮榮給出了積分輪換對稱的應用，利用與輪換對稱的性質化簡.在文[13]中張云艷研究了三重積分上的輪換對稱的積分性質.在文[14]中鄭淑江給出求三重積分值的方法，研究了對稱性在三重積中的應用.在文[15，16]中給出了應用輪換積分求值的例題.利用函數(shù)圖象對稱的應用上：在文[17]中，斯彩英借助與函數(shù)圖象的對稱性獲得間接的解題途徑.當某些函數(shù)不具有對稱性時，可以通過某種構造對稱性，使問題迎刃而解.例如可以將積分的區(qū)間分成幾部分，這時候就可以找到對稱的部分圖象.在文[18]胡佑增給出了積分用的圖象的對稱性來計算積分，在一些特殊圖形中利用圖象的中心對稱，可以把三重積分化簡.在文[17]中張振強借用了奇偶性來化簡重積分.在文[20，21]中吳鵬與陳懷琴給出了圖像本身沒有對稱性的應用，利用劃分區(qū)間使區(qū)域有對稱性.挖掘潛在的對稱性：對于本身沒有對稱的積分，且大部分都是非奇非偶函數(shù)，對于這一類的積分我們給出了幾個適合普遍積分的公式.在文[22]中，賈長友利用公式去計算了幾類積分.

2利用積分區(qū)間的對稱性2.1一重積分定理2.1：設在（）上連續(xù)且為奇函數(shù)或偶函數(shù)，則有:證明：連續(xù)，存在，因而在的定義中，區(qū)間的分劃區(qū)間中的選取按下面的特殊方法進行.先取分劃，再在每一小區(qū)間上任取，令，則區(qū)間被分劃，取點完畢.記，，則.并設.根據(jù)定義有：這個公式在定積分的計算中應用非常廣泛，它可使計算過程大大得到簡化.例1：計算.解：（積分區(qū)間為對稱區(qū)間）（被積函數(shù)分別奇函數(shù)和偶函數(shù)）．例2：計算.解：（被積函數(shù)分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)）．(例1，例2的被積函數(shù)本身不具有奇偶性，我們把它拆開成具有奇偶性的兩項或幾項，然后再應用定理1的性質.)例3：求定積分.解：因，故為關于原點的對稱區(qū)間，是上的奇函數(shù)..(例3的被積函數(shù)本身是一個奇函數(shù)，直接應用定理1.)2.2二重積分定理2.2：(1)若積分區(qū)域關于(或)軸對稱，設是在軸上方(或軸右側)的部分，則(2)若積分區(qū)域關于,軸均對稱，設是在第一象限的部分，則(3)若積分區(qū)域關于原點對稱，設是的右半平面或上半平面部分，則證明(1)：在區(qū)域關于軸對稱的條件下，僅證明為-型區(qū)域時的情形.設由不等式確定，,分別是區(qū)域在軸上方、下方部分，則有，由二重積分的可加性，得，所以有類似地可證積分區(qū)域關于軸對稱.證明(2)：設關于軸和軸對稱的有界閉域，而（其中和分別為有界閉域位于軸上方和下方的部分，而和分別為域位于第和象限中的部分），于是.當為關于的偶函數(shù)，即時，由定理2(1)得：又為關于的偶函數(shù)，即時，有：，因此：．當為關于或的奇函數(shù)，即或時，同理有，證明(3)：設關于原點對稱的有界閉域（其中,分別為有界閉域，是D的右上半平面，是D的左下半平面），于是，用關于原點對稱的曲線網(wǎng)分割區(qū)域，在的網(wǎng)眼中任取一點，在的對稱網(wǎng)眼中取點，令諸網(wǎng)眼的最大直徑為，構造和式注意到可積性條件以及，則：當為的偶函數(shù)，即時，有：，因此.當為的奇函數(shù)，即時，有：.例4：計算，其中為雙紐線圍成的平面域.解：因為方程，用代替不變，可知關于軸對稱，又關于為奇函數(shù)，即，由定理得.(例4的被積函數(shù)是關于的奇函數(shù)且積分區(qū)域關于對稱，可直接應用定理2(1).)例5：計算，區(qū)域：.解：積分區(qū)域關于軸和軸均對稱，且被積函數(shù)關于變量，均為偶函數(shù)，由積分的對稱性知：（為位于第一象限的部分）.(例5的被積函數(shù)是偶函數(shù)且積分區(qū)域關于,對稱，所以可應用定理2(2).)例6：計算，其中是圓域.解：關于軸，軸均對稱，而被積函數(shù)中關于，均非奇的項只有2這一項，故.(例6的被積函數(shù)是非奇非偶函數(shù)且積分區(qū)域關于,對稱，所以我們先把被積函數(shù)展開,然后再應用定理2(2).)例7：計算．解：積分區(qū)域是圓域，故關于,軸對稱，將被積函數(shù)分項積分，得，又因為積分區(qū)域關于變量,對稱，即關于對稱，因而，．定理2.3：(1)函數(shù)在上可積，且光滑曲面關于平面對稱，那么：.(2)函數(shù)在上可積，且光滑曲面關于平面對稱，那么：.(3)函數(shù)在上可積，且光滑曲面關于平面對稱，那么：.證明(1)：因為與關于平面對稱，設，則由第一類曲線積分的計算法得：，其中，，，，其中，,，因此：．同理可證定理3(2)，3(3).例8：計算面積分，.解，又關于平面對稱，同理，.(例8的被積函數(shù)是三元函數(shù)，且被積區(qū)域關于平面對稱，所以可應用定理3(2).)例9：計算曲面積分，.解:關于軸對稱，而被積函數(shù)關于平面和平面都對稱.記是在第象限的部分，.(例9的被積函數(shù)是三元函數(shù)，且被積區(qū)域關于平面和平面對稱，所以可應用定理3(2),3(3).)例10：計算曲面積分，其中球面.解：，根據(jù)積分曲面的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性可知：，又由坐標的輪換對稱性知，因此:.(例10的被積函數(shù)本身不具有奇偶性，需化簡再應用定理3的性質.)例11：計算，其中為取外側.解：因為積分區(qū)域關于面對稱，而所以=0.例12：計算，其中為與所圍成的圖中陰影部分.解：.(例11與例12的題可直接應用定理3.)2.3三重積分定理2.4：(1)如果在區(qū)域上連續(xù)，有界閉區(qū)域關于對稱，為位于面上側的區(qū)域，則(2)如果在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且關于軸對稱，函數(shù)在區(qū)域上可積，則(3)如果在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且關于坐標原點對稱，函數(shù)在區(qū)域上可積，則證明(1)：根據(jù)條件，可表為：從而.若為關于的奇函數(shù)，對上式中的前面一項作代換，令則：，所以．若是關于的偶函數(shù)，對上式中的前面一項作代換，令,，所以．同理可證定理4(2).證明(3)：,，，令則：，若是關于的奇函數(shù)，則：考慮，故：．所以．若是關于的偶函數(shù)，則：考慮，故：．所以．例13：求，其中是由與所圍成的空間區(qū)域.解：被積函數(shù)，其中是關于的奇函數(shù)，并且積分域關于平面對稱，故；同理是關于的奇函數(shù)，且積分域又關于平面對稱，故，于是，再求出確定的兩曲面的交線，即，由柱面坐標公式得.例14：計算，其中：.解：關于面對稱，且被積函數(shù)在上連續(xù)并為關于的奇函數(shù)，故.例15：計算三重積分，其中為球體．解：，關于面對稱，為的奇函數(shù)，故，所以.因為的邊界曲線是球面，它是關于地位對稱的，則.3利用輪換的對稱性3.1一重積分定理3.1：設是面上的一條光滑的曲線弧，關于具有對稱性，在上連續(xù)，則.證：將曲線關于為軸對稱進行分割，把它分成個可求長度的小曲線（i=1，2，，n），的弧長記為，設與關于對稱，取與其對稱點，則，，的細度，則，，.例16：計算下列對弧長的曲線積分：(1)，是星形線.解：由于關于，具有輪換對稱性，因而，則．(2)，其中為雙扭線位于第一象限的部分取逆時針方向.解：由于關于，具有輪換對稱性，則=0.(3)，其中是圓周．解：由于關于，，具有輪換對稱性，因而有，，故．例17：計算第一型積分，其中為球面與平面的交線．解：若要求出曲線的差數(shù)方程組是較困難的，難以直接計算，但注意到被積曲線關于，，具有輪換對稱性，則有，而平面過圓球的球心，則曲線是以原點為圓心，為半徑的大圓．．3.2二重積分定理3.2：.當函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，對（坐標），具有輪換對稱性，則.證明：在直角坐標系下，不妨設區(qū)域是-型區(qū)域，由曲線和圍成()，且分別是區(qū)域在直線的左右兩側部分(為其他情形時可分塊轉化成若干個-型區(qū)域或-型區(qū)域，并利用可加性證之)．因為和關于直線對稱，所以有(換元:)=．例18：計算下列二重積分：(1)，其中是由兩坐標軸及直線圍成的區(qū)域．解：由于關于具有輪換對稱性，因而，則．(2)．解：由于關于具有輪換對稱性，因而，故．例19：計算，．解：積分域關于變量輪換對稱，則．3.3三重積分定理3.3：設在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，對（坐標）具有輪換對稱性，則．例20：計算，其中：．解：因為積分區(qū)域關于具有輪換對稱性，所以．例21：(1)，其中：．解：由于積分區(qū)域被積分函數(shù)關于變量具有輪換對稱性，于是有，則．(2)圍成的區(qū)域．解：由于區(qū)域關于具有輪換對稱性，因而，故．例22：求，其中．解：積分域關于變量輪換對稱，則．4利用函數(shù)圖像的對稱性4.1一重積分例23：計算曲線積分，其中為球面與的交線、和組成的有向閉曲線.解：由于被積表達式是輪換對稱的，且方向與變量的輪換一致.故．例24：計算，其中是沿從至點的曲線段．解：，點除外．我們添加補助線，但不能添加直線段，因為構成橫排滿的閉區(qū)間包為了原點，沿著該閉曲線的曲線積分就不能用Green公式來計算，那么我們添加圓?。簶嫵傻恼蜷]曲線不包圍原點.在它包圍的區(qū)域中，有一階連續(xù)偏導數(shù)，于是具備了運用Green公式的條件．．得,即．4.2二重積分例24：設區(qū)域為，求．解:積分區(qū)域關于直線對稱，且函數(shù)在上是連續(xù)的.所以有．若直接采用極坐標系去求解，則需要用到三角公式，計算較煩.而抓住被積函數(shù)與積分區(qū)域的特點，利用變量輪換對稱性將被積函數(shù)化為簡單的函數(shù)后，再利用極坐標系化為二次積分，使得二重積分計算化繁為簡.對積分區(qū)域關于坐標軸對稱，同時被積函數(shù)關于變量具有奇偶性的二重積分，應當考慮運用奇偶對稱性來簡化二重積分的計算．例25：計算二重積分，其中為拋物線及直線所圍成的區(qū)域．解：積分區(qū)域(如圖)關于軸對稱，雖然被積函數(shù)關于變量并不具有奇偶性，但分別關于為奇、偶函數(shù)，應用定理2(1)，有與分別關于為奇、偶函數(shù)，則有(其中為在軸右側的部分)由此可得．例26：設是平面上以點,和為頂點的三角形區(qū)域．求．（分析：作出積分區(qū)域(如圖)觀察知，它關于坐標軸并不具有對稱性，是否能用奇偶對稱性解決問題呢?）解:將區(qū)域劃分為和，則，分別關于軸、軸對稱，由于被積函數(shù)中的在區(qū)域上是關于變量的奇函數(shù)，在區(qū)域上是關于變量的奇函數(shù)；在區(qū)域上是關于變量的奇函數(shù)，在區(qū)域上是關于變量x的偶函數(shù)，所以應用奇偶對稱性，有(其中為在軸右側的部分)從而．例27：計算二重積分．解：如圖，關于軸，軸都對稱，對，有，即被積函數(shù)關于和都是偶函數(shù)，因此．例28：計算二重積分，為所圍區(qū)域．解：如圖，區(qū)域關于原點對稱，對于被積函數(shù)，有，．例29：計算，其中由所圍成，是上的連續(xù)函數(shù)．解：本身沒有對稱性，但是，其中是由與所圍成，它是關于軸對稱的區(qū)域；是中除去即由所圍成的區(qū)域，它是關于軸對稱的區(qū)域．．4.3三重積分例30：計算三重積分，其中由球面與錐面圍成．解：顯然，區(qū)域關于軸對稱，而分別是關于和的奇函數(shù)，因此，于是．例31：求，其中為拋物體與球體的公共部分，如圖所示．解：由于關于平面對稱，而，關于是奇函數(shù)，所以．又關于平面也對稱，而關于是奇函數(shù)，所以；所以原式．因為，有．所以．由對稱性可知：．又，所以．5挖掘潛在的對稱性5.1對稱區(qū)間上的幾個特殊公式上面的公式在定積分的計算中應用非常廣泛，它可使計算過程大大得到簡化.但我們知道，函數(shù)中大部分都是非奇非偶函數(shù)，對這類函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分問題是否有特殊的公式加以解決呢？設在（）上連續(xù)，則：(1)之所以這個公式不被重視，是因為習慣上，往往只注重事情的結果而不重視事情的過程.顯然，當?shù)脑瘮?shù)比的原函數(shù)更易求出時，公式(1)就會顯示出它的明顯優(yōu)勢，以下舉例說明公式(1)的應用．例32：求．解：．例33：求．解：．5.2非對稱區(qū)間上的幾個特殊公式同樣，當積分區(qū)間不對稱且被積函數(shù)本身并沒有特性可以利用時，運用變量代換將積分變形，可以證明在定積分計算中非常有用的幾個特殊公式．定理5.1：設函數(shù)在區(qū)間上可積，則(2)特別的，當在區(qū)間，則(3)證明：設，則，且當時，；當時，.于是有：．同理(3)式可由(2)式直接推得．例34：．根據(jù)公式(3)，有推論，這是一個值得注意的結論，它利用了與的“互余性”，以下幾例是它的一些巧妙應用.例35：．例36：求．解：，．同公式(3)，類似當被積函數(shù)不易積分時，可以通過兩個相關積分的組合，改善被積函數(shù)，使積分變得較以前容易．定理5.2：設在上連續(xù)，則(4)當含有三角函數(shù)，2a是或的整數(shù)倍時，因為含有的原函數(shù)或它的余函數(shù)，所以利用誘導公式，的原函數(shù)可能比的原函數(shù)更容易求出，以下說明公式(4)的應用．例37：求．解：．例38：求．解：．例39：計算．解：設，因為在上有界，且只有可去間斷點，故定積分存在，但的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以不能用定積分的方法來計算，于是用尋找對稱性的方法來計算，易發(fā)現(xiàn)：．．當函數(shù)的積分區(qū)間長度是被積函數(shù)的周期或是周期的整數(shù)倍時，可以利用下面的公式縮短積分區(qū)間．定理5.3：設是定義在上的周期為的連續(xù)函數(shù)，則．例40：．例41：求．解：因為以π為周期，所以．定理5.4：設函數(shù)的定義域是，則的圖象關于直線對稱的充分且必要條件是：對于任意的，都有,且．證明：在函數(shù)的圖象上任意取點．先證必要性：因為的圖象關于直線對稱，所以點關于直線的對稱點必在曲線上,設點，連結這樣，直線是線段的垂直平分線，則,.所以，從而．由點的任意性可知：對于任意的，都有，且．再證充分性：因為對于任意的，都有，所以點也在函數(shù)的圖象上.設線段的中點為，則點的橫坐標為，這是一個常數(shù)，那么直線是一條定直線；而任意的，都有.那么線段平行于軸，所以定直線是線段的垂直平分線.由點的任意性可知，函數(shù)的圖象關于直線對稱．例42：求．解：被積函數(shù)關于軸對稱，．例43：求．解：關于軸對稱，關于中心對稱，被積函數(shù)關于中心對稱，區(qū)間是關于的對稱區(qū)間．由上述結論得：．定理5.5：設函數(shù)在區(qū)間上可積，，則有證明：因為，，所以函數(shù)的圖象在區(qū)間上關于直線對稱，平移坐標軸，將原點移到點，，坐標系下，原曲線關于軸對稱，.,；時;，；．即.同理可證，所以．例44：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，證明．（分析：對于等式左邊的定積分，被積函數(shù)積分下限為，積分上限為.為了討論被積函數(shù)的對稱性，設，．）證明，，，則從而.，由定理可知:被積函數(shù)的圖象在區(qū)間上關于直線對稱．所以根據(jù)定理2有，即．

6小結對稱性的概念在數(shù)學中有廣泛而重要的應用.在利用對稱性求解積分題時，一般有以下兩種情況：一是積分區(qū)域具有某種對稱性，可利用對稱性對問題進行求解；另一種情況是積分區(qū)域不具有某種對稱性，或所具有的對稱性不明顯，這時可通過一定的方法，根據(jù)問題的特點構造對稱性．本文通過介紹對稱性在一重積分，二重積分，三重積分的定理及運用，清楚地認識到了對稱性在簡化積分計算中的作用.例如一些看似很復雜的積分計算，在運用了對稱性理論之后，便能立即得到答案；還有一些被積函數(shù)本身不具有奇偶性且對稱區(qū)域也不具有對稱性時，可以先挖掘出潛在的性質，再用定理，便可馬上解出答案.因此，研究對稱性，具有一定的實際意義和理論價值．

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