廣東省梅州市留隍中學高三數學文上學期摸底試題含解析

廣東省梅州市留隍中學高三數學文上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖E、F是正方形ABCD兩邊的三等分點，向正方形ABCD內任投一點M，記點M落在陰影區(qū)域的概率為p，則a=p是函數y=ax2+2x+1有兩個零點的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件參考答案：A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；函數零點的判定定理．專題：簡易邏輯．分析：求出概率p，結合函數零點的關系以及成充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解答：解：∵E、F是正方形ABCD兩邊的三等分點，∴向正方形ABCD內任投一點M，記點M落在陰影區(qū)域的概率為p=，若函數y=ax2+2x+1有兩個零點，則判別式△=4﹣4a≥0，即a≤1，則a=p是函數y=ax2+2x+1有兩個零點的充分不必要條件，故選：A點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據概率的計算以及函數零點的關系是解決本題的關鍵．2.某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的各棱中，最長棱的長度為A．

B．

C.2

D．1參考答案：A3.已知定義域為R的奇函數，當時，滿足，則A．

B．

C．－2

D．0參考答案：B定義域為的奇函數，可得，當時，滿足，可得時，，則，，，，，，，，，故選B.

4.命題p：若sinx＞siny，則x＞y；命題q：x2+y2≥2xy，下列命題為假命題的是(

) A．p或q B．p且q C．q D．￢p參考答案：B考點：復合命題的真假．專題：三角函數的圖像與性質；簡易邏輯．分析：根據正弦函數的圖象即可判斷出sinx＞siny時，不一定得到x＞y，所以說命題p是假命題，而根據基本不等式即可判斷出命題q為真命題，然后根據￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的關系即可找出正確選項．解答： 解：x=，y=π，滿足sinx＞siny，但x＜y；∴命題p是假命題；x2+y2≥2xy，這是基本不等式；∴命題q是真命題；∴p或q為真命題，p且q為假命題，q是真命題，￢p是真命題；∴是假命題的是B．故選B．點評：考查正弦函數的圖象，能夠取特殊角以說明命題p是假命題，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b時取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的關系．5.設函數則導函數的展開式項的系數為A．1440

B．-1440

C．-2880

D．2880參考答案：答案：C6.已知數列=A． B．C． D．參考答案：B7.復數滿足：，則A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.“成等差數列”是“”成立的（

）A．充分非必要條件

B．必要非充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：A9.已知集合，則滿足條件A?C?B的集合C的個數為（）A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：D【考點】集合的包含關系判斷及應用；其他不等式的解法．

【專題】不等式的解法及應用．【分析】通過解分式不等式求出好A，無理不等式求出集合B，通過滿足條件A?C?B的集合C的個數即可．解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因為A?C?B，所以C中元素個數至少有1，2；至多為：0，1，2，3，4；所以集合C的個數為{0，3，4}子集的個數：23=8．故選D．【點評】本題考查分式不等式與無理不等式的求法，集合的子集的求解，考查計算能力，轉化思想．10.已知，則的值等于(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對于定義域為D的函數，若存在區(qū)間則稱區(qū)間M為函數的“等值區(qū)間”.給出下列四個函數：①；②；③；④.則存在“等值區(qū)間”的函數的序號是__________.參考答案：②④12.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a.則直線CD與平面AB1D1所成的角的余弦值為________．參考答案：13.已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，則cos2α的值為．參考答案：【考點】二倍角的余弦；兩角和與差的正弦函數．【專題】計算題；三角函數的求值．【分析】由0°＜α＜90°，則﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入數據，即可得到．【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，則﹣45°＜α﹣45°＜45°，則有cos（α﹣45°）==，則有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45°==，則cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=，故答案為：．【點評】本題考查三角函數的求值，考查兩角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的變換的方法，考查運算能力，屬于中檔題．14.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.若兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為，星的亮度為.（1）若，則________；（2）若太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.5，則太陽與天狼星的亮度的比值為_______.參考答案：

6；

.【分析】（1）把已知數據代入中，求解即可；（2）把數據代入，化簡后利用對數的運算性質求解.【詳解】解：（1）把代入中，得到.（2）設太陽的星等是，設天狼星的星等是，由題意可得：，所以，則.故答案為：6；.【點睛】本題考查對數的運算性質，屬于基礎題.15.一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工

．參考答案：1016.已知f（x）是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，若實數x滿足f（）＜f（﹣1），則x的取值范圍是

．參考答案：【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】利用函數是偶函數得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等價為f（|log2|x+1||）＜f（1），然后利用函數在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增．∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等價為f（|log2|x+1||）＜f（1），即|log2|x+1||＜1∴﹣1＜log2|x+1|＜1，解得x的取值范圍是．故答案為．17.已知正方體中,E,F分別為的中點，那么異面直線AE與所成角的余弦值為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：右焦點F的坐標是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．（Ⅰ)求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知經過點F的直線與橢圓C交于A、B兩點，與y軸交于點，且，求的值．參考答案：【解】：（Ⅰ）由題意,橢圓方程為

……………（6分）（Ⅱ）設AB由得,所以*

………（8分）由得

，

………（10分）代入*得………………（13分）

略19.

如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點，點G為BC邊的中點．線段AG交線段DE于F點，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE平面，連接AB，AC、AG形成如圖乙所示的幾何體.

（I）求證BC⊥平面AFG.（II）求二面角的余弦值．

參考答案：(Ⅰ)在圖甲中，由△ABC是等邊三角形，E，D分別為AB，AC的三等分點，點G為BC邊的中點，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．………………2分在圖乙中，因為DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．……………………4分(Ⅱ)因為平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，F(xiàn)D，F(xiàn)G兩兩垂直．以點F為坐標原點，分別以FG，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，所以，0)．……6分設平面ABE的一個法向量為．則，即，取，則，，則．………………8分顯然為平面ADE的一個法向量，所以．………………10分二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．………12分略20.（本小題滿分14分）

已知函數（a∈R）．

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）若函數在[1，2]上有且僅有一個零點，求a的取值范圍；

（3）已知當x>-1,n≥1時，，求證：當n∈N*，x2<n時，不等式成立．參考答案：(1)解： 1分

當a≤0時，，則在上單調遞增 2分

當a>0時，在上單調遞減，在上單調遞增． 4分(2)解：由，得 5分

考查函數(x∈[1，2])，則 6分

令，

當1≤x≤2時，，∴在[1，2]上單調遞增 7分

∴,，∴在[1，2]上單調遞增

∴在[1，2]上的最小值為，最大值為 8分

∴當時，函數在[1，2]上有且僅有一個零點 9分(3)解： 10分

由(1)知，則 11分

∵，且n∈N*，∴，∴ 12分

又∵，∴ 13分

14分21.甲乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．（Ⅰ)設分別表示甲、乙抽到的牌的數字，寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況．（Ⅱ)若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌的牌面數字比3大的概率是多少？（Ⅲ）甲乙約定：若甲抽到的牌的牌面數字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝．你認為此游戲是否公平，說明你的理由．參考答案：解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用4’表示)為：（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）（4’，4），共12種不同情況（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的數字大于3的概率為；（3）由甲抽到牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5種，甲勝的概率，乙獲勝的概率為．∵＜，

∴此游戲不公平．

略22.已知函數。（1）若不等式的解集為或，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，若對一切實數恒成立，求實數取值范圍