山東數(shù)學(xué)中考分類匯編-有關(guān)四邊形的綜合證明題

四邊形的綜合證明題：1．（2019年濱州）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD交BE于點(diǎn)G，連接CG．（1）求證：四邊形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四邊形CEFG的面積．2．（2020年濱州）如圖，過(guò)?ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC、CD、DA于點(diǎn)P、M、Q、N．（1）求證：△PBE≌△QDE；（2）順次連接點(diǎn)P，M，Q，N，求證：四邊形PMQN是菱形．3．（2021年濱州）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC，AE∥BD．（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面積．4．（2022年濱州）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．（1）求菱形ABCD的面積；（2）求證：AE＝EF．5．（2017年濱州）如圖，在?ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于BF的相同長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形．（1）根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過(guò)程，求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周長(zhǎng)為16，AE＝4，求∠C的大?。?.（2017德州）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形BFEP為菱形；（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)；①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2），求菱形BFEP的邊長(zhǎng)；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離．7.（2018德州)再讀教材：寬與長(zhǎng)的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會(huì)出現(xiàn)黃金矩形．問(wèn)題解決：（1）圖③中AB＝（保留根號(hào)）；（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由．實(shí)際操作結(jié)合圖④，請(qǐng)?jiān)诰匦蜝CDE中添加一條線段，設(shè)計(jì)一個(gè)新的黃金矩形，用字母表示出來(lái)，并寫出它的長(zhǎng)和寬．8.（2019德州）（1）如圖1，菱形AEGH的頂點(diǎn)E、H在菱形ABCD的邊上，且∠BAD＝60°，請(qǐng)直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果（不必寫計(jì)算過(guò)程）（2）將圖1中的菱形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2，求HD：GC：EB；（3）把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此時(shí)HD：GC：EB的結(jié)果與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果（不必寫計(jì)算過(guò)程）；若無(wú)變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2018年?yáng)|營(yíng)）（1）某學(xué)?！爸腔鄯綀@”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的長(zhǎng)．經(jīng)過(guò)社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，通過(guò)構(gòu)造△ABD就可以解決問(wèn)題（如圖2）．請(qǐng)回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問(wèn)題：如圖3，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的長(zhǎng)．10．（2019年?yáng)|營(yíng)）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE．將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)α＝0°時(shí)，＝；②當(dāng)α＝180°時(shí)，＝．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．（3）問(wèn)題解決△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)．11．（2020年?yáng)|營(yíng)）如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE，點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想．圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是，∠MNP的大小為．（2）探究證明把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MNP的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝1，AB＝3，請(qǐng)求出△MNP面積的最大值．12．（2022年?yáng)|營(yíng)）△ABC和△ADF均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿AB、BC運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B、C停止．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，請(qǐng)判斷：線段CD、EF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CEFD的面積是△ABC面積的一半，請(qǐng)直接寫出答案；此時(shí)，四邊形BDEF是哪種特殊四邊形？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并給予證明．13．（2021?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求證：BM＝BN．14.（2019?菏澤）如圖，四邊形ABCD是矩形．（1）用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的長(zhǎng)．15.（2018?菏澤）如圖，E是?ABCD的邊AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于F，若CD＝6，求BF的長(zhǎng)．16．（2021?菏澤）在矩形ABCD中，BC＝CD，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，點(diǎn)D落在點(diǎn)H處．（1）如圖1，當(dāng)EH與線段BC交于點(diǎn)P時(shí)，求證：PE＝PF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，GH交AB于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上；（3）當(dāng)AB＝5時(shí)，在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到AD中點(diǎn)的過(guò)程中，計(jì)算出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．17.（2018?菏澤）問(wèn)題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，將：矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．操作發(fā)現(xiàn)：（1）將圖1中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠α，使∠α=∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，過(guò)點(diǎn)C作AC′的平行線，與DC'的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則四邊形ACEC′的形狀是．（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使B、A、D三點(diǎn)在同一條直線上，得到如圖3所示的△AC′D，連接CC'，取CC′的中點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使FG=AF，連接CG、C′G，得到四邊形ACGC′，發(fā)現(xiàn)它是正方形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．實(shí)踐探究：（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，進(jìn)行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，此時(shí)A點(diǎn)平移至A'點(diǎn)，A'C與BC′相交于點(diǎn)H，如圖4所示，連接CC′，試求tan∠C′CH的值．18.（2017?菏澤）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)E、M分別是線段BD、AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交邊BC于F，過(guò)M作MN⊥AF，垂足為H，交邊AB于點(diǎn)N．（1）如圖1，若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，求證：AF＝MN；（2）如圖2，若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．①設(shè)BF＝y(tǒng)cm，求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)BN＝2AN時(shí)，連接FN，求FN的長(zhǎng)19．（2020?菏澤）如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC交BD于點(diǎn)E，求證：AE＝BE；（2）如圖2，將△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求證：BD'∥CD；②若AD'∥BC，求證：CD2＝2OD?BD．20.（2019?菏澤）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如圖1，連接BE，CD，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)P，求證：BP⊥CD；（2）如圖2，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí)，連接BE，CD，CD21.（2020濟(jì)南）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：AE＝CF．22.（2019濟(jì)南）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD和BC上的點(diǎn)，∠DAF＝∠BCE．求證：BF＝DE．23.（2018濟(jì)南）如圖，在?ABCD中，連接BD，E是DA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且AE=CF，連接EF交BD于點(diǎn)O．求證：OB=OD．24.（2020濟(jì)南）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：AE＝CF．25.（2019濟(jì)南）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD和BC上的點(diǎn)，∠DAF＝∠BCE．求證：BF＝DE．26.（2018濟(jì)南）如圖，在?ABCD中，連接BD，E是DA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且AE=CF，連接EF交BD于點(diǎn)O．求證：OB=OD．27．（11分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD邊上一點(diǎn)，連接AE，將矩形ABCD沿AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上點(diǎn)F處，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求線段CE的長(zhǎng)；（2）如圖2，M，N分別是線段AG，DG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN＝∠DAM，設(shè)AM＝x，DN＝y(tǒng)．①寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值；②是否存在這樣的點(diǎn)M，使△DMN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28.如圖，在菱形ABCD中，AB=AC，點(diǎn)E、F、G分別在邊BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，點(diǎn)H是線段AF上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)．(1)求證:△AEH≌△AGH；(2)當(dāng)AB=12，BE=4時(shí)：①求△DGH周長(zhǎng)的最小值；②若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1:3．若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．29．（2019年聊城）在菱形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)E，F(xiàn)是AP上的兩點(diǎn)，連接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求證：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．30．（2020年聊城）如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF，AC，若AD＝AF，求證：四邊形ABFC是矩形．.31.（2021年聊城）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO＝CO，點(diǎn)E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．32.（2022年聊城）如圖，中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接AF，CD．如果點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．33.（2018?臨沂）將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)．求證：FD=CD；（2）當(dāng)α為何值時(shí)，GC=GB？畫出圖形，并說(shuō)明理由．34.（2020年臨沂）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為1，，點(diǎn)E是邊上任意一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，線段的垂直平分線交，分別于點(diǎn)F，G，，的中點(diǎn)分別為M，N．(1)求證：；(2)求的最小值；(3)當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小是否變化？為什么？35．（2022年臨沂）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接AD，CD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）在線段AC上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD．將線段PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)P在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．36．（2021年臨沂）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在F處，連接BF并延長(zhǎng)，與∠DAF的平分線相交于點(diǎn)H，與AE，CD分別相交于點(diǎn)G，M，連接HC．（1）求證：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求點(diǎn)D到直線BH的距離；（3）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上（端點(diǎn)除外）運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BHC的大小是否變化？為什么？37..（臨沂2019）如圖，在正方形ABCD中，E是DC邊上一點(diǎn)，（與D、C不重合），連接AE，將△ADE沿AE所在的直線折疊得到△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于G，連接AG，作GH⊥AG，與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，連接CH．顯然AE是∠DAF的平分線，EA是∠DEF的平分線．仔細(xì)觀察，請(qǐng)逐一找出圖中其他的角平分線（僅限于小于180°的角平分線），并說(shuō)明理由．38．（2022?青島）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）連接AE，CF，已知①（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：∠ABD＝30°；條件②：AB＝BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）39.（2017年青島市）（本小題滿分8分）已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別是邊AB，AC，AD的中點(diǎn)，連接CE、CF、OF．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）當(dāng)AB與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEOF正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．40.（2019年青島市）（12分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥AC，分別交AD，OD于點(diǎn)F，G．連接OP，EG．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)E在∠BAC的平分線上？（2）設(shè)四邊形PEGO的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）連接OE，OQ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．41．（2021?青島）如圖，在?ABCD中，E為CD邊的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使DG＝DE，分別連接AE，AG，F(xiàn)G．（1）求證：△BCE≌△FDE；（2）當(dāng)BF平分∠ABC時(shí)，四邊形AEFG是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．42．（2020?青島）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BD和DB的延長(zhǎng)線上，且DE＝BF，連接AE，CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）連接AF，CE．當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．43．（2018年青島市）（8分）已知：如圖，平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接CG，CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FD．（1）求證：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結(jié)論．44．（2022?日照）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）①當(dāng)a＝b時(shí)，求∠ECF的度數(shù)；②當(dāng)a≠b時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由．45．（2021?日照）問(wèn)題背景：如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F．實(shí)驗(yàn)探究：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，如圖2所示，得到結(jié)論：①＝；②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為．（2）小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．拓展延伸：在以上探究中，當(dāng)△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，則△ADE的面積為．46.（2019年日照）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角